【話題】「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは?★2
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■東大入試に求められる「数学のセンス」とは?
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と(周期性がなく)続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大? なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘(たけべ・かたひろ)が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい!
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、OKとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
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図で、三角形OATは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理(ピタゴラスの定理)により、OTの長さが分かります。OK=1から、KTの長さが計算でき、さらに、直角三角形KTAに三平方の定理を用いてAK、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733
★1が立った日付2019/09/19(木) 10:03:17.94
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1568854997/ 数学は中学まではほぼ満点取ってて得意分野で、理数系進もうかと思ってたぐらいなのに
高2ぐらいになってからめちゃくちゃ嫌い&苦手になってしまった
あと化学も
なんだろう、なんか抽象的になりすぎて興味を全力で失ったのかなあ
「何やってんだこれ?」って思ってから何も頭に入らなくなった
あと思考が悪い意味で女になった パターン暗記してればこの問題も解ける
受験数学に閃きなど必要ない >>2
高校化学は勉強すれば誰もでできるようになる
努力が足りなかっただけで適性でんでんの話ではないよ 2が立つ速さ異常じゃね
記者の仕事まちまちすぎんだろ >>6
てんでん?
まさか云々をでんでんと読んで生きてきたの? 円周率イコール3.14
3.14>3.05
証明終了 数学の学力を上げるのに必要なのは
・さまざまなパターンの暗記
・暗記したパターンを使って初見の問題を解く訓練
の2つなんだが
数学のセンスがある人はパターンを初見の問題に当てはめるのが抜群にうまいんだと思う
これこそ数学の才能 円周率とか偏微分とか最初に訳した日本人は死ねよ
円周比とか部分微分にしてれば字義のとおりの意味になったのに >>6
途中から数学だらけになるやん
これもう数学やんけってなったわ 多角形の頂点の数を無限に増やしていくと、本当に円になるの?
物理学的にはアウトだよ
数学の空想論
けど、線と円の関係を極限で説明する方法は悪くはない 答えがなんとなくの数字だから
とりあえず正解としてるのが嫌 まだやるのかよw
円周率は3だって言ってるだろ
それ以上でも以下でも無い
『3』だ。 来年の東大入試
自然対数の底(ネイピア数)eが2.71より大きい事を示せ
さあ、お前らならどう解く! 俺が大きいと言ったら大きいんだよ。
何か文句あるか? >>18
私これでも高等学校出てるからね
高等な学校だよ >>22
先日高校時代の化学の教科書見たら波動方程式が書いてあって
こんなん高校の時やったかなと思った。 前に、これを電車で見かけたとき、八角形で試して
職場が秋葉原なのに神田まで気づかなかったな そもそも円周率そのものが無意味な存在だと気づけよ数学バカ
オカマが「自分を認めろ」と大声で叫んでる今と同じだと気づけよ数学バカ
一般人からすりゃどうでもいい存在だろ自覚しろ 半径5の1/4円周上の点(5,0),(4,3),(3,4)(0,5)を結ぶ線分よりπ/4が大きいことを示せば中学生でも解ける サインコサインっていつ習った?
ゆとりの自分は高校で習ったんだが、上の世代で中学で習ったという奴もいるんだよな
どの世代はいつ習ったんだ? 4角形の中に円が収まるな
>>13
>円周率イコール3.14
この時点で0点やん >>26
これは高校レベルの数学でもテイラー展開使っていいはず
eの指数関数が微分しても積分しても同じという性質を利用して、
xの多項式で近似すると結果的にテイラー展開になるので
自前でテイラー展開してeの1乗の近似値を出す 東大入試レベルだったらπ=3となるリーマン曲面を求めその時のeを計算せよくらいの問題でないと手ごたえ感じないだろう e は級数でいいやろ
どこまで計算するかがたいへんかもしれんが これはカッコイイ解き方があったよな
半径17の四分円と1辺12の正方形を重ねて、52<17π
52
─<πから3,05よりも大きいことを求める
17 >>50
「正六角形の周囲よりは長いから」で終わらせないためだろ。 >>34
円周と直径の比率が一定という事実は最重要だと思うが
何が無意味なのか説明せよ >>1
ABが1である
という証明をやらないと減点されるんじゃないかな
なぜ正三角形だと分かるのか >>50
3以下って証明するのは割りと簡単だが、そのわずかな部分が面倒なんだよ >>11
え!?(・д・。)
おまえ適正でんでん知らないの?
(ノ´∀`*)ぷーくすくす 東大ではそんなん出るんだ
数学でいろいろ遊んでる生徒なら一瞬でひらめきそうな感じではあるが この種の「証明せよ」ってゆーのは、何を前提にしていーのかが曖昧だと思う。 >>65
数学の秋山センセもわかってないけど、円周率論文の真意って
エレベーターの滑車でその制御だぜ
はては軌道エレベーター ロングコーヒー缶の高さと円周どちらが長いか?
一瞬でわかる方法を答えよ これなら簡単に円周率のプログラム組めるんじゃねとか思って、
ルート3が無理数の時点で普通のプログラムだと初めからクライマックスで詰むのを理解した
どうやって計算してんだスパコン。ぱねえ >>26
実際に計算したら鬼だな
とはいえ手計算で求めるならほぼそれしか手段がないんだが >>69
それな
円周率の定義知らないと手をつけることもできないんだが
高校までで円周率の正確な定義を習った記憶がない >>70 三角関数系で行くと、ルート2やルート3の細かい数値出さなあかんくなるぞ。 正多角形ではなく、違う多角形の組み合わせでやるともっとずっと簡単に計算出来るっていうと面白いのだがそんな方法ないかな TeXのバージョンを見れば自明
って答案だったら2点ぐらいやりたい >>78
中学生に最初に円周率を教えるときには、そーゆー帰納的な方法で教えるんだよね。 一辺が8×8の正方形の中にある円は面積16の中にある
これを四分割すると円も四分割できる
4角形の中にある円は一辺が4×4の正方形の1つである
四分割された半円の頂点はどちらも4である
円を無視して直進するとサインコサインの表から斜辺も4である
円は、2等辺三角形の中を通る 東大の入試はがり勉じゃ対応出来ないものにしてほしいわ 最初に円周率を直径との比にしたのセンス悪くない?
何で半径にしなかったの? すべての円が相似→円周率は一定 ってのにギャップを感じるかどうかは
数学的センスにかかわると思う >>82
サイン・コサインの数値使っていーんだったら、いくらなんでも簡単すぎる。 え
3.14は3.05より大きいのに証明が必要なのか?
俺にはセンスないわw あるクラスの女子生徒が円周率という名の宿舎に泊まった時の事だった
一室あたり6人ずつにすると部屋を全部使っても5人余り、7人ずつにすると
6人の部屋が一室できて、一室余ることになった。
一体女子生徒は何人居て、部屋の数はいくつあるのだろうか・・・ 今年44歳ですが、社会に出ても技術者でもなければ円周率なんて使いません。
今日の前場は5万円ほど儲けました。ありがとうございました。 >>90
円に内接する2^n角形の周はnが増えるに従って単調に増加するが、円周よりは短い。
・・・これだと収束の証明にはなるが、その値が円周と一致するとは限らんかw 月刊誌の方はまだある
しかし、参考書の方(通称 黒大数)はもうない。出版社自体がなくなった
もしかすると、他の出版社から発売されているかもしれないが… ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています