記事が説明してないので、おおざっぱに説明しておくと
聖書でキリストが弟子達の足を洗う場面があるのが、洗足式の由来。

つかまる直前くらいのキリストが、自分がなき後もちゃんとみんなが愛し合うように模範を示すべく
ペテロの足を洗い出して、「師である私があなた達の足を洗うのだから、あなた達も足も洗い合いなさい」みたいなことを言う。
勿論足を洗うというのは、親切な愛の行為の象徴。
原典（聖書）で読むとけっこう生活感が感じられて楽しい箇所でもある。