【話題】「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは？★２
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■東大入試に求められる「数学のセンス」とは？
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と（周期性がなく）続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大？ なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘（たけべ・かたひろ）が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、ＯＫとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
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図で、三角形ＯＡＴは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。OK=1から、ＫＴの長さが計算でき、さらに、直角三角形ＫＴＡに三平方の定理を用いてＡＫ、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733
★１が立った日付2019/09/19(木) 10:03:17.94
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1568854997/ >>326
3でも良いんだよ
古代では3を円周率にしていたこともある
でも、それだと正六角形の周の長さと同じになってしまうから、より精度の高い近似値を求めようとした
その努力の過程が数学の発展でもあるわけで… >>475
三角関数かな、暗記ってあの辺だよな
確かにそれまでの数学から一転して暗記な感じ >>482
大した考慮にならないならやらないだろ。最低でも足切りとしてかなり活用してると俺は思うが、そこは水掛け論
現実は「実際にはそういう試験もやってる」わけで、つまり「お遊戯の技術」はどこでも問われているわけだ
一方で「知恵の輪」のほうは完璧さまでは求められていない
欠点があってもいくつかの部分で秀でていれば、それが拾い上げられやすいシステムとも言える
そこまで好意的に見てるわけではないが、そういう側面はある >>481
そう思う。
「約2200年前に、ギリシャのアルキメデスが、やっとのことで発見した」と伝説にまでなっている
πに近づく方法を、わずか数十分の試験時間で再発見できるほどの天才なら、
現代の難問など、すらすら解決できるはずだ。 >>486
＞πがなぜ一文字表記可能なのか？
二文字書くのがメンドくさいから。 >>485
>なぜ神は円周率を無理数にしたのか？
世界に深みを持たせるため >>489
俺が初めて「丸暗記」と感じたのは、球体、錐体の体積の求め方からかな
逆に数学になってやっと原理が理解できたけど、小学生では暗記するしか方法がない >>2
一応、擁護するとその「何やってるんだこれ？」を
知っておくと、実は数学ってのは抽象的かと思いきや
実用的な数学を根拠にしていたことが分かってくる
航海やギャンブルで使われていたんだ 素数を全てかけると偶数？奇数？
って問題で、偶数はおかしい、無限に発散するから偶数とは言えない！って人いるけど
それだと数学的帰納法が証明として使えないってことになるよね >>485
その数値が神聖視されることを防ぐために決まってるだろ >>490
>大した考慮にならないならやらないだろ
ていうかだから大学の学部なんてどこ行ったって一緒
欧米は「どこの大学に行ったか」ではなく「大学で何を学んだか」を見る
日本は「大学で何を学んだか」ではなく「どこの大学に行ったか」しか見ない
>そこは水掛け論
全然水掛け論じゃない
日本で言うなら、センター試験くらいならあってもいい
2次試験が有害
若い貴重なエネルギーを膨大に浪費させる
2次試験は競争試験のために作られているから
>欠点があってもいくつかの部分で秀でていれば、
>それが拾い上げられやすいシステムとも言える
学問と関係ない事を価値化して
拾い上げたり捨てたりする必要がない >>501
センター試験は東大レベルでも差がつくぞ？ テーラー展開知っていれば、適当な逆三角関数を展開すれば楽勝だろ・・
高校の範囲かは知らんけど >>487
それ、昔、あった。
作図問題だと、中学校の三角形の合同とか使わなくても、
現実に作図して、定規で測れば答えが出ることがあるため、
「それでは論理の試験にならない、カンニングだ」ということで、定規の持込が禁止になった。 >>503
>センター試験は東大レベルでも差がつくぞ？
知れてるだろ >>494
加法定理とか正弦余弦とか一応暗記が必要なモノはあったよ
そこまではテストの問題ぶっつけでも「書いてある事を使って解く」って感じが
一気に知ってるのが前提な事が増えたと
まぁ確かに円錐だのの体積求めるとか覚えておかなきゃならない事がなかったわけでもないんだけどさ >>501
> 欧米は「どこの大学に行ったか」ではなく「大学で何を学んだか」を見る
> 日本は「大学で何を学んだか」ではなく「どこの大学に行ったか」しか見ない
実証的根拠を提示しない単なる思いこみ。
> 日本で言うなら、センター試験くらいならあってもいい
> 2次試験が有害
おまえの個人的思いこみはどうでもいい。 >>505
有理数なら「3.14(仮)は神聖な数！」って言えるじゃん。平易なだけにこれは偶像化されやすく神には都合が悪い
でも「3.141592」・・・と永遠に続くのであれば、神聖視しようにも人類は永遠にそこにたどり着くことはできない 釈迦は円周率を説いていない
耶蘇も新訳にも旧訳にもパイについては言及してない
ムハンマド然り、池田の大ちゃん然りだ
つまり、この宇宙に円周率などというものは初めから存在していないのだ
それが何よりの証拠に、ガリレオ以来誰一人として土星の輪の円周率など出したことさえないのだから
もうひとつ、エンゲージリングを求めた際に、宝石屋から
「この指輪の円周率は3.54で御座いますので、通常の3.14よりはお値段が高くはなりますが、率の分だけ石も良いものを・・・」と
勧められた御仁は居まい
それが答えだ >>468
東大京大でその分野の大学者の講義を受けるのと、
どこの馬の骨だか分からない奴が先生のFランとはだいぶ違うと思うが。 >>493
深すぎます。
円周率は永遠に続くのにコンパスでちゃんと書ける。
この円の中に永遠が含まれてる。気が狂います。 >>2
ま、一般的には、生物は文字にすら興味を持たない。
ジャニーズとかは、「生物としては」一般的な行動だ。
>>496
で、本能（煩悩）に近い点では、お金とか生存のための方法は、食糧や性に次ぐのでは？ >>507
いやそんなことないんだが
もっとも東大の場合は、理Iだろうが日本試jとか含めるせｂ｢で差が出てるｂﾌも事実だからｂｻこに文句言うｂﾌはアリだが >>510 欧米の学者にも「○○大学大学院修了」みたいなの全面に出してる奴いるしね。 >>515
>東大京大でその分野の大学者の講義を受けるのと、
>どこの馬の骨だか分からない奴が先生のFランとはだいぶ違うと思うが。
授業なんてどうせ出たって分からねえ
自分で専門書を読むのが基本 円周率をきれいに整わせるための、n進数を作れば解決だな これはアレだな、2点間の最小距離が線分であることをまず示すんだな >>518
>いやそんなことないんだが
最終ゴールがセンター試験ごときならば、
中高一貫教育で受験虎の穴で巨大受験産業に莫大なカネを
使うことはなくなるだろ
現に欧米では受験産業が存在しない >>492
面倒なだけなら書けるはずじゃん
二文字で表記してみてよ >>515
まあ、本当に実績を挙げた人を目の当たりにするのは、良い刺激にはなるかもね。 >>514
どうせたどり着けないのであれば神にとってはさほど問題がない
「3.14（仮）こそ神の数字！」とか簡単に言われちゃって、3.14が崇め奉られるのが気に入らなかったんだ
無理数だからこそ、3.14はただの近似値であって別に普通の数値でいられるのだ
円周率を３で済ましていた昔の人だって、それが便宜的なものでしかないことは承知の上だろう Fランはともかく
BランCランでも卒業は出席ぐらいしかみないで
こと文系はどこを卒業してたとしても、そこからわかるのは
入試に耐える根性があったかということと、レイプ適性がどの程度か（早稲田慶応だと高適性）ぐらいしかわからないんだよな 大物官僚だった親父に殺されたニートがこれ正解してたな 円周率を1にして、それを基準に数字を作ればすべて完全解決 >>2
小中のときは周りのレベルが低かっただけだろ >>516
>深すぎます。
>円周率は永遠に続くのにコンパスでちゃんと書ける。
>この円の中に永遠が含まれてる。気が狂います。
それが宇宙の本性だよ
宇宙の果はあってもなくてもおかしい
おかしいのに宇宙は現に存在している
宇宙とはそういうもの >>528
>まあ、本当に実績を挙げた人を目の当たりにするのは、良い刺激にはなるかもね。
学部レベルではそんなクダラン刺激よりも
ちゃんと気さくに話し相手になってくれる地方の教授の方がはるかにためになる >>526
なくならんだろ、現実として「センターも」かなり重要視される部分なのに実際に差がつくんだから
小論文だろうが面接だろうが、日本から受験産業が存在しなくなることはないよ
それは日本の「出身大学を重視するシステム」からくる問題なのだから、受験内容でどういうという話ではない
それこそ警察官立会いのもと、完全な抽選オンリーのシステムとかにしない限り変わらない >>529
昔の人も3で済ませたりしてないぞ
むしろアナログに考えて、円周率原器を用いてた
これの材質が伸びにくい竹を割いたもので作った縄だったことから
円も竹縄が転じて、宴もたけなわになったんだぞ >>485
十進法じゃなかったら割り切れたりしないのか？ >>522
もともと、物理学は、キリスト教の神学から派生したとも言われている。
「世界が神の創造物ならば、世界を調べれば、神の創造物であることが証明できるはず」といった辺りかな？
で、そのままなら、ただのかび臭いオタクで終わっていたのだが、
そこから、無数の戦争の道具、兵器などが生み出され、物理学の能力が、民族の運命を変えるほどになった。
大砲や拳銃の軌道計算、設計、ロケットやミサイルの設計、原子爆弾…。 だいたい円周率ってなんなの？
丸いってことなの？
丸さの度合いってことなの？
もっと丸いものがあったら円周率4になるの？ アルキメデスは世界史レベルの天才だからその凄さは間違い無いが
約二千年遅れとはいえ自国文化内に円周率の近似値解析がある日本も大したもんだと思うよ
逆いえば古代文明をちゃんと学べば天才と同じ事が出来るんだからやっぱ勉強は大事
それを知らなかったから日本は二千年も遅れた訳だし ID:Mv6NT+Z00 君て、大学コンプの塊の有名人か？
すぐ「日本の大学受験は無駄」とか「学問の本質は」とか
言い出すけど、多分、どこにも受からなかったって人。 >>524
それがπ進数
なのになぜかπを一文字表記しているのに
π/nやπ*n みたいに自然数と同時に使ってるでしょ
本来これはおかしいよなーと思って今でも謎のまま >>536
俺のレスの内容に何も触れてない
センター試験ごときだと膨大なエネルギーを注ぐだけの器がない
自然と点数を競う事自体が馬鹿らしくなる
じゃないと重箱の隅をつつく争いになる これは理系問題なん？文理共通問題なん？
仮に共通問題だとして、東大で文系の勉強するには、
こんなんができる必要あるのｗ
ルートの手計算なんて東大入ってから死ぬまでやることないんじゃｗ >>538
超越数だから出来ない、循環小数ではないので >>541
>だいたい円周率ってなんなの？
円周の長さ÷直径
の値 >>535
そうかも。
東大の教授は、「理解できない生徒が悪い」「判る生徒にだけ伝わればよい」で、どんどん勝手に走ってゆく講義だからな。 >>546
膨大なエネルギーを注いでいる現状でも馬鹿らしくならずに実際に差が出てるんだから、ちゃんとレスにヒットしてるよ 逆に「センスなんかいらねえから根性で解けよ」
みたいな問題を出す回とか大学とかあるの >>552
その差は実に馬鹿らしい差だ
そんな馬鹿らしい差が権威化される事はなくなる >>554
現に権威化されまくってるがな
もしもセンター一本にしたらなおさら権威化されるのは当たり前の話 >>553
むしろ東大がそれな気がしている
記事がおかしい >>555
>現に権威化されまくってるがな
されてないだろ
2次試験を解ける受験技術が権威化されてるんだろ ルート２を途中まで暗記してた方が断然有利なんて良問なんか？
こんな問題じゃ、そんな数字を暗記するなんて馬鹿らしいと思って暗記していなくて、
ルートの手計算のやり方も覚えてないけど、
素晴らしいセンスを持っている高校生を取り逃さないか？ｗ >>545
まあ、１０進数は、人間の指の本数が起源。
１秒は、脈拍が起源。
１ｍは、地球の一周の長さが起源。
で、人間にとって都合が良いように知識をまとめると、「○○学」。
で、そのうちの一つ：「数学」に頻出するキーワードの一つが、「π」。
何か知らんが、便利な機械がいっぱい作れるから、まあ、便利。 >>541
円周/直径のことかな？
もっと分かりやすく言えば、円周が直径の何倍であるかを表す定数 >>559
学部入試ごときで
選別なんてそもそもしなくていい
若者に上も下もない >>558
どっちも権威化されてるよ
ああ見えてけっこう足を掬われるからな
途中までのナビゲートが比較的親切設計なだけで、問題自体はわりとガチってことも少なくないし ２０年前の東大理系は６問あってそのうち
３問は教科書理解してれば解ける問題
１問は今回の円周率みたいにおちゃらけ問題
残り２問は天才のつくった高校数額の世界を超えた問題、解答よんでも理解できないんだよ糞
３問解ければ合格といわれてた >>550
π*直径＝円周の長さ ってことなら
円周の長さを１とした時の直径の長さとかないのかしらね 設問の3.05はなぜ3.05なの？
3.04や3.06じゃ駄目だったの？ >>566
>どっちも権威化されてるよ
>ああ見えてけっこう足を掬われるからな
だから単純ミスとか足をすくわれる程度の話だろ
なんならじゃあセンター試験よりもっと簡単な「教科書の章末問題程度」に
話を絞ればもっと議論がスッキリするだろ
俺は入試には「教科書の章末問題程度」以外は出題せんでいいと言ってる マスコミは、カスミガセキとつるんで、東大に天下りしたいから、東大から外国人を排斥しようとしている。
マスコミは、カスミガセキとつるんで、東大に天下りしたいから、東大が能力主義になると困るんだ。
だから、最近やたらと、”日本のニュースで！！！”、「ハーバードに中国からの留学生が増えて、どうたらこうたら」と”日本の！！！”マスコミが騒いでいるだろ。
ハーバードで米国人に、ハーバードから中国人を排斥させようとしているんだ。
しかし、残念ながら君たちジャップの思い通りの結論にはならない。
米国の建国理念は人権・自然権・地方分権・住民自治・権力分散だ。米国を建国したのはピューリタンだ。
世界中で革命を起こしまくり、迫害されまくり、最終的にメイフラワー号で新大陸に脱出した方々だ。ピルグリムファーザーズと呼ばれる。
中国の悪口は言ってないぞ。
ただ、だから、人権・自然権思想を教えるのが米国のUniversityの伝統。これをわからない方々にはご入学を遠慮していただくのが正しい。
当然、アフリカ系米国人のかたが入学できる確率は高い。
(俺は別に大学をよいしょしてないぞ。人権自然権をもっと小学校中学校で教えるべきだ。現状では大学行っても無駄だ) >>569
だったら3.05でもいいじゃんよ・・・
3.1だと難易度上がるから、そこが一番切りが良いところだっただけだろう >>563
なんだろう、このID:Mv6NT+Z00の書き込みには
説得力が微塵も感じられない。
自分の思いこみを吐き出しているだけで、なんの
根拠も提示していないんだよね。 >>553
でも実際の数学って訓練も重要だと実感する
基礎でまごついていると思考に集中できない >>567
でも全問正解して出題者に「こんな回答があったのか」
って驚愕せしめる受験生も毎年いそうだな >>577
もっと美しい文脈を持ったまともな学問としての数学で
訓練しなよ >>571
単純ミスしない限り落とさないなら差は出ないだろうよ
でも実際のセンター試験はそうではないから差が出る
教科書の章末問題であれば、それはもし差が出てしまったら致命的という話になる
よってますます権威化するのは避けられない。完璧にお遊戯できなきゃいけないんだからな
全国の予備校が公文式教育になるわ 数学はセンスだよ
数学は解法パターン覚えればいい暗記科目だと思っているやついるけど
偏差値５０くらいまでならそれで対応できるけどそれ以上の入試はセンスないと無理 >>522
東大の物理は容赦なくむずい
数学はまだときやすかった
俺は生物に逃げたわ あ、ルート２の暗記はヒトヨヒトヨまででもいいのか。ルート３となると覚えてない人もいるわな。
そんな人の場合はルート２でいける８等分で十分と判断するのも「センス」なんかね 4角形の中に必ず○が入って、○は直径の約3.14倍 そもそも循環小数がなぜ循環するのかって誰か証明したのかな？
10進数の10/3は循環するが、9進数にすると止まるのが不思議だった
0.999…と1は等しいと扱いますで済ませられたけど説明にはなってない ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
