【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg ＞1/3＝0.33333……
奇妙に見えるとしたらまずここだろ
ここで引っ掛かれよ
0.99999……ではじめて文句言うとか
どういうつもりだよ 1/3 ≒ 0.33333333･･･
ってことだろ >>5
≒ つまりこれだよね
1≒0.99999....... 分数の必要性を改めて説いただけじゃん
何をいまさら… 以下、高校や大学で噛った程度の自称理数学者様のマウントの取り合いをお届け致します 1/3と循環小数0.3333333は表現が違うもの そもそも俺は1/3=0.3333……ってのがしっくり来ないからこれ昔から意味不明だった。1/3は1/3じゃん 相変わらず馬鹿過ぎて困る
1/3は0.333...と等価ではない 0.9999…=1を納得できない学生が毎年大量に発生する わからんなぁ
0.9と1の間を無限に細かく刻んでいくって話であって
小数第一位の9は絶対に繰り上がらんと思うのだが 一つ忠告してやる
整数論の深淵に踏み込むと帰れんぞ 円周率およそ3とかやってるのにこんなところは拘るのか この不思議を楽しもうとスレを開いたらあっというまに不思議感を消し去ってしまう君たちは最低です。 >>1
このソース元って飲み屋のねーちゃん相手にしかいらない情報ばっかし
端的に役立たず 馬鹿馬鹿しい記事だな。1/3と0.33333…は同じじゃないから答えは違う。
ていうか0.33333…という表記で数学的に無理数を書くのはナンセンスなのよｗ >>20
原則的には等価だぞ。
条件漏れしてるために、復元できなくなってるので可逆性がないだけで。
循環小数は、計算途中で抜け出した場合の端数が記述省略されてるから（※割り算の余りみたいなもの）
その分の誤差。
小数点以下2位程度で割り算を終了して余りを求めてみて、
それを根拠に逆算してみれば復元できる事は容易に証明できる。
循環小数は、それとの差だと云うだけのこと。 0.333... + 0.000... = 1/3
つまりはこういうことだろ？ 東洋経済とかプレジデントとかもう開き直ってバカ向けに記事書いてるよね 手抜きした分が差になってるだけだよ
永遠に3を書き続けろ >>10
大学数学とかやると=の定義が変わってくるんだわ。
等しい ではなく、上と下から挟んで行った範囲とかの意味合い。
挟む幅が仮に0.1なら0.9も1.1も=1になる。
純粋な理論数学というよりは、高学歴よりの発想だけどな。 0.3333333…は1/3の似てるようでもまったくの別物なんだよ
おすぎとピーコみたいなもん >>52
そうだったな。無理数の定義でも書いてくれよ。 むかしはこんな計算でも大学問だったからな
真面目に計算した人だけがもらえる神様からのご褒美だったんだよ 142857は
142
857
と半分にして足し算にすると999になるよ
1/13の循環小数で試してみ パソコンの電卓で１÷３×３を計算したら１になったんだが、何故そうなるんだ？ 0.9999＝c
9.999＝10c
10c−c＝9C＝9
C＝1
でこの事から対角線論法は0.0000…0＝0.000…1により
否定される。 どう考えても、天邪鬼ガイジが屁理屈捏ねてるだけにしか聞こえない。
0.999……=1の証明は高3の極限をやらなくても、高1の整式の計算で触れる。 えっネタだよな？
1/3と0.33333....の違いがわかんないって事？
一般人の頭のレベルがどんどん下がってるのかね
日本人ノーベル賞受賞も、今の老人世代ぐらいが最後になるんだろうな >>31
有限回くりかえしたときは、その通り
なんだけど
無限回くりかえしたときだけ
1/3＝0.33333333なんだよ >>67
という定義があるとこの疑問はナンセンスってことになるかな？ｗ ７は６桁循環、９も６桁循環、１０は４桁循環するよな 最初の式より、説明の方が分かりにくい
説明分かる人は最初の式で悩まないだろ
知識型の人には公式で収束するとこになってるから、みたいに言われたほうが納得できるんだろうか 謎でも何でもないやん
俺がもう禿げてるのにまだ童貞なことの方が謎だわ ていうか10進法じゃなくて16進法だったら３の連続はないよねｗ 0.999……と1が、違うなら違うでいいけど、
その違いは日常生活にどう関わってくるの？ >>5
馬鹿
1÷3=1/3=0.3333333333333333333
1/3=0.3333333333333333333 これって公立中学２年ぐらいで習うネタだろ 今更かよ >>33
あってねーよ
非ユークリッド空間でした、無限の果ては収束しない 要するに０、９９９・・＝１ってことだろ
まどろっこしい説明は全く不要 >>69
10進数では1/3を表現出来ないだけ。
1/10を2進数では表せないのと同じ。 中学生レベルの数学じゃん。
でも、中学生レベルの数学も理解していない大人が世の中にはあまりに多いこと。 つまり完璧な1/3なんてものはそもそも無いという事だろ >>1
おもれーなーと思って小数点以下かけてみた
１４２８５７ × １．１ ＝１５７１４２．７
１４２８５７ × １．２ ＝１７１４２８．４
１４２８５７ × １．３ ＝１８５７１４．１
ははｗ やっぱり崩れたかｗ ダメだったかと思ったがお気づきだろうか
最初の１と小数点以下の数字を足すと ちゃんと１４２８５７が維持されてる・・・ なんだこれ？ｗ
>>72
0.333...を無理数といってるのが間違いなんだが
正確な表記法じゃないかも知らんが、文脈からして循環少数の話してるんだからその程度は汲み取れよ >>81
誤差をどんどん積み重ねてゆくと誤差じゃなくなって予想とずれるって教訓になるんでね？ 123456789×8+9= 987654321
12345678×8+8= 98765432
1234567×8+7= 9876543
123456×8+6= 987654 定義づけで＝ってことにしたんだから＝ですって教えればいいのでは。 3割3分3厘3毛3糸3忽3微3繊3沙3塵3埃3渺3漠3模糊3逡巡3須臾3瞬息3弾指3刹那3六徳3虚空3清浄3阿頼耶3阿摩羅3涅槃寂静 >>20
いや等価だよ。3が無限に続くならな。
極限値の概念って中学の範囲だよな? 実際には存在しないんだから
そういうものってことでいい ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
