ポアンカレ予想 世界一周してロープを回収できる図形は、球のみか？
リッチフロー理論の一番の使い道は
このように「形がよくわからない図形」に対しても
一意的に正規化し、基本形を判定する方法を与えた事です。
http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/poincoreconjecture/11_2.png
http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/poincoreconjecture/index11.html


リッチテンソル - Wikipedia
リッチ曲率テンソルとは、歪んだリーマン多様体上の測地球の体積がユークリッド空間上の球体からどれだけずれるかを表す量である。
相対性理論では、リッチテンソルは時空の曲率の一部であり、レイチャウデューリ方程式を通じて物質が時間とともにどれだけ収縮もしくは拡散するかの程度に関連する。
リッチテンソルが真空のアインシュタイン方程式を満たすとき、その多様体はアインシュタイン多様体であるといい、特に研究されている。
これと関係して、リッチフロー方程式はある計量がアインシュタイン計量へ発展するさまを記述する。
この方法により、ポアンカレ予想が最終的に解決することとなった。


リッチフロー - Wikipedia
リッチフロー(Ricci flow) とは、微分幾何学における本来の幾何学的フローの一つである。
リッチフローは、熱伝導方程式に形式的に似た方法でリーマン多様体の計量の特異点を滑らかに変形する過程である。
リッチフローは、最初にグリゴリー・ペレルマンによりポアンカレ予想の証明のために使われ、
同様に、サイモン・ブレンデルとリチャード・シェーンによる微分可能球面定理の証明に使われた。