【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「－1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1－公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1－1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ マイナスとマイナスをたすとマイナスになるのに
マイナスとマイナスをかけるとなんでプラスになるの？
お前らじゃ分からなさそうｗ
ちっとは勉強しろよｗ 数字や理論がどうのより
人とのつながりのほうが大切だと思うの この世で生きていくには >>74
ケーキを三等分するだろ
そうすると、スポンジが崩れたり、ナイフにクリームが付くだろ？
だから三等分したはずのケーキをくっ付けても、元通りにならないだろ 定期的に5chで伸びる算数・数学スレ
・掛け算の順序
・ゼロ除算
・1 = 0.999...
・確率問題全般
共通点は「よくわかってなくても議論した気になれる題材」 >>35
結論から理論を導き出そうとする人にとって理論を理論のまま考えることは難しいことなんだな
と前スレ見てて思った。 こういう奴は、点とか線とかにも
文句言いそうだなw 1÷3
1を3で割ると0.3余り0.1、その0.1を3で3で割ると0.03余り0.01、その0.01を・・・
10進法では余りが無くなることはない。よって
＝は使えない。 >>68
なんで収束するのと収束しないのがあるのかを聞いているわけだから
回答になってないけどな >>80
極限で発散しなければ、無限ではない。
無限ホテルの問題は、無限という概念にたいして演算してるからおかしい事になる。 0.999....＝1
は証明出来るけど。
両辺を10掛けた奴を引く。 >>49
最初から割り切れないから「…」が永遠に続くと説明させているので、終わりが無いのは分かっているけど、動的な印象はないな >>92
全ての理は・・・無限大数によって表される x=0.9999… とすると
10x = 9.99999…
10x - x = 9.999… - 0.999…
9x = 9
x = 1
つまり
0.999… = 1 入力できないけど、３点リーダーじゃなくて、上に点を書かないと >>81
A地点の反対方向を向いて歩くと離れる、さらに反対方向に歩くとA地点からさらに離れる
A地点方向の反対を見て後ろ向きに歩くとA地点に近づく 10ｃｍのウンコを3つに切ると1本は3.3ｃｍ
3をかけると9.9ｃｍになるけど
包丁に付いてるウンコを足すと10ｃｍになる 俺たちの時代は後から電卓やPCが登場してきたから
電卓やPCでの計算の見直しを筆算やそろばんでしたけど
今の若い子は電卓やPCが絶対だと思ってるからな 同じような話で
Y=1/X のグラフの曲線は絶対にX軸とY軸とは交わらない
高校で習ったろ！ 当たり前だけど この手の話は 分からない人ほど食いつくんで人気がある
「相対論は間違っていた」 とか 「熱力学第二法則はおかしい」 という類の人に つうか、０．３３３３・・・・って言う前に通分しろよ 十進法だからだろ
12進法ならこういう問題は起こらない 「こういう定義です」で終わる話
循環小数にしても無理数にしても実際には存在しないもの扱っているのにどうやって具体的なものに当てはめて説明しろと 両辺を10倍して辺々引く証明は簡易的にはありだけど、「極限操作と四則演算を入れ替えられる」ことを前提とするので厳密には説明不足 >>104
循環少数を有理数表現するための基本としてそれを習うと思うのだが
何でその部分だけ切り取ってこんなに盛り上がれるんだ >>110 俺もいまだにエントロピーの計算方法が分からないんよ >>112
切ったカスとか、大きめのイチゴとか、上に乗ってる
砂糖菓子のサンタは、切った奴の特権だろｗ >>106
残念だが０点ｗ
数式で証明しないとｗ
数学なんだから 個々の自然数の定義なんじゃないかな？１は「初項０．９、公比０．１の無限等比級数」。２や３にも同様の定義があって以下無限に定義可能。 掛け算と割り算が混入してる式では、（ ）がない限り掛け算優先で計算するんじゃなかったけ？
だから。１÷３×３＝１×３÷３＝１となると習った記憶がｗ 1/3は状態、1割3は割るという行為、又は行為の最中
そういう違い ＞『1/3＝0.33333……』
そもそも＝ではないだろ、何勝手に同じって言ってるんだよ。 ホールケーキを分度器使って１２０度ずつ３つに切り分けられるじゃん
でもって１人で全部食えば１になって糖尿病になるんだよ そもそも小数なんていらないよな
小数があるからこんな面倒なこと言う奴が出てくるんだろ？
分数の方が正確な表現なんだから小数をこの世から消しちまおうぜ よくわからんが、１÷３×３の答えは１ですよってドヤ顔で言うコンピューターは
実は内部で計算せずに誤魔化してお茶を濁してるってことでいいのかな？
こういうのはGOTO １０の無限ループみたく、フリーズして止まっちゃうのがコンピュータの甲斐性だと思うがなあ >>125
じゃあスレタイにおける｢切った奴｣って誰なの？
もう自分でも何言ってるかわからんww >>124
エントロピーがわかんないのは 可逆 がわかってない場合が多いと思う
可逆も現実世界では人類が体験しない極限的な概念なんで 難しいのは同意します 俺は全然気にしない。全然不思議じゃない。1/3は0.3333・・・・・と違うもの。
0.3333・・・・・が無限に続いちゃうから便宜上1/3を使うんだなぁと思うもの。 循環小数よりちょっと大きい、ってわからない人いないだろ そもそも10進数に縛って考えるからこんなややこしい話に
3で割る話話なんだろ？3進数でかんがえたら
1÷3=0.1
スッキリしたもんだが 馬鹿かよ
100個のエロゲーを3人で分けたら
33個33個33個で1個余ってるだろ
つまり余ってるから3人で分けきれてないんだよ >>142
くっそーそろそろボケるのも難しくなってきたな・・・
そろそろ出すか・・・・神をｗ これπと一緒だろ、こんなんで謎とか一生考えてろって感じ だからさあ
0.33333*3←これは1じゃない。明瞭
だけど
0.33333......*3←これは1
俺のこれ合ってるよな？ >>126
数学。って、座標空間で証明するんだが。
（笑） は？だいたい1/3=0.333333…じゃなく
1/3≒0.3333333…ですから
はい論破 要するに0.9はほぼ1だから1でいいよってこと？
え？違う？ >>149
初等的というか簡易的にはアリだけど
極限操作と四則演算の順序が入れ替えられることを示さないと辺々引けない つまり
「あんたら数Ⅲまでやってないでしょ」
と言いたいわけね。極限は数Ⅲだから。 >>160
違う。
両辺10掛けて、それぞれ引いてごらん。 数学者ってこんなのを年がら年中考えて証明しようとするんでしょ、純粋なんだろうな アキレスと亀だよなあ。
0.99999…=1という考え方じゃないと永遠に亀に追いつかない。
逆に言えば、実際には追い付いてるのだから1なんだろう。 極限はもうなんていうか 「そうなの！そういう世界なの！」 で理解するしかないんでは？
図形の極限にも通じる 円は結局拡大すれば直線になるというのと同じ 10進数の限界というのも正確さを欠く
何進数にしようが同種の問題は発生するので ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
