「白黒つける」の白と黒の語源は、囲碁の碁石の色から来ています

囲碁は碁盤の19×19の線（路）の交点に交互に石を置き、それぞれ陣地を囲んでいき、陣地が大きいほうが勝ち…
というルールのゲームで、起源は古く、大陸から伝わり日本で発展した、大変歴史のあるゲームです。

長い歴史の中で、細かなルールは少しずつ変化していますが、基本的に上級者が白を持ち、黒から先に打ち始めますます。

実力の差が大きい場合は、黒は先に碁盤に何目か（力の差に合わせて）石を置いた状態でゲームを始めてハンディをもらいます。これは「置き石」といい、この場合は白から打ちます。このルールのおかげで力の違うものどうしでもゲームが成り立ちます。

このように、白→強い方 黒→弱い方ということから、どちらが強いのかハッキリ決めることを「白黒つける」という言い方になりました。