【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★3
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572933868/ >>87
貴男が女性に近づきます。
女性は貴男を避けようと少し遠ざかります。
貴男はその人にまた近づきます。
女性はまた少し遠ざかります。
永遠に一つになれないと勘違いしてしまいますが、貴男は女性と一緒になれます。これが「極限」です。 むしろここまでSIAM SHADEと川本真琴が居ない事にビビるわ >>87
極限的に1に近付くのは
{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...}
という数列
0.999... は近付くも何もなく静的に1 >>80
それを無限に続けていったら1/3に一致するという話 limx→0(1/x)=∞と同じ話
深く考えちゃだめ ０．９９９・・・
は、ある天才がｗ
＝１だと定めたから１なんだよｗ
それまで、１かもしれないなあってはみんな思ってたんだけどｗ 0.33333…は小数点以下全て 3 の循環小数なのだから、それに
3を掛ければ必ず0.99999…の小数点以下全て 9 の循環小数となる。
1/3＝0.33333…であるばらば1/3の3倍は1なので
1＝0.99999…が成立 0.333…と1/3はそもそも違う数字だから当り前だろう >>104
ですね。
1という数字は0.999・・・と表すこともできると 1/3と0.333…は別物と考えれば答えは違うだろ >>6
アナタ ハ アタマ ダケ ミテ シッポ ハ ミナイ ノ レスカ
チイサナ スウジ ハ ムシ スルノ レスカ ？
ワタス ノ ホシ レハ
1÷3=0.2
1÷5≠0.1111・・・
ナノレス
アナタ ノ ホシ レハ
1÷3=0.3333・・・
ナノ レスカ ？
0.3333・・・×3=0.9999・・・=lim(n→∞) [1−(0.1)^n]
レ
lim(n→∞)[(0.1)^n]=0.0000・・・=0
ラカラ
0.9999・・・=1
トイウ コト ナノレスカ？
アナタ ノ ホシ レハ
dy/dxのdx
ハ
0
ナノレスカ ？
dy/dx=0/0
ナノレスカ ？
アナタ ノ ホシ レハ ビブン トイウ ガイネン ハ ナイノ レスカ？
ワタスノ ホシ レハ ビブン トイウ ガイネン ガ アルノレス
ラカラ
0.0000・・・≠0
ナノレス
ラカラ ワタスノ ホシ レハ
0.9999・・・≠1
ナノレス
ヨッテ ワタスノ ホシ レハ チキウビトノ ケイサン ホウホウ レモ
1÷3≠0.3333・・・
ナノレス
ワカリ マスタカ？ >>106
それ、マイナスから寄せていくと-∞になるから こんなもん所詮人間界だけでしか通用しないからな
便宜上計算が必要なだけであって物体は一時も同じ状態でいられない宿命
0.99......がやっぱ本当の答えだよな 「無限」を安易に扱うなよ
女の子に「無限回告白してきたら付き合ってあげる」と言われたら
それは「何億回告白しようが絶対に付き合わねーよバカ」と言う意味だ >>104
確かに 「近づく」 というと 「まだ届いてない」 イメージになるな
誤差が残ってる感じがするから ≒ っていう人がいるんだな 循環ってことは、永久に答えの出せない計算問題なんだよね
いつまでも３やら９やらが続くってことは分かっているはずなのに
それでもやはり永久に答えを出すのは無理。スパコンでも永久に無理 無限に1に近づけられるならいつまでも1には到達しないように感じるのだが？ >>120
亀が女の子、アキレスがこどおじだったら、有限時間内で付き合えるよ。 チキウビト ノ シトタチ
チキウビト ノ スウガクビト ノ カンガエ ヲ モウシン シテハ イケマテン
0.9999・・・=1
トイウ チキウビト ノ シト
0.000・・・=0
トイウ チキウビト ノ シト
ハ
dy/dx=0/0
ナノレス ネ ？
チキウビト ハ ソノ レベル レスカ ？
セイスウ
a/b
ヲ ヤクブン シテ
c/d
ニ シマフ
n シンホウ ノ n ヲ ソスウ ニ ブンカイ シマフ
d ヲ ソスウ ニ ブンカイ シマフ
d ノ セイブン ニ n ノ セイブン ニ ナイ セイブン ガ アレバ
ジュンカンスウ ニ ナルノレス
ツマリ ワリザン ハ d ノ セイブン ヲ スベテ フクム シンホウ
デ ケイサン スレバ ジュンカンスウ ニ ナラナイノレス
ツマリ
1÷3=0.3333・・・
ノ ジテン デ マチガッテ イルノレス
ワカリ マスタカ ？ >>116
ちがいます ここでは みんなプレジデント >>121
0.999...が頭の中で「動いている」うちはダメなんだよな 無限とか連続とか考えまくった数学者。誰だっけ？
確か最後は自殺しちゃったような・・ 数学ってそういうものって割り切らないと
受験勉強は出来ないよ 工学的には近似でいっしょ。数学や基礎物理学的に違うものになるんかな？ 何でかと考えるより
前に進むことが重要
分数の割り算は何で分母と分子を逆にしてかけるのかとか
深く考えたらダメ
そう言う物って思って先に進む 自転車に乗っていたら、ピザーラナンバー区8区5とナンバー3禄とバッティング。
ほぼ同時。
わたしの真後ろにピッタリとつけて、
左折時もほぼ歩道の白線上を曲がって来たので
ブレーキをかけたら追突されそうになった。
たった今。この人達は
注文のないピザをストーカーしながらストーカー仲間の
所に連絡なしに届けて仕事中に通行人に
嫌がらせをするという仕組みを作ったのではないか？ 0.9999は絶対に1にはならない
何故なら魂がそこには足りてないからだ
DNAが同じのクローンが元の人物と同じでないように、魂が欠けてちゃ本物にはなれないんだよ …じゃなくて
ちゃんと循環少数表記かlim使えって結論でただろ >>126
前スレで10進数の限界という結論は出てるので終わった話。 1と0.999999の差、欠損はなに？ダークマター？ >>135
1kgも物を三つ合わせて一つの塊にする。
これは「一つ」だが三つに正確に分けられる。
数字は少数にすると正確に分けられないが、
1/3という形で表せる。
10進法では1÷3は小数で表せないというだけ。
12進法だと1÷3ができるが。 日本は高卒が５割
そして大卒でも７割が文系。
だから理系は日本人全体の１５％しかいない
だから０．９９９９・・・＝１を理解できない奴が８５％もいる >>139
不思議だよな。8進数でも12進数でもなくなんで10進数が一般的になったんだろうか？やっぱり指の数なん？ >>122
矛盾してるよ。
循環するということが確定しているならば、それは値として確定している。次に来る数が分かっているのだから。
お前が言ってるのは循環しない無限小数の話。 0.9999・・＝1だよという話。
うちの嫁（音大卒）に説明しても頑として納得しなかった。 >>141
うむ、キログラムの定義が3で割りきれる数で幸いした。 >>145
12進数(ダース)と勝負したが、ゼロの参入で敗れたのかな。 >>140
無限小数はどこまで行っても割り切れない
ということはどこまで行っても余りがある
小数点以下∞桁まで行っても、1/∞の余りがある
それがその差 香村茂樹の職場の皆様、こいつは買春キチガイです。
9月21日も、新宿のモモカフェという出会いカフェにて、3と書いてある黒い半袖シャツ着て買春相手を探しておりました
11月4日も同店店内におりました。
服装は汚い赤とエンジのチェックの長袖シャツを着て買春相手を探しておりました。 >>145
10つまり十
この形は十字架、キリスト教のシンボル
偉大な数字なのである >>152
パイは無理数だから、ちょっと違う話では 0.9999・・・=1
限りなく近いのではなく全く等しい
そんなの常識 >>158
分数の方が必要だろ？少数の方が要らない。 おまえらは本当にバカ
ココに1個のケーキがあるとするよ
それを3等分したとするよ
その3等分したケーキを合体させたら
また1個のケーキに戻るだろ
そういうことだよ いみがわからん
もともと別の数字なんだから
3をかけてもイコールにはならんだろ 0.99999…は収束して1になるという数学者と
0.99999…は収束しないから1ではないという実学者
これはどちらも正しいのよ
数学的証明はできても実学的証明はできない >>1 なんで謎なんだよ。
アキレスと亀でみんな学んでるだろw >>1
＞答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる
上に書いてある計算結果がどうしてもそう見えない
7→4→1→8→5→2
としか見えないが・・・・ 小学生のとき分数を少数にするのがどうしても納得できなかった
今思えば無理やり10進法に変換するのが納得できなかったとわかる
誰がこんなの決めたんだ！って思ってた
あのときの自分にピタゴラスさんがそう決めたんだから納得できなくても覚えるしかないんだと言ってやりたい >>161
包丁についたケーキ分が足りない0.000…01
なんだよな
寧ろ正しいのは電卓 >>142
55％が大卒。
20％が専門卒。
資格持ちが10％位？
高卒はたったの10％だよ。若い世代では。
君は45歳位？ ｗｗｗ 筆算のイメージからだと思うが、0.333...に3をかけて0.999...になるという発想がそもそもの誤り。
筆算でやるなら、ちゃんと末尾の桁から計算してやる必要があるが、それが永久に辿り着かないという状況。 >>163
そもそも0.999...は数列でも関数でもないただの1つの数なので
「収束するか」を議論する数学者なんかいません
聞き齧り知ったかぶりの典型 >>158
パーセントだとケーキ三等分するときちょっと余っちゃうじゃん この世界は10進数でできてないのに無理やり10進数で表現するからおかしいことになる >>165
六桁目の数のことじゃないぞ、答えの六桁が、どれも142857の順番をずらしただけ、ということだ。 >>169
だからといって0.333...が3倍できないわけではない >>168
馬鹿でも大学に行くから、
ブルーカラーが不足するんだよなあ。 >>158
パーセントって、/100って意味だろ？分数やん >>169
末尾から筆算しないとダメ、ということからして間違い。 1-0.999999・・・永遠に続く＝0.000000永遠に続いた後に1
永遠に1に辿り着かないから結局は0ってこった >>172
その通り
世界は1なのだ
すべてがオンリーワン うちの事務員ちゃんがつくったエクセルさんがよく1円ちょろまかすんで困る おかしいおかしいって言ってる人は1/3=0.3333…を認めておきながら0.9999…=1を認めないのがおかしいだけ >>163
実学が何を意味するかよくわかんないけど
現実にアキレスは亀に追いつくんで そうとも言い切れない
極限を 「現実にはない」 ものと思うのは勘違いのもと 割りきれない以上少数では答えられないんだよ
答えを出すために分数ができた。考え方が逆 人間の産み出した数学が完璧ではないという証拠のうちの一つだよなこれ 数学科卒は工学部卒の数学をバカにする
工学部卒は経済学部の数学をバカにする
経済学部卒はプレジデント記事をバカにする
、、、 >>1
1/3の割り算先にしないと一致するわけないやん >>182
前者は筆算イメージできるから同一視できない心情はわかる
1/3=0.333... は認めるが1=0.999...は認めない
というのはよくある症状 >>172
この世界は振動すなわち正弦波でできている。全ての計算はsin cos tan で表すべきだろうな。 1/3＝1÷3は万人が認めるんだろ。つーか定義だし。
だったらもう1/3でいいじゃん。それだけ使っとけ。 >>183
これこそ詭弁である
現状で実世界に存在するものしか扱わないのが実学者 >>189
そうやってとりあえず文系認定するのが池沼 0以外の全ての数字には方向がある
+1,-1,+i,-i,(1+i)/√2,…
0だけは方向が無い
よって、+1/∞には方向があるので+1/∞=0では無い
だから、1/3=0.33333…余り+1/∞
の余りは0では無い 数学的ダークマターってどうなの？
あるん？
重さも何もない概念的な存在だが これを乗り越えられない小学生中学生は詰む
>>8
頑張って大学入ってサラリーマンやって
子供が馬鹿なんだがどうしたらいいの的なパパ向け記事なんでしょ まあ...て表現が曖昧
1=0.9999....が気持ち悪いのは分からないでもない
ならば1/3=0.3333.....て表現にも違和感持って欲しいがね ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
