【話題】「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは？★３
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■東大入試に求められる「数学のセンス」とは？
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と（周期性がなく）続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大？ なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘（たけべ・かたひろ）が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、ＯＫとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
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図で、三角形ＯＡＴは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。OK=1から、ＫＴの長さが計算でき、さらに、直角三角形ＫＴＡに三平方の定理を用いてＡＫ、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733
★１が立った日付2019/09/19(木) 10:03:17.94
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1568865620/ >>1
パンスト朝鮮顔を整形しまくったネトエラ（ネット工作の在日朝鮮人）がわきまくってるしな。
日本に密入国してきて図々しく居つき、
生活保護を受給しながら凶悪レイプ性犯罪を繰り返し
日本人になりすましネット工作を続ける在日朝鮮人。
チョンポップの人気偽装を繰り返してる のもこいつら在日朝鮮人・帰化人。
在日朝鮮人はスパイそのもの。
帰化人を含めて朝鮮人全員をいったん強制送還するしかない。
●●● ネトウヨ連呼厨（ ネトエラ）の正体 ●●●
http://karutosouka2.tripod.com/uyokusyoutai.htm
. 正３２角形から入る俺は筋が悪いってことは理解したよ ゆとり「学校で円周率は3って習ったから、3.05より小さいよ」 >>6
ΣとLimitって計算記号ぐぐろう
数学センスあるんじゃね？ 大多数の人が3.14って言うから状況証拠的には3.05より大きい
あとは裁判員の心象次第だな 酔っぱらいジジイどもにはちんぷんかんぷんスレ、伸びんぞこれは 正多角形から求めるのってめちゃ初歩的じゃないか
記事書いた奴はそんな方法でドヤ顔か
東大受験生ならもっとスマートだったり面白かったり驚くような方法で証明するんだろ しかし、そもそも、四角形より六角形、六角形より八角形が、円に近い。
ということを数学的に数字で証明するのは、実は難しい・・・ 前々スレで36レス、前スレで65レスもした、
数学の素養なんかなにもない、マウンティング
したいだけのアホのID:Mv6NT+Z00が、また
「正しい俺様のいうことは正しいんだ！」と
鼻息荒くしてやってくるのかな(笑) >>1
こんな問題出たって正答するやつの大半は
ネタとして知ってるから正答出来るだけだろ
そこに数学的センスなんか関係ない 円周率ってHUNTER×HUNTERで出てくる念の応用技じゃないのか？ >>18
きちんと勉強したことないバカはそう思いたがるよね。 円周の長さが内接多角形の周の長さより長いことを証明できなければ０点だね
残念ｗ 東大は素晴らしい
先人の研究努力と歴史、本質をしる
これこそ、未来のノーベルを育てる最高学府の権威だ！！
私立大の焼き直し試験はやめて、面接入試だけにせえ 1：√2の長方形をサクッとフリーハンドで描けないやつはあきらめろ。
数学のセンスゼロだ。 時間があるときなら解けると思うが、本番でこれ出されたら面食らうだろうな。正ｎ角形を使うのはわかるから部分点ねらいだな。 >>17
あいつ6〜7年前から同じこと書いているけれど
受験の落後者でネットで数学が出来るふりをして
いる奴だからな コロンブスの卵系の問題だよね
一度解けると「あれ、なんで気づかなかったのだろう」というほど基本的な知識だけで解ける
その意味では頭の回転が早く、とても柔らかい頭なら中学生でも解ける
だからこその良問なのだろうね
必要とする知識が少なく、それも知識の柱になるような基本事項だけで解ける
それでいて大半の人が気づかない
中途半端に理解している人や、注意力のない人や、頭の固い人は解けない、そんな問題
たしかに良問だ
難点をいえば一度誰かに教えてもらっていると、
それだけで解けてしまうというところかなww
まあ、それも知識ではあるし、受験らしいとも言えるか
少なくとも馬鹿は聞いていても必要なときに思い出せないものね 円周率、２００桁まで言えるけど
あんまりウケなかったから、自慢するのを止めたわ 良問だけど単なる取っ掛かりの一問だからねw
これは出来て当たり前
これが出来たから東大行けると思わないように >>29
いや、ID:Mv6NT+Z00は数学ができるふりなんかしてないよ。
受験数学とか高校数学は意味がない、大学で数学の専門職を
読めばいあ、と言うだけで、数学自体についてはなにも語る
ことができないバカだよ。
いつも「類体論」がどうのこうの言い出すけど、類体論が
どんなものか説明しろと言われても、一度も説明できたことが
ないから、まあ、お察しのキチガイだねw 円に内接する多角形角を無限に飛ばす過程における12角形の時点での外周=(2*12)/(2*(√6+√2))=3.1058…だからπ＞3.05じゃダメなん？ こんな問題出すぐらいなら微積極限なり確率漸化式なり出してやれば受験生の実力見れるのに >>30
スーファミ版のドラゴンクエストIIはドラゴンクエストII・ビギナーバージョンといっていい >>1
六角形ではなく、正三角形から中点を補っって拡張したんじゃね？ 正n角形より外接円周の方が長いのは、A点B点を結ぶ最短ルートは直線ABで、円弧ABの方が長いってだけ
それがn個あっても、必ず円弧の方が長いことは変わらん
こういうのは自明って言う πが無理数であることを誘導付きで証明させる同じ年の阪大後期の問題の方が難しそう。
https://examist.jp/legendexam/2003-tokyo/
でもこの阪大の出題ってたぶんに出題者の自己満足じゃないだろか。 >>21
証明しろってことは、ワープ理論とかが出てくるわけかw 入試問題で証明せよってんだから、証明できるに決まっている。（証明終わり） >>2
証明問題で考えたらその3.14はどこから来た数字や？って事で不正解 >>21
上限の値については円に外接する多角形でフォローするでしょ
内接/外接する多角形の外周で値が変わらなくなった桁が確定した値 >>46
ワープ理論とかよく知らんが
「証明せよ」という問題なんだから証明しないと駄目だろう
それができないなら>>2の解答と大して変わらん >>35
あいつが類体論とか数論幾何とか書いていると笑えるわな >>50
外接だったら円周より長いのか？
証明してくれよｗ おっぱいは２個
πは１個
ほくのお母さんはおっぱいは98cmなので、98cm/2=π >3.05 >>53
内接する多角形には面積に余りが生じる、これは外周の値が足りないためである
同様に外接する多角形には超過する面積が生じる、これは外周の値が過多な為である こういう問題を出すから、東大の数学の問題を解くのが好きなんだよなーー >>1
読むだけで、考えようともしない俺はセンスゼロかな・・・。 >>62
センスでなく基礎不足だろ
何をどうしていいかわからないからそうなるってだけの話だろ？
何かしらの発覚した事件を元に完全犯罪のやり方を考えよとかならああすればこうすればってなるんだろ？ √3≒人並みに=1.732
>>1から
OA=1.AT=0.5
OA^2=AT^2+OT^2
OT^2=AT^2-OA^2
OT^2=1^2-(1/2)^2=1-1/4=3/4
OT=√(3/4)
=(√3)/2
≒0.866
KT=OA-OT
KT=1-{(√3)/2}
≒1-(1.732/2)
≒1-0.866
≒0.134
ここまではなんとかできる
AKを暗算や鉛筆で出せない＞＜；
AK^2=AT^2+KT^2
AK≒√(0.5^2+0.134^2) >>48 補足説明
証明できることを証明したら、証明したも同然やろ？ センスというか処理能力を問う問題
処理能力は甘く見られがちだけど無いと始まらない
>>68
あれは悪問 >>35
そいつのことは知らんが類体論（class field theory）は実在するよ
代数学の一分野だが、大学の数学科の知識のない人に説明するのは無理だと思うわ 東大入試といえど１問くらいはサービス問題が出題される 高名な数学者ほど円周率は３,０でも良いと考えている >>21
「頂点同士をまっすぐ結ぶ線分の長さは定義から2点間の最短距離に等しい」は使ったらアカンの？ 筑駒とか麻布とかに受かる子なら小学生で解ける気がする 同じ半径？の8角形の周の長さが3.05より長いこと証明すりゃいいんだっけ なんのこっちゃと思ったが、円周長が直径の何倍かを理解してたら分かりそうな問題ってことか >>57
> 内接する多角形には面積に余りが生じる、これは外周の値が足りないためである
は？w
> 同様に外接する多角形には超過する面積が生じる、これは外周の値が過多な為である
は？？ｗ
>>74
「まっすぐ」の定義を教えてくれw >>80
> >>74
> 「まっすぐ」の定義を教えてくれw
最短距離 F.S.S.に出てくるマイトみたいな職業の人なら、証明する前に「見れば分かるだろ」って言うところだと思うんだが、そういう天才科学者、リアルでいると思う 3.05と言われて多角形のところに考えが行くか行かないかの差
これが数学センスだと言われるとぐうの音も出ない >>81
え？
「最短距離だから最短距離」
「円周より短いから短い」
え？ｗ 数学的センスww 大嘘のやつな
大体切羽詰まった本番では糞の役にも立たない
数学はいかに解法パターンを覚えるかの暗記科目
俺も考えることはしなかったな 想像力を鍛えるのは数学でも良いが、結果ありきで問題出して、
出題のセンスを褒めるってなに。
>>2で終わってるし すげーな
東大に受かる人はこんな難問も解けるんだな
純粋な偏差値ランキングだったら東大は世界ベスト3に入ってるだろ >>87
>純粋な偏差値ランキングだったら東大は世界ベスト3に入ってるだろ
純粋な偏差値ランキングだったら韓国や中国にボロ負け >>87
個々の問題は難関私大の方が難しいらしいよ >>87ところがどっこい、中国韓国シンガポールあたりの高校生は灘、開成よりレベル高いのが
星の数ほど存在する 「tan1°は有理数か。」（たんじぇんといちど-ゆうりすう-）は、2006年度の京都大学後期入学試験数学の最終問題として出された、受験界で伝説とも言われている究極難度の問題である。 >>87
難問じゃなくて中高等教育で扱う範囲の詰め込みや教育プランの過程で円周率の導く方法を説明しなかったりするだけよ
授業外で教師に円周率の値をどうやって導くのか、何で3.14…となるのかを聞くと大体教えてくれるよ >>92
>中国韓国シンガポールあたりの高校生は灘、開成よりレベル高いのが
>星の数ほど存在する
学問の数学のレベルは全く大したこと無いけどね >>1
数学の面白さを、というよりも
伝わってくるのは・・・なんというか
悪く言えば、公開オナニー？ >>93
別に難問ではない
背理法、帰納法、tanの加法定理、tan30゜が無理数であること、を使うだけ >>94
数学と物理の入試って理屈さえ知ってれば解けはするしな、時間かかるけど >>97
じゃ答えを出してください
そこまで言うからには ＞πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
くっさぁ〜
低学歴しか感動しないこの一文ほんとくっさｗ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
