【話題】「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは？★２
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■東大入試に求められる「数学のセンス」とは？
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と（周期性がなく）続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大？ なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘（たけべ・かたひろ）が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、ＯＫとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
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図で、三角形ＯＡＴは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。OK=1から、ＫＴの長さが計算でき、さらに、直角三角形ＫＴＡに三平方の定理を用いてＡＫ、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733
★１が立った日付2019/09/19(木) 10:03:17.94
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1568854997/ >>276
正確には三角比かな
基本的に直角三角形の辺の比のイメージ
座標原点を1回りした時点で三角関数になる
三角関数は円周上における点の比の値として定義されるから、三角関数のことを円周関数と書いてある本もあったな ※なおこの設問中においては
#define π null
により、記号πの参照が行われた場合には自動的に失敗するものとする 証明させようとするのが気に入らないんだよな
そんなのよりDDTとかの方が圧倒的に役に立ったし
使ってる記号類も気に入らない
dy/dxとか記号だっていうけど分数じゃねーかよと今でも納得いかない これ半径17の円で証明したやつ天才だわ
美しい
ルートの中の計算もいらないし >>290
> dy/dxとか記号だっていうけど分数じゃねーかよと今でも納得いかない
分数と似た面もあるけど、たとえば二回微分（d^2y/dx^2）と微分の二乗（(dy)^2/(dx)^2）は一致しないので
単純な分数ではない
なぜこの違いが生じるかは、大学初等の解析学くらいはやらないと理解は難しいかも >>286
高校で女に目覚めてしまうと東大はよほどの天才でないと無理になるな 結局、必要なものは
限られた情報(データ)を手持ちのツール(知識)で展開して可能な限り有効な答えに近づける能力
ツールかデータが足りないなら、何が必要か
より、精度を上げるには何が必要かを判断する能力
あとは裕福なイケメンに産まれる運 ジャップ大学生がこんなものでシコシコしてる中、アメリカは3つの総合審査で人間丸ごと見られてふるいにかける
差が出るのも当然だな >>293
そういうことじゃなくて見た目分数みたいに書くなって話だよ
どうにも気に入らないことの一つ 数学オリンピックとかどんな問題が出るんだろ
東大二次試験後期レベルばかりなんだろうか これ、俺みたいなアホでも「円周率の歴史」みたいな数学トリビアを読んだことがあれば俺みたいなアホでもすぐわかるな。アルキメデスが正96角形の辺の長さから円周率を計算したのは有名な話。
そういう知識なしでこの方法をその場で思いつける人はすごいと思う。 >>299 数Ⅲレベルくらいの微積になると、約分みたいに処理できて便利な点があるんだよ。 で、この問題の正解率・正答率は何パーセントだったの？
この問題の正解者の、その後の人生は？ 円をコンパスで書いて直径と円周を実測すればいいじゃん
私立文系の俺の答え >>302
俺は = とかの記号にも納得行ってないしな
先生に食ってかかった記憶がある
←を使えよと >>290
自分の理解が低い事を他人のせいにすんな >>238
世界トップのハーバード大学とかイェール大学はキリスト教団体が創立したんだぞ？ >>306
表現が気に入らねえって言ってるんだよ
算数数学はこれでやる気は一切なかったな
やらせるならもっとまともなものを持ってこいと ３だと正六角形になってしまうから、それより大きい数字ってことまでは誰でもわかるだろうけど。
正八角形との違いなのか。
正七角形だと思ったわ。 >>308
理解する能力が一切なかったと言ったほうが正しいと思う 大学受験テキトーで院に行ったロンダは基礎がないから簡単な証明もできなくて混乱するんだよね
定理ガー定義ガー公理がー原理ガー
でこんがらがって中学生が解ける問題も解けない
ま、>>1の記事も同じで、こんなのただの多角形の計算問題なのに外見に騙されて美化しすぎちゃう
中途半端に偏差値が低いといろいろ大変なんだなこれが
Fランのほうが世界はシンプルで生きやすい >>311
公安の典型的な洗脳下だな
その証明を強要されてんのも嘘とも考えず >>17
民主党の管は毎回建屋をタテヤンって言ってたなw この問題、翌年から小学校では円周率を3として教えることに反対しまくった東大が、円周率は3ではないと言いたいがために出題された問題やで。
そのバックグラウンドも記事に書けばおもしろいのに。
ちなみに本番では正n角形じゃなくて具体的に12角形で解いた答案がいちばん多かった。 円周率論文を多角形問題で認識してる東大とか予備校講師とか
これ三角関数も実業で使ってる周波数計測の考えいっさいできないな
それか、公安の上がそれを封鎖してるかだな
馬鹿みて おまけにスレのノビなさ
俺が白人への高瀬中学の馬鹿向けに勉強してんじゃねえぞ、くそアメ公にイギリスのアホ で、英語できるだけでチンポしゃぶってる中国共産党の中国人も居るのけ >>308
学問は適応力を見るのに適しているからな
適応力ない奴には難しい
自己流で生きていきたい中二病を貫くのもいいんじゃないかな >>2
抽象的っつうか、漸近つかうような解析入ってきたからじゃない？
微積分とベクトル計算が理由な気がする
真の数学的センスはいかに抽象を捉えるかなんで、
多分数学が向いてない
物理か算数ならよかったのにね >>321
中曽根康弘の学課改組でてめえより頭よくなるのを防ぐために
文部科学省で嘘ばっか教えるか、低レベルのに止めるようになって
そのいいわけでπ言ってんじゃ
そもそもが、高いカネ出して勉強しても無意味にする高瀬中学の馬鹿と銀行と
それにくっくついてる左翼と似非右翼の策動よ
しまいに公安の馬鹿
で、戦争において駆逐艦の消耗率より建造率のほうが上だ
だから戦争に勝てるとか、中曽根康弘で大間違いしてたのを一生くり返す >>316
知らんかった、それでかー。
で、ググったら色々な解法が書いててなるほどだった 数学が全くできないんだけど、普通に糸で円とその円の直系の糸を作って、円の糸の長さが直系の糸の長さの3本以上あることを「微妙！」とかみんなでワイワイ言いながら確認するではダメなのか？ >>11
久しぶりに声を出して笑ったので才能を認める >>5
円周率は円の外周が直径の何倍かということだから、
円を書いて、直径と外周を測って割り算すればいいんだよ こういう問題は数学の一般書を読んでいれば余裕だもんな 阪大が似たような問題を後に出題してたよね
まぁ、受験生を東大の問題よりも遥かに計算地獄に追い込む、ストレステストみたいな問題だったw 数学は好きだったし、成績もよかったけど。
なぜ、そうなるのかとか、めんどくさい事は考えなかったからなあ。
微分積分もどういう意味があるのかとか、今でもわからない。
後で知ったけど、学校の数学ってそれでいいんだってな。
余計なことを考えるとわからなくなる。 ┏( .-. ┏ ) ┓
【とんだり はねたり 禿げがキラキラしたり♪】
*ソフトバンク（Yahoo!）創業者
孫正義氏
正（Masa）＝マリオ（オーム真理教の真）
義（Yoshi）＝ヨッシーの卵（英 Yoshi's Egg🥚）
マリオ＝オーム真理教の真（M）、魔族、Monster
--
*「ピーチ姫🍑」とは、桃尻娘だった私がモチーフですが
今は、超伝道素粒子を撃たれ続けて、尻（Siri）が傷だらけである
*「クッパ大魔王」とは
人類を育んだ「偉大なるコパさん（本来なら人類の神）」の事である
ビル・ゲイツ氏の遠い遠い一族でもある
フジテレビ大魔王陰謀により、逆に大魔王に仕立て上げられた be
https://mobile.twitter.com/prettypumpkin71/status/1174584235157381120
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) よっちゃんに言われて筒を巻けるリボンを用意しました。
3，05を円周率で切るとリボンが届かなかったんでグーパンチもらいました！
なので小学校で聞いたπ 3点14で切り出すとほぼ一周巻けました。またグーパンチもらいました！
なんと、のりしろがないと接着できないだろ～って言われました。最初から言ってくれれば円周率以上で長さ適当にするのに～ >>10
ヤコブレフじゃねーかw
やくみつるでも出てくるのかと期待していたのに、お前にはガッカリだ。 >>290
DDTって何だ？
FFTなら知ってるけど 3.1415926535897932384626
までは覚えた >>334
数学は好きでも、理系は志望しなかったから。
運転とかもそうじゃね。
運転するのに、クルマの簡単な構造は理解してりゃいいけど、整備士のような知識は要らないのと。
つまり、数学は頭の体操みたいなもんで、とにかく量を解くのが大事。 >>1
3.14 － 3.05 ＝ ＋0.9
ゆえに3.05より円周率が大きい >>333
特に東大は元々官僚養成学校だからな
官僚の仕事は良心の呵責とかで出来ないなどあってはならないから、余計な事を考えずに淡々と物事を処理できる人間を求めてる
試験問題もおのずとそういうものになる >>333
中学の同級生で、素数に異常に興奮してたやついたな
音楽好きはいつの世代もビートルズに出会う、みたいな >>114
円周率はじめて出てくるときに、定義も出てきたぞ。円周÷直径 高校までの数学と大学からの数学は別物。
数学を学ぶものには資格が必要だ。 >>347
> 東大は元々官僚養成学校だからな
そうでもない。官僚養成の役割もあったのは事実だけど、
それは設立目的の一つにすぎない。
実際、昔も今も東大（東京帝大）卒業生のうち官僚になる
者の割合はせいぜい1割ぐらい。 >>347
そんなバカが公僕じゃ困るだろ
どうりで電話を問答無用でガチャンと切られるわけだ 円に内接する正六角形の外周長さが3、それで終わらせないために
0.05 の下駄を履かせてるんだろうけど、正12角形で解決できるように
恣意的に値を選んでるようにも思えるなぁ。
数字の計算そのものは小学生でもできるだろうけど、
三平方の定理を知らなきゃ手も足も出ないと思うんだが。
もうひとつ。内接多角形の外周 < 円周 < 外接多角形の外周、っていう
一般的な性質を別に導かなきゃならない気がするんだけど、
それは既知のこととして利用していいのか？ >>350
大学は線形代数とベクトルとマトリックス いきなり出されたら面喰らうけど、e^π＞21を証明させる問題が1990年代に出題されているのな。
過去問をやり込んでいた受験生へのサービス問題みたいなもん。 >>347
俺は東大を狙うようなことはあるわけなかったけど、カリキュラムとしてはそうだよな。
何だろう、どういう意味があるんだろう‥
なんてエジソンみたいなことを考えたら、バカな子として落ちこぼれるだけ。
昔からだな。 >>355
わいはだいたいそんな感じだったぞ。
物質工学だけど。
複素数は高校だし。 πが3.05より大きくてπより小さい数値以上だって示せばいいから証明の幅は大きそうだけど。
具体的には分からないけどπに単調増加で収束する数列の先頭いくつかに値を代入して計算するだけで証明終わりそう このスレバカしかいなくて草生えるわwww
3.05角形描けば良いんだよwww この過去問の話みる度に思うが、これって外資系企業の口頭試問で出てくる、部屋一杯にビーズ詰め込んたら何個入るか的な使い方と同じだろ
考える過程の論理性をみる的な 国立大学の数学科卒だが、円内に突き刺さる吹き矢の確率を
使ってπの値をコンピューターに小数第百位ぐらいまで計算
させたことがある。 >>365
クソつまらんバラエティ番組の出題みたいなので
論理性がどうとか測るのって
もうバカしか量産されねえだろ 多角形の角が多くなるほど円に近付くからそれを追っていけばたどり着きそう
というところまでは思いつくが時間内に詳しい計算結果出せって言われたら焦るな >>368
>数学IIIとか数学C否定しとるな
高校数学は数学じゃない
それを否定というなら否定かも知れん >>370
＞多角形の角が多くなるほど円に近付くからそれを追っていけばたどり着きそう
これは円周率のことじゃん。
延々に続く円周率が長くなればなるほど、真円に近づく。 >>370
簡単に計算できる多角形じゃなきゃいけないし
3.05はクリアしなきゃいけないしで
こんな問題出来なくても数学を学ぶ上で何も困らない
ただのロールプレイングの洞窟の選択ゲーム まあ考え方をちゃんと説明するって以外にも、内側と外側の多角形で極限とっていくって発想の根底にあるものは数学でよく使うしな
リーマン和の極限とか、もっと言えば内測度外測度の極限が一致とかそうだろ >>218
どうせチョロっと余弦定理使って終わりだから、正八角形でも正十二角形でも手間は大して変わんなくね またID:Mv6NT+Z00が全否定マウンティング荒らしにきたのかw 教授が就く多問題を解いているだけだろｗｗｗ
カスミガセキ・マスコミ・etc.の天下りの仲間内で、お互いによいしょし合っているだけだろｗｗｗ >>377
ならその発想だけを知ってればいいだけ
いや知らんでも、それらを学ぶ時にほうほうと学び取ればいいだけ 教授が作った問題を解いているだけだろｗｗｗ
カスミガセキ・マスコミ・etc.の天下りの仲間内で、お互いによいしょし合っているだけだろｗｗｗ これは、外国人さんが優秀ということだ。
Ⅰ OISTの顕著な業務実績について 資料2 - 内閣府
沖縄科学技術研究基盤整備機構（ＯＩＳＴ）の退職役員の業績勘案率について
https://www8.cao.go.jp/hyouka/dokuritsu/bunkakai/okinawa26th/shiryou2.pdf
外国人の主任研究者が６割強も占める。（64.4％、45名中29名）
学生の応募、入学においても、
①当初予定者数（20名）の約10倍の志願（189名）
②18の国・地域から34名の学生を選抜（88.2％が外国人）
③入学者の６割が修士号保有者という意欲的な学生が集結。
【外国人すごい】科学論文の生産性 日本のトップは沖縄科学技術大学院大学･･･授業は英語で行われ教員や学生の大半は外国人
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1561158445/l50
2019年6月22日 4時11分
イギリスの科学雑誌「ネイチャー」は、科学論文の生産性が高い研究機関のランキングを初めて発表し、日本では沖縄科学技術大学院大学が、東京大学や京都大学など規模の大きい大学を抑えて、トップとなりました。
日本でみますと、沖縄科学技術大学院大 学が10位に入り、40位の東京大学、59位の京都大学、93位の名古屋大学、99位の大阪大学など、規模の大きい大学を抑えてトップでした。
沖縄科学技術大学院 大学は、教員や学生のほとんどが海外出身 、講義や研究も英語で行われる博士課程の大学で、ネイチャーはゲノムの解析などで顕著な成果を上げているとしています。 この結論はおかしい。いつもおかしな結論を出している。
規制緩和改革のとき、権力者が「競争社会にするぞ」と脅しておいて、ビビった奴らに権力者たちの権益を守らせたわけだ。
だから、その時の間違いをこれから直す。当時はバカなので反応の仕方を間違えた。
日本は、研究者のレベルが低く、研究レベルが低く、大学のレベルが低い。
それならば、日本の大学教授は、ほとんどが外国人が占めるべきだ。
能力主義ならば、日本の大学教授はほとんどが外国のかたになるはずだ。
それなのに日本の大学教授は、世界で最も外国人に対して閉鎖的だ。
「日本人だから」とか「日本」ということに対する甘えが出ているわけだ。だから結果も出ないのだ。
日本においては、”「競争がよくない」とか「能力主義がよくない」”という結論こそがおかしい。
日本においてだけは、「競争及び能力主義が不十分」、なのだ。
本当に日本に「いわゆる壁」がなければ、「日本における教授の民族的分布」と「世界の教授の民族的分布」は一致するはずだろ。
一致していないなら、日本は能力主義になっていないという証明だ。
わかりやすい例でいうと、「標本集団と母集団で特徴が一致する」みたいな話だ。
日本の大学の世界ランキングは、ここ何十年も、低いままだ。
だったら、「予算を増やす」ではなく「外国人のかたをもっと招く」が正しい答えだ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
