【話題】「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは？
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■東大入試に求められる「数学のセンス」とは？
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と（周期性がなく）続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大？ なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘（たけべ・かたひろ）が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、ＯＫとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
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図で、三角形ＯＡＴは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。OK=1から、ＫＴの長さが計算でき、さらに、直角三角形ＫＴＡに三平方の定理を用いてＡＫ、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733 円周率は3.14だから3.05より大きいのは当たり前。 >>7
こういう否定から入るやつって、絶対自分のセンスある解答は示せないよなw 円周率は無限であることって証明されてるんだっけ？
確かに有限だと矛盾があったような気がしたが >>70
東大生なら東大入試を受ける必要がないという格差社会の矛盾がここにも。
アベ政治の破綻が教育格差に現れた例である。 証明したいけど、正19角形の外周の求め方が判らないから俺には証明しきれない 半角の公式で12角形の辺の長さ求めるだけだろ。東大受験生ナメてるな。 >>175
むしろカネにガツガツしなくても
あれこれ模索して色々楽しめるのが頭良い人の特権だと思う こんなもん暇人だけ考えときゃいいんだよ
そんなことより竹島と北方領土取り返す方法を試験問題にしろバカが 当時さんざん話題になったのにｗ
加法定理証明するのとかも >>1
先生に円周率自体の求め方を聞いて誤魔化されたのを思い出す
答えられなかったアイツはマジでクソ 一般社会と学校って、思考の目的は違う。
一般社会ではいかに手を抜いて簡単にやるかが重要。
そっちの方に頭を使う。
いい学校でてる人は馬鹿にして逆をやって無能と呼ばれる。
難しく考えて、難しいことをやろうとして、馬鹿より劣る結果を出す。
学校では優秀なんだろうけど。 沢山勉強して導いた答えは増税？
なぜ医療費を下げないのか証明してよ。 >>185
円周率無理性は証明されてる
ググれば簡単に理解できる程度 >>178
問題はπ>3.05（≠3.50）なんだから
その回答だと、文系なら読解力ゼロと言うことで尚更巨大なバツがつくぞwww >>174
それは外周もしくは円周率が予め分かってるって前提だな >>165
他教科は優秀だけど国語は苦手という子ってだいたいそこら辺を勘違いしてて
前後の文章から導き出すだけで良いとわかると一気に伸びる 数学は努力次第で一定レベルは何とかできると思う
物理は絶望的にダメだったな・・
どんなに頑張っても理解できなかった 小学生は三平方を特殊例しか知らんし√の計算も知らんからハイレベルな中学受験する子でないと無理
せめて中学生と書いておけよ こんな一休さんばかり作るから、優秀な理系が世界で負ける >>186
「格差社会」っていうけど、訓練してガリ勉してできるようになる
って訳じゃない。元から頭が良いから、デキるってだけのことだぞ。
高校程度の知識を適切に組み合わせる能力ってだけなんだが、
それすらおぼつかない人が「さぞかしガリ勉」とかって妄想する。 高校までの数学は歴史の勉強
古代インド人のゼロの発明から始まって、近代のデカルトやライプニッツの業績を伝記込みで追っていくと楽しいよ これの答えかわからんけど、
多角形の近似値から円周率の範囲を狭めていくのは割と簡単 >>153
参勤交代は景気対策なんじゃないの？
あとは文化交流ｗ >>165
タモリ倶楽部で、大学も入試問題作成者VSその問題文の作者って企画やってたなw >>198
いかに努力しないで大学受かるか考えてたけど？ こういうのって俺みたいなものを知らないバカにも分かった気にさせる説明が優秀だと思うんだよ
だからここまでで>>160がいちばんいい 鳩ぽっぽには解ける あべ一派には無理難題 日本の明日を切り拓くにしても無理なはなし
とかく入試は悪夢 捻りの効いた問題を作ろうとして実際に東大で学問を学ぶ資格があるか否かはなおざりにされている 円周率って日本語は漢字で何をいわんとしてるか想像できるが
英語では「P i」なんだよね >>144
「このときの作者の気持ちを答えなさい」的な問題で作者の子が親に聞いて
「晩飯のことを考えながら書いた」と書いたらバツもらったって小話が好きｗ >>209
微分積分し始めるとつまづくよね
aの上に一個点を打ったら一回微分、2個で2回微分…だっけ？もう忘れたｗ
腑に落ちるまで一年かかったｗ あーなんか大学の二次試験の物理の問題がコペルニクスの原理、楕円軌道やったの思い出したわ 学歴厨御用達のダイヤモンド社が何を言ってんだｗｗ
こんなの良問でも何でもない
ただ何角形で内接させたらいいのかが自明ではないだけ
そもそも受験数学の良問なんぞ数学そのものと何も関係ない 円周率を出すことはできないけど
パイを見て何かを出すことはできる
俺はそれで十分だ >>165
美術も音楽も西洋主体の物はかなりの部分が理論だよ
まあオカルト入ってるけどｗ >>215
それで良いよ､確か正12角形までやれば正面できた 6角形で3.00になるから8角形あたりで計算すれば3.05越えるんじゃね？
ってそもそも記事に載ってたか… >>201
最近、youtubeでたまに数学の観てて知った。学生時代は寝てたからなぁ
とはいえ、証明出来てるんだなってのは解っても、証明のすべては（ほとんど全部）理解できないｗ
√２はよくわかった。でもπは・・・30分動画の３分でファルシがパージした 直径を1とした場合3.16で真円に近くなるから3.05より大きい 先天的に頭のいい人ってのは、まじで時代を問わないんだな
教育も受けてないのにぱねえ >>219 感性というか、暗黙の了解みたいなのを知っておく必要性が高い。 >>162
微分積分とテーラー・マクローリン展開を知らんのか？
高校数学で部分的に学習するぞ >>161
近年の日本では円周率を3として教えていたことは無い
「およそ3」ならある
「3」と「およそ3」の違いぐらいは国語的に解ってくれ… こういう問題は好きだけど、「時間内に」というのが嫌い そもそも円周率って何だよ？から説明してあげれば？
円に対して円周はわかるけど(率)て何だよな輩は多いと思う >>222
>>160 だけど気に入ってくれてありがとうｗ
あとは「円周率なんてそんなもん何でみんな気になるのよ？なんの役にたつの？」
まで説明できたら良かったんだけど… >>230
俺はe^xが何回微分してもe^xなんだという事に中々気付かなくて挫折したクチ
微分しても変わらない関数というのがどれほど有用なのかもっと早く気付きたかった うちの会社のゆとりって、まじで小数点以下の掛け算出来ないんだが、
これってPC時代に対応した教育なのかな？ 平凡な東京大学の学生は文系、理系問わず一番苦手なのが「国語」
つまり本当に頭がいいわけではない。
本当に頭が良ければ、大企業の社長になったり、霞が関の幹部になったり、
政治家になったり、裁判官になったりして住み心地の良い日本になって
いるはずだ。受験勝者というのは別の意味で頭が悪い。
俺が大学入試問題作成者なら、次のような問題を出す。
これで本当の頭の良し悪しがわかる。
「秋深し、隣の人は何する人ぞ」
松尾芭蕉
この俳句で思うことを3000字で延べよ。 証明問題じたいがおなぬー
これやってるうちは世界からさらに遅れる >>228
>物理こそパターン
>東工大東大以外なら
全部パターンだぞ
見たことない設定でもフタを開けたら結局は
滑車やバネをいつまでイジってんだってだけの問題 >>70
この試験、電卓持ち込みOKじゃないだろ
最終的には計算問題だよ 数学のセンスって
たとえば補助線をひくとかそういうものだと思う
数学的モデルに変換するときも
その問題を解いていくときも普通の人が思いもしないあちこちからひっぱってきて解いてゆく
オイラーがそうだった だってそう習ったもん！ ← 99割の人間がこうだろ >>230 高校や大学教養レベルの微積分は深く考えてはいけない。
計算方法を機械的に覚えればいいの。
だから、他ができなくても微積はあっさりクリアしちゃう子も多い。 こんなのｾﾝｽだけで解けるかよｗ
何日も時間かけりゃ別だと思うけどよ
ある程度、πに関する数学者の試み知らんと
その場で解くのは難しいと思うけどな 世界を表す数字は美しい整数でなくてはいけないから3でよいはず >>1
円周率が最後のケタまで解明されていない以上「円周率は未解析」であり
円周率に関する「証明は不可能」である。 これが正解だよね。
>>1 の証明方法は厳密に言うと「真の証明」ではなく「推測」だ。
未解析である円周率を扱う以上「思い込み」の範疇を出ない。
ここを混同すると「数学」ではなく「エセ科学」になる。 >>251
大学入試なんて時間制限かけなればだれでも解ける問題しか出していない。
他人の作った問題を時間内に正確に解ける能力は実のところたいしたことない。 >>74
ボールの中に小さなグラブロを沢山入れろ。 >>260
しかしピタゴラスイッチのピタゴラ装置は全部滑車とバネと斜面の組み合わせでできている >>194
その問題、円周率の問題が出来ない人間には、無理だよ。 自然はエネルギーの低い方に自発的に進む。お前らのオナヌーもだ。 >>258
それ採点する方の身になって考えないと… ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
