つまり、FAX1号機だと短縮番号1番が〇〇署あてになってるけど、
FAX2号機だと短縮番号1番が報道局の××局あてになってる感じ？

普通こういうのって何番はどこあてかという別シートがFAXごとにあって、
送信するときは他者とダブルチェックするのが当たり前だし、
そもそも機械変わっても短縮番号の登録ルールは統一するのが当たり前だと思うが

単純にFAX自体が悪いというわけではない