【話題】「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは？
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■東大入試に求められる「数学のセンス」とは？
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と（周期性がなく）続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大？ なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘（たけべ・かたひろ）が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、ＯＫとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
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図で、三角形ＯＡＴは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。OK=1から、ＫＴの長さが計算でき、さらに、直角三角形ＫＴＡに三平方の定理を用いてＡＫ、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733 >>28
低学歴乙
東大入試は計算力を問う問題は多い。
複雑な計算や場合分けをうまくやり通す地道な力が問われる問題は多い。 >>1
>これで東大はほぼ合格ですね。
この問題にこだわって、他の解けなくなって、ほぼ不合格じゃない？ 3.14は3.05より大きいに決まってるだろ
バカか >>101
文系は数学をざっくり捨てるという作戦で
案外いい大学に入ってるヤツ多いよ これが解けるかどうかって、センスの問題というより、
幾何学の歴史の知識の問題だと思う。
数学の問題が解けるかどうかって、パターンを知ってるかどうかに左右される部分が大きいのよ。 >>67
というか
「たとえどんな数多の思考プロセスを辿ろうと、論理的に正しければ必ず一つの答えに辿り着け」
「別のプロセスを使って別の答えに辿り着くならそれはプロセスか前提が間違っている」
というルールが綺麗だと思う
頭悪いから数学を偉そうに語れないけど 「円周率には終わりがないんだよ。つまりえんえんと続くんだよ」
と説明した教師を殴って、私は幼稚舎を退学になりました >>70 >>76
東大合格生なら（文系でも）8割は5分以内に解くだろう。
俺はMARCH以下の落ちこぼれだが、問題を読んで２秒で方針は出来た。
後必要なのは、中学3年の三平方の定理と主な三角関数、平方根の記憶だけ。
（東大生でも開平が出来るのは少ない）
ボーナス問題というより、落とせない問題。
昔、東工大は7割正解は0点だと言われていたのを思い出す。 類似の問題を、丸暗記した参考書問題集予備校の授業内容からさっさと想起し適用出来るかというだけです
>>70
まさにな 頭を使ってる風のクイズ
だから東大生は就職できないのがいるんだ。 >>81
まさに俺だ、ただ底辺ですけど。
先生「お前は国語の時間は死んだ魚の目になっとるな。そんなに嫌いか？」
俺「うん、大嫌い。」
先生「よし、お前を国語好きさせてやるぞ。」
俺・ますます国語嫌いになった。ついでに作文も。あ、何故か小説（歴史ものとか）
読むのは好きだけどね、 >>95
ある意味、見た感じ
2点を平面上で通るとき、最短距離は2点を結ぶ直線
円周は弧を描くから遠回り
内接する○角形はこの2点の集まりだから、
内接してる方が短くなる 東大の数学は文章題がメインで
複雑怪奇な長文をどう短時間に数式に落とし込めるかが勝負って聞いた事があるけど
ガセだったのか(´・ω・｀) >>76
よくそんなんで東大に受かったな。三角関数を使って解くのなんて
一発で分かる。 >>1
三角形作ればいいだけの話
こんなの小学生でやってることだろ
オレは当時、3.14を知らずにやって
3.14じゃなかったけど、3.10は出してたぞ この問題が解けるから頭がいい
社会で有能になれると思われしまうと大変なことになる
一番不幸なのはご本人。 >>93
3だと正６角形で暗算出来ちゃう位簡単だからじゃないかな こういうスレはなぜか発狂してる人のレスを見るのが面白いんだよな。 隣の部署で東大卒が働いてたがいまいち仕事はできなかったな
研究者か学者さんに向いていたんだろう どんだけこの問題好きなんだよ
いい加減過大評価だろ 円を中心から外側に向かって二等辺三角形で何分割にも等分して
二等辺三角形の面積の合計を計算するんじゃなかったっけ
細かく分割すればするほど、より正確な円周率に近づくと >>111
円と円周率をかけたオヤジギャクだろう。
>>116
江戸時代に生きろ
３．１４と３．１６が両方とも正解
（３．１６はルート１０＝3.16227766・・・） いやなやつ＋いやなやつ＝みなごろし
だから数学は嫌い。僕、平和主義者だから(´・ω・｀) 結局暗記力の勝負なんだろ。
まさか知らずにアルキメデスと同じ発想を試験時間内に思い付けってわけじゃあるまいし。
なんつーかレベル低いよな。
知性が感じられない記事だよ。 >>71
円周率が無限に続くって証明はされてた気がする 結局、三平方の定理という暗記を使ってる。
3.14をまる暗記と同じ、暗記問題だから良問とは思えん。 >>13
芸能界に行きたい菊川は自分の売りにするために東大行ったと聞いたことがある
キャンペーンガールに選ばれたのは東大という話題性があったから
結局芸能人になっても東大卒とハズキルーペしか思い浮かばないが 日本は文書中心主義だから。
有能さは紙の上でどれだけ回答できるかが競われることが多い。
社会の有能さはたいていの場合別の基準だから。 ゆとりは3.14で計算しないとかニュースになってたからな
世の中の動きに敏感な人が受かる >>95
直径が１の円のなかにぴったり収まる正十二角形を考えればいい 三平方の定理で式は作れるけど
OTってそんなにすぐ計算できるか？電卓使っていいの？ >>81
> 国語みたいに感性で答えの様子が変わるみたいなのは意地悪なんだと。
国語得意だったけど、そんな問題に出くわした事はほとんど無かったな
国語の文章題は前後の記述から文法で回答を拾う
プログラムみたいなもんで答えは感性に左右されないよ
そういう人はたぶん「道徳」とかと勘違いしてると思う
「このとき太郎君はどういう気持ちだったでしょうか。考えて話し合ってみよう。なお正解はない」 >>122
「解けるから頭がいい」ではなくて
「解けないなら頭が良くないだろう」と思う。 スレ見ずに言うが
「上位校は暗記バカ」教の原理主義者が大暴れしてることと思う ほとんどの業界の実務的レベルでは、円周率は3でOK 内接する多角形の外周を計算するんだけど、
何角形なら3.05以上になるか？かつ計算しやすいか？
を予め予想してから計算するところにセンスが問われてるんだと思う。
頭良すぎてn角形の外周を計算しようとすると嵌まる。 これ良問かなあ
歴史知識の有無で難易が変わるのであまり良いと思わないのだけど >>84
確かに。
解説されているのはn角形のnを増やしたら精度が上がったというだけの話で、だとしたら東大数学としては恐ろしく程度が低いことになる。6, 8, 10 / 6, 12, 24 のウンチクもレベル低すぎだし。 ほとんどの業界の実務的レベルでは、円周率は3でOK
それにも理由がある 「円周率が3.05以上であることを証明せよ」
「江戸時代の参勤交代の理由を答えよ（ただし、全国の大名にお金を使わせて戦力を削ぐ以外の理由）
これは二大難関大学の二次試験問題。 高校生クイズ、最近は観てないがちょっと前はこの問題なんか余裕で解けるような奴らばかりが出てたんだろうな >>144
受験問題になってる国語は、要するに文章の論理的組み立てや
作者の意図洞察
っていう割と理詰めの話なんだよな ＞西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
低学歴が唯一面白かったところ 半径1の円に内接する正五角形の頂点の位置はどう計算したらいいのかな
ｘ＾５＝1の解を考えててわからなくなった >>144 評論系は論理的にわかる場合が多いけど、
小説系は模範解答からして？？？なのも結構ある。 >>143
「円の周囲の長さは、直径の何倍か」だよ
円にぴったりはまる正六角形を書けば（＝正三角形を６個）
「３に近いけどそれよりちょっと長いなー」までは理解できると思う 今更円周率を3以外に変更されたとしても俺は3で教わってるから3.05より大きいことを証明するどころか
それは嘘です
としか言いようが無いのだが？ よくスパコンとかで円周率を解いてるけどこれも正◯角形の方式なの？ >>144
全然違う話だけど、作者の子供が
「この時の作者の気持ちを答えなさい」
って問題の答えを親に聞きに行って
「締切に追われて、ヒーヒー言いながら書いた」
って答えたらバツだったって話を思い出した
国語の問題も、結局論理的思考力の延長何だよね
感性が問われるのは美術や音楽かな Fラン文系クソ馬鹿の自分すら解き方の方針は2秒で立ったので
センスもくそもないのでは >>159
そうかなー。小説でも基本、迷う事って無かったよ
自分が真っ当で平均的な人間だとは別に思わないけど感性頼りではなかった
（むしろ小説家は真っ当じゃなくて捻くれてそうｗ） 三角形の面積の求め方が決まっている前提だろ？
πの大きさだけ分からないって無理がある
大きいものは大きいで正解 >>155
なるほど、それが円周率なのか(´・ω・｀) youtube で解説してるよ。
数学マニアの鈴木貫太郎のおじさん。 >>135
三平方の定理を自力で証明しなかった？
中学数学のテスト問題でよく出るけど
一回自分で解けたら暗記ですらないぞあんなもん
>>162
今は別の公式を解いてる
ちょっと忘れたけどπ/4か何かに収束する無限級数があったはず >>143
半径がわかると、その円の外周も決まる
円周率は外周から直径を割った数値 結局のところ身につけた知識も
社会で活かせるよう生きなきゃ無意味 a角形とa-1角形では必ずa角形の方が外周が長いという証明はいらんのか？ >>21
都合よく誇張した嘘だなそれは
πと表す代わりに３として計算させただけのことだろ 俺たちのお眼鏡に叶う、俺たちの知的なセンスを忖度して解答できる愛い奴を選び出そう
という、なんか、人を小馬鹿にしてる選民思想、上から目線な出題者の性格の悪さを感じる。
嫌な問題。
文系なら、次の解答がいいぞw
判決 3.５>円周率3.14...である。
１ 円周率の定義とは、円の周長の、直径に対する比率である。
２ その定義に従い、計算を行うと、円の大きさにかかわらず、例外なく3.14…
という数値が得られる。
３ 3.14...は3.５より大きい数値でないことは、疑いの余地を挟むことができない。
４ よって、当裁判所は3.5 > 3.14...であることを裁判官全員一致で事実認定する。 >>165
そりゃ文章に書かれてないものを回答したら×だｗ >>160
なるほど分かりやすい説明。あなた頭いいな
ってことは多角形作って比率出したら割と近い数字になるじゃん
・・そういう話か 円周率は3.14だから3.05より大きいのは当たり前。 >>7
こういう否定から入るやつって、絶対自分のセンスある解答は示せないよなw 円周率は無限であることって証明されてるんだっけ？
確かに有限だと矛盾があったような気がしたが >>70
東大生なら東大入試を受ける必要がないという格差社会の矛盾がここにも。
アベ政治の破綻が教育格差に現れた例である。 証明したいけど、正19角形の外周の求め方が判らないから俺には証明しきれない 半角の公式で12角形の辺の長さ求めるだけだろ。東大受験生ナメてるな。 >>175
むしろカネにガツガツしなくても
あれこれ模索して色々楽しめるのが頭良い人の特権だと思う こんなもん暇人だけ考えときゃいいんだよ
そんなことより竹島と北方領土取り返す方法を試験問題にしろバカが 当時さんざん話題になったのにｗ
加法定理証明するのとかも >>1
先生に円周率自体の求め方を聞いて誤魔化されたのを思い出す
答えられなかったアイツはマジでクソ 一般社会と学校って、思考の目的は違う。
一般社会ではいかに手を抜いて簡単にやるかが重要。
そっちの方に頭を使う。
いい学校でてる人は馬鹿にして逆をやって無能と呼ばれる。
難しく考えて、難しいことをやろうとして、馬鹿より劣る結果を出す。
学校では優秀なんだろうけど。 沢山勉強して導いた答えは増税？
なぜ医療費を下げないのか証明してよ。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
