【話題】「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは？★２
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■東大入試に求められる「数学のセンス」とは？
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と（周期性がなく）続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大？ なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘（たけべ・かたひろ）が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、ＯＫとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
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図で、三角形ＯＡＴは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。OK=1から、ＫＴの長さが計算でき、さらに、直角三角形ＫＴＡに三平方の定理を用いてＡＫ、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733
★１が立った日付2019/09/19(木) 10:03:17.94
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1568854997/ この問題のキモは6角形の場合円周率3になることなんだよな
まあ当たり前っちゃ当たり前なんだが
教科書に円周率が3って載った頃の問題
円周率を3と教えることの愚かさを示してる
文科省への皮肉だな >>935
直線は二点間の距離が最小となる図形だから、多角形の外周長は円周より短い >>942
というか「そもそもお前何しに来たん？」で帰されるレベル >>944
何が本質だよw
正六角形がダメってのはすぐに分かるから
正八角形か正十二角形って分かる >>781
だめだ、ギブアップ。
円に内接する正多角形の周長からのアプローチで、
まず3が出て来る6角形から12角形に増やしたときの「周長の増分>1/20」を言おうとしたが
きれいな証明にならない。
これなら半角公式だけで簡単な平方根しか出てこない不等式にすぐ変形できるのだが…
こんなのゴリゴリやるなんて、美しいとは到底思えない。
俺の頭ではもう、別の道を見つけるのにあと何時間かかるかわからん。
本当は他のもっとかっこいいアプローチがあるのか、
単に「円周率はこういう操作の極限になる」を素直にやって見せろと言っているだけなのか？ 正方形を放り込んで2.828以上だと言えてそれじゃ足りないからともう一丁分割するとより3.05に近づいて >>925
歴史的には内接する正n角形と外接する正n角形から導かれたことがあるでしょ
まだ極限の概念がなかった時代だから雑と言えば雑だけど >>952
あれの真相は超精密に円周の長さを知りたければ3.14159265359位まで円周率を置く必要があったり
適当な長さでよければ3.1位まででいいという、3.14と定まった数じゃないぞと教えるのが
文科省の意思と聞いたことある。 >>950
> 正六角形だと3だし、もう一声で正八角形てことでいいのかい？
たまたま3.05だったからそれでよかったけど、
もし3.1だと正八角形では解けない
もしかしたら本当は分かってなくて、たまたま当たっただけの
学生も多いかもな
そういう意味では、良問とは言えないかも
東大がサービスしただけとも言えるが
もし3.1なら解けた減ってただろうからね 自称最高学府の東大の入試問題に円周率が3.05より大きいと出てたから 俺は小学生の時に多角形から円周率を求めたら
小学校の教師にハイハイってウザい顔されたけどな >>956
> 正八角形か正十二角形って分かる
もし正八角形でダメな場合は、時間足りなくなるリスク高いよ
だから見極めるセンスが必要ってこと
実際もし3.05じゃなく3.1だったら、正八角形では解けなくて、正十二角形以上で
初めて解けるんだから πが3.14・・・なのに3.05より大きいこと証明しろと言われても
俺には問題の意味すら理解できないだろうな ワイが大学入試で出されたのはもっと一般化された問題だったな
円に内接する正n角形と外接する正n角形のまわりの長さを求めさせるものだった
最後にn→∞とするとπrが出てくるというオマケ付き >>965
3より少し大きいんだから正八角形でいいだろが まぁ美しく解くヤツは知らないフリをしていて
ぐちゃぐちゃなヤツはセンスはあって
短いヤツは解ってない >>2
教え方が悪い
参考書
いろいろ立ち読みしてみ >>969
3.1もそう言えるでしょ
3.05はいけて3.1ではいけないのだから、微妙なところで、その見極めの
センスが問われてるんだよ >>967
そこが円周率に対して間違った理解のまま今に至ってる
円周率=3.14という覚え方が実は根本的には間違い
「じゃあ先生は嘘教えたんか！」と思った？
お前の記憶に間違いがなければ、先生が結果的に嘘を教えた事になる >>968
それは誘導付きという意味でむしろ簡単だな
この東大の問題は、分からない奴には解法の見当もつかないだろう。たとえ東大受験生レベルだったとしてもね >>973
π＞3.05の証明なんだからいきなり正十二角形を用いてπ＞3.1になったって何もいけなくないだろ >>969
ちなみに周の長さではなく面積で評価する場合は正八角形ではいけないよ
3より少し大きいから、なんて雑な推測は当たらないし、センスが無い
周の長さで評価する場合はたまたまできちゃっただけ 文系からすると、3.14が正しいって前提有りか無しかで難易度が違うけど、問題文からはどちらとも取れる
欠陥問題ですね >>949
だよなｗ
うん、それでいい、変化球投げて楽しむバカに付き合う必要ねーわｗ >>975
確かにそうかも
たまたまその問題を覚えてたから、
そんなの正多角形で瞬殺じゃね？そんなに難しいか？
と思ったけど
ちなみに2πrの誤記です 半径が基準じゃん なら2πRが正しいってのから証明しろよ >>977
> π＞3.05の証明なんだからいきなり正十二角形を用いてπ＞3.1になったって何もいけなくないだろ
正十二角形を用いた人はそうだけど、正八角形をなんとなくで使った人はただのギャンブルだったこと
になる（ちゃんとセンスで見抜いたならOKだが）
ちなみに、周の長さではなく面積から評価した場合は、正八角形でも足りないし、正十二角形
でもまだ足りない
そういうことが全部見抜けるセンスがあって、はじめてこの問題が理解できたと言える >>979
問題はそこじゃない
そのレスだとそもそも円周率が何かを理解してないので永遠に正解には辿り着けない >>973
だからそんなモノはセンスじゃねえだろ
円周を８等分か12等分にしないと扇形の角度が分かりやすい角度にならないだろが
結局８か12の二択
センスなんかいらない 教科書にそう書いてあったことが根拠であり紛れもなく全世界で常識でありそれが証明だ！ そういう場所に入学することを望むならば
一度ぐらいは円周率がなぜ3.14になるのか
自分の頭で真剣に考えておきなさいってことだよ >>982
そもそもπが直径にかけたら円周になるような値なのに。
それではπを否定だよ。 >>978
周の話してるのに面積の話にするなよカス 東大数学満点だったけど・・・この年の問題だったらわからなかったな スレタイだけでやり方は思いついたけど
実際の計算とか証明の文章書くのはもう無理だなぁ。 >>985
> 結局８か12の二択
> センスなんかいらない
面積から計算する場合は１２でも足りないよ
あなたの発想では、たまたま周から計算し、そしてたまたま３．１ではなく３．０５だったからたまたま
８を選んでも正解できたということになる
もし出題が３．１だったら、８か１２の二択はギャンブルになるところだった
つまり、偶然に依存し過ぎており、その時点で数学としても受験対策としてもセンスが無さ過ぎる >>989
πの値の問題なんだから、別に周に限る必要はなく、面積からも計算できる >>996
実際面積から計算する別解もあるが？
面積から計算した人は、正１２角形を選んだらアウトだったよ 円周率は3.1・・・・、よって3.1より大きい
3.1は3.05よりも大きい
ゆえに円周率は3.05よりも大きい >>993
８を選んだのがたまたまで１２を選ぶとセンス有る？
アホ過ぎwww このスレッドは１０００を超えました。
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