【話題】「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは？★２
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■東大入試に求められる「数学のセンス」とは？
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と（周期性がなく）続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大？ なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘（たけべ・かたひろ）が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、ＯＫとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
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図で、三角形ＯＡＴは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。OK=1から、ＫＴの長さが計算でき、さらに、直角三角形ＫＴＡに三平方の定理を用いてＡＫ、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733
★１が立った日付2019/09/19(木) 10:03:17.94
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1568854997/ ゆとり：「円周率は３ですから3.05より小さい。問題が誤り！」 証明なんて、「ゆとり世代じゃないから」だろ
私は3.14で教わった。
生年月日から証明できる。
よって3.05より大きい。 >>15
偏微分はおかしいな
比はおかしいだろ
係数 >>26
e=lim(n->∞) [(1+1/n)^n]
これだと100乗しても2.71届かねえ
別の方法考えないとな
n=1
n=2 2.25
n=4 2.44...
n=8 2.56...
n=10 2.59...
n=100 2.7...
n=170 2.71... ぱっと思いついたが円形を中心から12当分して面積求める。
三角形の面積>半径x半径x3.05
でいいのか？
今の東大って、こんなに簡単なん？ √0.75の出し方を忘れた
（√３√5√5）÷√100
で良いのか？ >>92
感覚的には８角形でも3.05 より大きい気がする >>5
習ってないだろ。
このようなレスが出てくることがこの問題が良問であることを示している。 >>108
その扇形の面積はどーやって求めるのだ？ こんなことを競争しても、GOOGLEにはなれない。 >>110
√0.75=√3÷√4=√3÷2
√3=1.73205..... >>92
正8角形からだね
正7角形だと3.037ちょっとのようだ >>108
いいんじゃない。
その三角形の面積をπを使わずに求めるのであれば。 >>115
くそまじめにやらんでもいくつかの３角形を埋めとけば近似できると思う >>84
日常生活では直径で語ることが多いでしょ？ バカだからわからんが大学生にも
バカがいる事わかったw カンと鳩ぽっぽがあれなんだから東大に説得力なんかねえよ >>83
小学生からそうすべきだわ
塾なんか存在したらいかん だんだん何角形ってのを増やしていくと
それが3.14に近づくって考え方であってる？ >>119
サイン60度を使ってはいけないというルールは書いてない
なので行けるはず 阿呆的鬼子アル
ξ ｀ 八´) β｀Д´>アホじゃ Pには無理二ダ
更新しました
日本に謎の潜水艦接近 南シナにはミサイル部隊現る!
https://milimatomexxx.exblog.jp/28581222/ >>113
そういえば、こういう概算とかフェルミ推定的な考え方は
数学的センスとリンクしているかはいろいろありそう >>120 その近似を求める計算はかなり面倒やぞ。 >>30
すげー高等学校出てるんか
円周率の鬼ってお前の事やったんやなあ
お前に足向けて寝れんわ でもさー、
この世の最小単位は原子なんでしょ？
だったら原子が繋がってるところで
真円なんてできないから
円周率も終わりあるんじゃないの？ 伝説っていうけど、東大受けるやつならサービス問題
こんなん解けないなら大人しく私大文系でも行っとけ >>92
これな、俺も知りたい。けどめんどそうだからええわ
ネットでぐぐっとく ここを出た結果・・・
人殺し（池袋の飯塚）
マンコドライヤー
公文書書き換え（財務の佐川）
etc・・・
最近表に出てる分でもこんなレベルだからな >>108
それ、半径1の円に内接する正12角形の面積ってこと？
3.05より大きくなるかどうか面積計算してみれ >>136
どうやらそうらしい
手計算の速さでは今のところこの方法が一番速そう この問題でたの、ちょうどゆとり教育で小学生でならう円周率を3になったときなんだよね
>>131 半径を等辺にする12個の二等辺三角形の面積計算するだけじゃ、証明できんぞ。 どーでもいいが
台形の面積の公式の証明は小学生でもできる。
２次方程式の解の公式の証明は中学生でもできる。 >>137
いや、だから、正12角形の面積は計算すると3なんだよ
12枚の二等辺三角形に分けるとその二等辺三角形は斜辺が1で頂角が30°
底辺1、高さ1/2の三角形だから面積は1/4
それが12枚あるから全部で3
πは3より大きいことしか示せない >>6
漢字の読み書きも適正でんでんアベガーでんでん関係ないけどな >>144
まずいか
面倒くさいけど底辺を求めて足すしかないか 10億円何個で５兆円？
こういうのやれよ
算数すら和漢ネエバカが多すぎなんだよ
だから滅びそう >>132
適当に目の前の空中になんとなく点Pを定義します
点Pの水平面上かそのへんに、点Pを中心としなくてもいいけど直径１０ｃｍぐらいの円を定義します
この円の外周を構成する原子の数はいくつ？ >>1、簡単ねえ( ＾ω＾)ｗ
微分の考え方を用いれば、円は無限の角を才寺つ多角形と見なせる言尺だから、
とりあえず正8角形の中心点を通る角と角の長さ、つまり直径と、8辺それぞれの
長さの合言十、つまり円周の長さを、比で表せば良いのよ(＾∀＾)プケラｗｗ
無限角形ならば、8角形よりもより数字は大きく成るでしょう⊂( ＾ω＾)⊃ブゥーンｗ
よって、Π＞3.05が言正日月完了(＾∀＾)ケラケラｗｗ
そもそも円周率ってイ可か、って言う問いが大事よね、これ( ´,_ゝ｀)プッｗ
ぷぎゃｗｗｗ
CASIO 円に内接する正多角形 円に内接する正n角形の辺の長さと面積の表を計算します
https://keisan.casio.jp/exec/system/1166416582 πであることを証明しろの方がいいかもな。
模範解答は知らないが、3.05以上なら中学までの知識でいける。 正二十四角形の面積を三倍角の公式から求めて、（１／x)sinxの増減表を用いれば示せるだろ 東大の数学は全く難しくはないが、場合分けが死ぬほどダル過ぎ。 >>13ではなぜダメなのかわからない人に説明するにはどのようにすれば良いかという問題は相当な難問 >>23
物理的には原子一つ一つとかを頂点にした多角形が限度じゃないの。
数学の無限て、その先まで無限に続く。 文科省が認めた算数の教科書に3.14と書いてあったから、3.05より大きい。
もし間違ってたら、文科省が悪い。 >>22
高校レベルの化学だったら、そういうことはないんじゃない？
どっちかというと、パズルだけどね
とっつきにくいけど、数学や物理に比べて
問題は解きやすかったね
基本抑えておけば、大抵の問題は対処できた
系統分析で苦労したけど
大学いくと、まじで、どの授業も微積のオンパレードになるわ
流体力学が最悪だったけど
渦関数なんて、何それだった 物理学者に言わせれば、極限状態やミクロ・マクロの世界では既存の法則が成立しないかもしれない
絶対零度の状態で１０のマイナス数万乗というミクロの計算においては１＋１が２とは限らない マーチのM大法卒ですが1の解説を読んでも分かりません
小学1年生に負けるワイ >>147 さすがに、そんなのもわからないレベルの人間は東大受験しない。 数学者のオナニー大嫌い
3.14が3.14であることを証明しろとか適当な問題を出しても必死に考えるふりをするんだよなw >>26
>>107
できたよ
e=lim(n->∞) [(1+1/n)^n]
=lim(n->∞) [1+nC1*n+nC2*(1/n)^(2)+nC3*(1/n)^(3)+...]
>(1+1+1/2+1/6+1/24+1/120)
=2.7166...
よってeは2.71より大きい >>160
もともと、東大は眼中になかったなー
東大クラスになると、対策のしようがなかった
MARCHだったら、3か月あれば受験対策余裕 >>13
その円周率が3.14(近似値)になることを示さないといけない
円周率は3.14とすると言う仮定があればそれでも良いが… 円に接する6角形は、直径の三倍です。
そして、円に接する12角形は、直径の約3.1058285412倍です。
円に接する12角形が約3.105ですから、3.05よりも、円周率は大きいです。 >>1
そんな面倒な事をしなくてもパッと見でわかるだろバカ ＞1の解法だと途中に出てくるルート5の扱いをきちんとしないと正解にはならんだろうね >>126
sinを使う時点でπを使ったことになるんだが。
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EDPVNU この設問、東大の試験ならば変ですよ。
計算間違いはあっても、証明の方法は、三角関数ですから、中学生の数学のレベルです。
東大が、中学校レベルになっている証左ですね。 円周率は有効数字2桁では3.14
3.14>3.05
∴円周率は3.05より大きい
証明終わり 問題.
韓国人の陰茎が9.5mmより短いことを証明せよ。 >>126
サイン60度って数値出すためにπ使うんだが 賢い人がこんなに日本を
良くして下さい！
分野が違うから無理かな 直径の長さの1.02倍の針金を3本用意して円周に並べれば3.06倍の長さでは1周出来ない事が証明できるじゃん 内接８角形で計算したわ
3.061…より大きいから間違いではないけど６角形で良かったか
センスねーな、俺 これってゆとり教育に対する当て付けで作られた問題なんだよな
当時円周率は「3」で統一されてたから 東大の世界での順位、凄く低い位置であることが、この程度の低い設問で判明します。 >>2
高２で一度挫折するのは文系脳
同じくらいに挫折した俺が言うから間違いないw
でも 日本のお偉いさんが
あれだからな
日本の宝を無駄にしてるな >>186
必ずしも勉強できた人が日本を良くする(良くできる)とは限らない。 >>1
ヘ
ッ
ド
ラ
イ
ン
壊
す
な しねぼけくそ野郎 >>166
多分君は小学校で習った間違いをそのまま直さずにここまで来てる
円周率という考え方と3.14という数字は全く別物
だから言葉を正確に使うなら『円周率は3.14ではない』 >>169
最後の項が間違っていたので訂正
e=lim(n->∞) [(1+1/n)^n]
=lim(n->∞) [1+nC1*n+nC2*(1/n)^(2)+nC3*(1/n)^(3)+...]
>1+1+1/2+1/6+1/24+1/60
=2.725
よってeは2.71より大きい
収束する証明はなされてないが、
出題内容は2.71より大きいことを証明すれば
いいだけなので、これで問題無いと思う >>176
x = 0.999...
10x = 9.999...
10x ‐ x = 9
9x = 9
x = 1 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
