【話題】「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは？
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■東大入試に求められる「数学のセンス」とは？
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と（周期性がなく）続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大？ なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘（たけべ・かたひろ）が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、ＯＫとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
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図で、三角形ＯＡＴは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。OK=1から、ＫＴの長さが計算でき、さらに、直角三角形ＫＴＡに三平方の定理を用いてＡＫ、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733 >>1
まず円周率の定義知らないとこの問題は零点になるな >>13
なんで南カリフォルニア大学で語学ができずに政治学を学べなかった安倍が総理をやっているんだ あなたの頭に毛が3.05本以上生えている事を証明せよ 円周率「3.05」より小さい「3」で計算させてなかったっけ >>33
日本人は馬鹿だからその式で原爆ができると勘違いして、
アインシュタインを非難したんだよなw >>365
>ガウスが「数学のセンス」を論じるんなら信用するけど
その通りw
予備校講師が「数学のセンス」を論じても失笑でしかない
ガキと学歴厨を気分良くさせるお仕事 大学一年の微積の救済問題やったな、これ
あと人名クイズw 訳の分からん問題を証明せよとか誰に命令しとんねん！
ええからさっさと俺を合格にせえや。 >>1
こんな問題、パターンのひとつでは？
東大てこんな簡単に入れたっけ？ 関数電卓で6角形と12角形計算したら合ってたので多分大丈夫だな
0.5×√(2-2cos(60))×6
=3
0.5×√(2-2cos(30))×12
=3.10582854123 >>372
>わかんねーよってブン投げるより考えてみるの楽しいじゃん
一生知恵の輪でもやってなさいな >>373
学者ってのは趣味に分類されるものだろ。
生計は他で賄いつつ、余力で研究してる
プロ数学者とか言わんやん。 >>1の模範解答はかしこまって意識しすぎ。
東大入試の解答ってそうじゃないだろ？
で、常識的に考えると
sin30°=0.5 これよりπ＞30.
sin15°=0.2588 これよりπ＞3.10
と3秒で終了してあとは国語の問題なんだけど・・・
一応は証明の問題だからスッカスカは気持ち悪いし、
念のため二等辺直角三角形の鋭角の半角からsin22.5°あたりを計算して、
そこからπ＞3.06
ってほうが、スッキリして綺麗じゃないかな。 >>313
数学教師が言ってた。
円なんて存在しない、直線を細かく繋げたものだと >>28
東大の問題って、基本的には計算力勝負だね。
官僚養成→情報処理が大切なので、計算力。 >>373
生産性って数学ないと計算できないけどなw >>374
言われてみると円周率てなんだろうな
計算のための便利な数字としてしか知らない >>336
何言ってるの？
たぶん貴方と会話出来ないわ 佐藤 孝俊（さとう たかとし）
鳥山 純一（とりやま じゅんいち）
少女猥褻罪
少女強姦罪
１９７９年 ４月から１９８０年 ３月迄生まれ 共に。
神奈川県 横須賀市に 居た 野郎
一斉に 全国に 送信し続けて下さい
皆さんの 協力が 必要です なんで円周の方が長いかを誰か証明して
多分伸ばしたら長く見えるだろうけどそんなの証明じゃないし
理由を分かってるから正解なんでしょ？ もちろんこんなものは誰にでも溶ける問題だ
だがその解き方にセンスが問われる
何でも回答が出れば正解と言うものではないんだな >>392
曲線も存在しないなら微分なんていらないよなw >>1
三平方の定理を繰り返し使っても解けるのね、余弦定理（または正弦定理）を使う解法は知っていたが
ただし、
＞正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。
小数を丸めているところが気になる >>178
自分が知的センスあるとでも思ってそうw これは有名な問題だから今の参考書にはたいていのってるけど
それまでは数学のセンスというか数学史を知ってると有利な問題でもあったんじゃないの >>401
は？
それマジで言ってるの？
何お前
ガチの馬鹿？
ワロタ >>393
>官僚養成→情報処理が大切なので、計算力。
予備校講師やパズルの達人になる訳でもないなら
そんな訓練は不要 3だと簡単すぎるから3.05にしてるだけでただの計算問題なんだよな >>399
バレンタインデーでモテるためには最低でも２週間 これは「証明方法を知ってるか知ってないか」だけで差がついた糞問だぞ
こんな糞問を持ち上げてる奴はFランか高卒だけ >>76
この問題を最初に解こうとすると焦っちゃうかもだけど、
他の問題を順調に解いて、
気持ちに余裕がある状態で臨めば、きっとあなたもできたはず。 >>416
知ってるかどうかも何も
この程度ならその場で思いつくだろ Q.「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
A.「3.14だから」 東大受験専門学校の連中ばっか入学してて 大学側は危機感感じてるんだと >>258
医師の和田秀樹（アスペ）が
東大の国語は100点中2点でも合格できるような受験計画で
理科三類に合格
現代国語以外は数学も全部暗記で何とかなるという受験術で一世を風靡した >>319
アホに教えなくていいよ
たぶん目が見えないんだよ
円がどんな図形なのかすら分かってない障害者 受験生はパターン化された問題は鬼のように反復演習して記憶してるからすぐに解いてしまう
出題する側もそれを知ってるから
レベルの高い大学はそれからズレた、典型的解法ではすぐには解けない問題を出したくなるのはわかる >>373
数学者って証券会社とか仮想通貨の予測プログラム作ってるよ
>>388
知恵の輪大好きw
あと仕掛け付きの箱をあけるのとか組み立てるのとか >>420
そんなくだらない事をその場で思いつかなきゃならない謂れがそもそもない
馬鹿らしい 彡 ⌒ ミ
(｀・ω・´) 難しい問題に悩むと禿げるよ。 3.14が3.05より大きいからだろ？
なに言ってんの？ >>416
数学の歴史を知らん奴が東大で何を学ぶんだよ・・ｗ 1つの解答を求めるとき
いくつかの方法があって
どれも正解は同じだけど
プロセスが効率的だったり難易度が優しかったりする
数学のセンスってのはそーいうこと >>425
「大学で本物の数学を学ぶのに不要なパズル競争」であることに変わりはない >>348
消防には難しくね
厨房なら余裕だろうが >>196
教師なんて卒業大学の偏差値50あるかどうか怪しいぞ 余剰定理で解け
6.12と比較する上で6.1になる3.05がわかりやすかっただけ >>392
あのね…「点」や「線」すら実物が存在し得ない概念だよ…
実物が在るかどうかではなく、この世界をどう切り出すか、それをどう使うと何が見えるか？って話
「言葉」も「1や2っていう数字」も何も「モノ」として存在してないだろ？
でもソレを使って便利な生活をしてる >>426
後は航空機の飛行プログラムとかもっと効率的な機械学習のアルゴリズム考えたりとか >>397
いや、できてるよ
およそってのはどれくらいの範囲なのか聞いてるだけだ
それくらいはわかるだろ？ >>392
微分大好きな数学フェチって、なんでも小分け小分けして永遠にゴールにたどり着かないんだな
直線は直線だろ→直線AB上の点Cで切断したらA-C側とC’-B側の、CとC'は別になる！
とかわけのわからんことを言い始める >>431
>数学の歴史を知らん奴が東大で何を学ぶんだよ・・ｗ
大学に入ってから学べばいいだけ >>356
sin15°ｘ12で3.1超えるから、
精々少数以下の計算桁が1ケタ増えるだけ。
こいつが3.12となると格段に面白かったけど、
今度は中学校の数学の教科書末尾（通称暗号表）を暗記してる奴がニヤニヤしてしまう。
そう言う意味で東大（理）のチョイスとして3.05は確かに絶妙。 円の中心を頂点とする二等辺三角形を多角形の数だけ並べて、
その底辺の合計と半径の割合を求めるって方法であってたっけ？ >>434
お前そんなんだとマザーAIをハックされて地獄を見たサマーン星人と同じ悲劇を体験する事になるぞ >>438
>そんな事やってんのか
んなこたーない
数学者は数学を研究してる人
大学の職がなければ在野で研究 >>340
それ。少なくとも>1のおっさんは題意を完全に見誤ってる。
円周率を出すあの手この手
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/pi04.pdf
高校生向けだと、テーラー展開っぽいプロセスを答案で見せて、
何項目で3.05を超えそうとか、あるいは挟み討ちっぽくやると
ポイント高そう。 多分出題者は正十二角形とか使って解答させたいんだろうが
そんなアホが出題者であるとこに驚愕する 旧帝数学科出身の俺が選んだ一般人向けの論理的思考力を鍛える良問
次を示せ
A∩B=A∪B ⇒ A=B >>9
これな
証明って出題者がアスペだと糞だるい >>419
オイラがぁ〜！
とか言い出すのかと思ったら虚構でツボった。 これは正六角形の周囲の長さが直径の3倍だから、円周率は3以上、
というあたりから詰めていくのやろ。 >>452
>多分出題者は正十二角形とか使って解答させたいんだろうが
>そんなアホが出題者であるとこに驚愕する
東大の数学科の教授も「受験数学ができなければ学問の数学など
学べない」とはあまり思ってないと思う 東大工学部の部下が居たけど、確かに論理的思考が凄くて何歩も先を行ってるんだけど
モノゴトを動かすのは欲深く感情的な人間って事を分かって無いんだよなー
っで為替や株で大損コイてる。
相場変動はアホが起こしてるってのがワカランみたい。 何が良問なんだ馬鹿、学者ですら答えられない問題出してドヤ顔してるゴミは死ね >>405
3の平方根も1.7320508くらいまでは覚えてるからもう少し行けそうだよね
でも2-√3の平方根を求めるのはそれくらいで許してやれよ
その程度で3.05より大きいことは証明できるのだから >>401
>>319で納得してけろ。昼さなに食うべ？
母ちゃん買い物さ行ってくっからな。 >>249
東大は、１問25分かけられるから、
別にダメじゃないじゃん。
まあ、この問題で土時間を短縮しておいて、
別の問題に時間を割きたいところではあるが。 秋深し 隣は何する人ぞ
は夏が終わり、秋が来る寂しさとその寂しさから人恋しくなる
松尾芭蕉の気持ちを読んだ句と思うが、どうして夏の終わりが
寂しくなるのか。あの入道雲が消え、空には鱗雲になり、
暑かった日々から気温が下がっていき、野原にはすすきが生い茂る
そんな心的情景と人恋しさをどう読み取るか大変難しい話で
こういうことをきちんと思いをはせ、3000字程度で人へ説明
できる能力は、他人と自分がお互いに忖度できる良い人間関係や
社会を築くことができるのだが、いかんせん今の受験教育は
たかが高校程度の学習内容で特権意識を持つ受験勝者と
それが10代では理解できないで屈託した気持ちをもつ受験敗者
という2者を生み出すだけのいびつなものになっていると
しか思えない。 >>325
気象予報士のほぼすべてがピアノ弾ける。真美子とか。 >>423
団塊Jrの受験地獄ではみんな暗記してくるから優位性は皆無だったが。 >>468
というかそもそも「暗記じゃなけりゃ高級」って訳でもない 円周率を3と習ったゆとりの僕から見れば、この問題自体が解の無い間違った問題です。 >>76
こんなの高校（中学？）の教科書に書いてある話じゃん。
最近の教科書には載ってないの？ >>453
数学の言葉で記述する能力はないけど、
集合Aと集合Bの共通する要素がAとBをぶっちゃけた要素と
同じということは、Aだけ、あるいはBだけに属する要素が
存在しないということだから、AとBは同じ集合
ということでいいの？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
