【話題】「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは？
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■東大入試に求められる「数学のセンス」とは？
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と（周期性がなく）続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大？ なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘（たけべ・かたひろ）が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、ＯＫとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
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図で、三角形ＯＡＴは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。OK=1から、ＫＴの長さが計算でき、さらに、直角三角形ＫＴＡに三平方の定理を用いてＡＫ、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733 >>489
作る段階では必要でも、使う段階は不要って知識は世の中に山ほどあるし。 「このハゲー！」「領土は戦争で」
東大卒業してもこの程度。 πは重要な数式に含まれていることがある
円周の計算は最もどうでもいい用途 ∴（ゆえに）
なんでこんなのまで記号にするんだよカッケーなおい！ >>521
修正
A⊆A∪B＝A∩B⊆A
B⊆A∪B＝A∩B⊆B >>1
教科書見ろよ
円周率3.14て書いてあるだろ
万が一にも教科書間違ってたら信用問題だろ
だから3.05より大きい
これで正解 >>522
同感、証明してください、くらいの表現にすべきだね >>428
彡⌒ミ
(´･ω･`)何故、それを早く言ってくれぬ・・・ >>475
e^iθ＝sinθ+icosθ
これ好きだわ。なんでも時間内に解かせて点数化するのは間違っている。
こういう素晴らしい式を愛でるのが本当の数学への愛。
これを使うと、こんなこともできる。
虚数の虚数乗 ｉ＾ｉ
神戸大学大学院卒（理系＠コンピュ一タ科学）に聞いても
何それって程度の反応。ダメだねえ。大学教育も。。。
オイラ一の公式をつかうとｉ＝e^i（π／２）＝sin（π／２）+icos（π／２）
で結局 虚数の虚数乗はe^−（π／２）
と無理数になるんですよねえ。不思議だなあ〜
東大の学生も半分ぐらいは理解できないでしょう。(文系、理系両方の学生） >>453
関係ないけど今の高校数学は真部分集合の概念をやらないから集合論の古い入試問題の多くは解けない >>522
でもですよ。
将来はお国の為に働いてもらう人々ですからね
それでよいのかも >>492
どう解くかの道筋は一瞬で解るから
・サービス問題
・解法で点数に差を付ける
のどっちかでしょ
まぁ後者は基本的には無いだろうけど
採点者側は楽しいかもな πは3.14より大きいから3.05より大きいのは自明っすね >>453
A∩B=A∪B ⇒ A∩B⊂A∩B+(A-B)、A∩B+(B-A)⊂A∪B
の等号が全て成立するから
A-B=B-A=Φ
⇒A=B >OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。
すまん。ルート0.75ってどうやって手計算するの? >>521
ごめん、
A⊆A∪B
と
A∩B⊆A
はわかるけど、
A∪B⊆A∩B
がわからん。
A∩B⊆A∪B
ではないの？ ここはネット使い放題の後出し会場だけど
本番と時間制限でこれは難ちいわ
東大生やっぱ凄えわ 正8角形にしようか正12角形にしようかで悩んで白紙になるわ。
もし8にしてまだ3.05より大きかったら苦労がパーになるし、
12にして時間足りなかったら困るし。
俺が出世できない理由はきっとこのへんだな。 >>530
＞A∪B＝A∩B
って、なんのこっちゃ？ パヨク（ゴキブリ在日韓国人）
が馬鹿であることを証明せよ 最近は円周率の成り立ちを教えないで値だけ覚えるの？ >>542
まあ√3が1.73より大きいのは自明、というのを使うのと同じだしな 別にarctanのマクローリン展開を数値計算してしまっても構わんのだろう？ >>494
天才ペレルマンはトポロジ一の問題で宇宙の形が見えてしまったんだよ。
神の世界に触れて、気が触れたんだろう。 >>521
あ、
>>530を見たらわかった。ありがとう。 中学3年の段階で数学的帰納法が演繹法に過ぎないことをかんかした俺って天才的数学者の素養ある？ 円周率が3なら
正六角形が円だってことになる。
アホかよ。
っていうのが問題が言いたかったこと。 >>549
回答用紙
おっと時間が足りねー
正多角形使えばわかるｂ 知ってるか知らないかだけの差。発想力とか関係ない。 >>548
>ここはネット使い放題の後出し会場だけど
>本番と時間制限でこれは難ちいわ
>東大生やっぱ凄えわ
あんたが知恵の輪パズルの達人を凄いと思ってるのなら
受験数学の達人も凄い
だがこんなの社会人としての知性でもなければ数学を学ぶ際にも不要な器用さ 3.14159265358979323846264338327950
昔はもっと覚えていたけど今はこれが精一杯 >>552
先生の好み
教科書の小さな枠に乗せてたりはする
カリキュラムとしてはない >>119
残念乍ら君は不合格。 三角関数は不要。√Nの数字と勘違いだろ。
答えは三平方の定理と√が解っていれば良い。
問題に求められていないが、πを計算式で表すと延々と√が重なる式になる >>520
だから国も教科書も「およそ3」としか教えてない
「円周率は3」などと教えてない
「3と習ったから3以外の数字を挙げるコノ問題は間違ってる」
知能が低すぎて話にならない
「3」なんて教えてないんだが？ 六角形より十二角形の方が円に近いって、
感覚的には判るけど具体的な説明が思いつかない。 こんな問題も解けない底辺振り落としてるだけだろ。5分で解けるんだから。これ解けないで社会で活躍できるわけない。 この同じ問題がトンキン大の入試とグーグルの入社試験で出たら。
円に内接する多角形の計算で証明する愚民はトンキン大に受かるだろうが、グーグルにはそんな陳腐な説き方する愚民は入社できんだろうな。
>>569 ああ、元の問題をよく読んでなかったわｗ >>546
√０．７５＝√７５／√１００＝５√3／１０＝5*1.73／10＝3.85/10＝0.385
√３＝１．７３はMARCH、地国以上受験生の常識 >>568
>後出しマンは大学どこ出たん
後出しで出来ることを前もってひらめく力は
パズルの達人としては凄いが
こんなの社会人としての知性でもなければ数学を学ぶ際にも不要な器用さ
俺の個人情報とか上っ面の肩書きはどうでもいい >>1
＞この計算は小学生でもできます
え？あ、はい。 >>502
それだけの話なのにね
πのままでも正解とするか代入して数字として出させるかの違いでしかない
3.14だって近似値に過ぎないんだからおよそ３で計算させる事の何がゆとりなのか分からん >>581
ありがとう。ルート3の近似値使っていいんだな。 こういうの読むとやっぱり楽々入るやつも猛勉して入るやつも俺とは頭の使い方が違うなと痛感するわ センスではなくて命題ってなに？ということでしょ
公理や定理を理解できていますか？
公式とかもあるけれど定義はルールなので証明することは出来ないよってさ
証明することができた原理のみが定理化されていますよ
ということだが小学校で教えられていることなのかな？
これをセンスの問題として実は小学生でも解けるんですよ！なんて酷い話だ これと日時計のは思い出したようにスレ立つけどいつ見ても面白いや >>575
>昔俺が東大受けたときの加法定理の証明のほうが良問だろ
一番の悪問だよ
受験産業を欺く事しか考えてない駄作
加法定理なんて大学で数学を学べば自明に出てくる等号に過ぎん
高校数学でやるような煩雑な証明なんか出来ても何の役にも立たない >>1
数Aまでしか習ってない自分でも何とか自力でできそう >>563
やたら記憶してる人って居るけど。
それを何に使うの？って思う、使わないやん！
もし、なんかの大災害で原始的な状態になり、円周率が計算に１００桁必要だとなった時
「俺が2000桁おぼえてるぜ！（ドヤ）」
「それ間違いじゃないって誰かわかるん？」
「結局証明しねえとな、みんなで計算していこうぜ」
「急がなくていいよな」 >>584 数学系のクイズ問題って、ほとんどないよね。 とても身近なのにどこまでも無限につづく数字
それがπ >>590
何が知性かそうでないかを
あんた騙されてるぞ こういうジャップ入試って意味あんの？
センター試験でよくない？ 舛添が大村と同じ戦略だった。
テレビで歯が浮くようなキレイ事を言いまくってると
選挙だと票が取れるんだよね >>595
んー、心を落ち着けるために素数を数えるみたいなもんかな。 >>573
コレ懐かしい。「大学への数学」でちょっとした話題になってたな‥。 >>588
開平計算でやってもいいぞ。
ほとんど習わないが、計算自体は小学生範囲の知識しかいらない。
（今までと違う不思議な計算だから、精神的について行けないかも知れない） >>599
>こういうジャップ入試って意味あんの？
>センター試験でよくない？
大半の人はこれが世界標準だと勘違いしてる 平面上に点Aと点Bがあるときに、
線分ABと、点Aと点Bを通る円周の円弧の長さを比べたときに
線分ABの方が長さが短いことを厳密に示さなければ、
そもそもの議論が成り立たないだろうに。
円弧の長さとは、あるいはより一般的に曲線の長さってなんだ
ということを曖昧にして、数学的に正しい議論ができるのかな？
二点を両端とする線分の長さがその二点を通る全ての連続曲線の
長さの最小値になっていて、最小になるのは線分であるときに
限るということを示すのは、初等平面幾何だけではむりじゃないか？
微分積分や極限の概念、実数論がかけているなら論理的に無理でしょ？ >>588
この問題は√3がある値以上であること証明しないと減点。πが3.14より大きいのが自明と同じだから。 >>593
加法定理の証明くだらんね。本に書いてあることを記憶しているのは意味はない。
必要あれば本を見ればいいだけ。
人間って忘れる生き物だから本があるんだよ。論理的に出題するのがおかしい。 >>607
>別に騙されちゃいないと思うが
>>583← >>539
プログラミングを授業でやるようになったから、これからは小学生でも解ける
問題になるかも。Venn図、真理値表、ドモルガンをガキの頃から叩き込む👍 >>1
過去問をみて既に解答を知っているから知っていて当然というコメントをしている人が多いけれど、過去問を知らないで無の状態から自力で解答を導き出せる人はどのくらいいるのだろう？ 地球の円周ピッタリに巻いた紐を地上から1m浮いた状態にするには
何m伸ばせば良いでしょうか？って問題で、数式からすれば1m足す
だけでokってのは分かるんだけど、感覚的に納得できない（´・ω・｀） >>184
そうだよね！
無能なのに、ただマウント取りたいだけ 少数点以下20桁とか50桁とか覚えても東大には入れない、という事が分かった
無駄な努力をした少年の日の自分や級友に教えてあけたい >>573
教科書にそのままの図が載っているだろう。
おれは記憶力が悪いから、時間に少しでも余裕があったら、自分で公式を作って解いていた。
これで時間不足で、良い学校に進学できなかったのかな？ >>613
はあ、何が言いたいのかさっぱりわかりませんな >>1のようなことを、受験のためとはいえ、考えるぐらいなら、
何か他のことをした方が得のような気がするのは、気のせいだろうか。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
