【話題】「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」東大入試「伝説の良問」が教える数学センスと思考法とは？★２
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■東大入試に求められる「数学のセンス」とは？
「数学のセンス」とはいったい何でしょうか。「計算が速い」だけでは、どうも違う気がします。「公式をよく知っている」というのもちょっと違うかな。でも、「公式を自由に使うことができる」となるとセンスかなあ、と感じるかもしれません。
そこで、東京大学の入試問題を見てみましょう。どのようなセンスや基礎学力が要求されているかを念頭に置きながら、問題を楽しんでください。数学を楽しむことができる。これも重要な数学のセンスでしょうね。
■伝説の良問 1「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
円周率を計算!?
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円周率πは古代ギリシャから今日に至るまで、さまざまな話題を提供してくれる数です。
3.14159……と延々と（周期性がなく）続く超越数であるという難しさと、円周の長さとその円の直径の比という小学生でも分かる身近さの、二つの顔を持つ点が人気の秘密なのでしょう。
このようなすてきな数は、他には見当たりません。このすてきな数を東大は入試問題にしました。でも、円周率が3.14ではなく、3.05より大？ なぜでしょうか。
約2200年前、ギリシャのアルキメデスは、円に内接する正96角形と円に外接する正96角形の周の長さを計算して比較し、πは71分の233と7分の22の間にあることを見つけました。πの値が直接求められないならば、πに近づく方法を考えればよいという現代の解析学に近いような考え方をすでにしていたのです。
日本でも、江戸時代の数学者、建部賢弘（たけべ・かたひろ）が正方形から始め、加速法という手法を駆使して正1024角形までを計算し、小数点以下41桁まで求めたといいます。
この東西二つの計算法は、円周率を円周の長さと直径の関係で捉え、正多角形を用いるという、基本的には同じ考え方ですね。
話はちょっと脱線しますが、ここに東西の文化の違いが隠れています。アルキメデスの正96角形の96は6の16倍ですから、まず正六角形からスタートし、正12角形、正24角形……と次々に辺の数を2倍にして計算したのです。
一方、1024は2の10乗ですから、建部は正方形からスタートし、正八角形、正16角形、……正512角形、正1024角形と2倍にして計算していったようです。
西洋のアルキメデスは合理的で、1辺の長さが半径に等しい正六角形から始めたのですが、建部のスタートは正方形。日本は木の文化で、門などの造形の基調は四角形であり、西洋のようなアーチは少ないので、正方形から始める方が自然だったのかもしれませんね。
さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！
ならば、正六角形の次に正八角形を調べようという人と、正12角形を調べようという人がいるでしょう。いずれの方法も3.05より大きいと示すことができます。3.14に比べて、かなり大まかな近似値ですから、ＯＫとなるわけですね。これが、東大が3.05に込めた秘密なのです。
この計算は小学生でもできます。半径が1の円に内接する正六角形と正12角形を描き、考察してみましょう。
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図で、三角形ＯＡＴは正三角形の半分の直角三角形。
OA=1、AT=0.5だから、三平方の定理（ピタゴラスの定理）により、ＯＴの長さが分かります。OK=1から、ＫＴの長さが計算でき、さらに、直角三角形ＫＴＡに三平方の定理を用いてＡＫ、つまり正12角形の1辺の長さを得ることができます。概算は次の図のようになります。
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正12角形の周の長さは、0.518×12=6.216。円周の長さ2πはこれよりも大きいので、πは3.108よりも大きい。これで東大はほぼ合格ですね。
このように、東大はπの近似値を求める計算方法を自ら見いだして計算できるかを問うているのですね。単に計算するだけでなく、その方法も見いだす。これが本当の意味での計算力です。計算のセンスを垣間見ることができる良問でしょう。
https://diamond.jp/articles/-/213733
★１が立った日付2019/09/19(木) 10:03:17.94
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1568854997/ お前ら腰抜け寄生虫どもが元凶だ。
喜べよ。本当に能力主義の大学だけになれば、カスミガセキやマスコミからの大学への天下りがなくなるｗｗｗ
この変化を喜べない連中は、寄生虫どもで、寄生虫どもはナショナリズムがないと不安なんだろｗｗｗ
あとほかに理由があるとすると。
食うに困らないクソガキボンボンが、名誉とか欲しがるんだよなあｗｗｗ
そんなにメダルが欲しいのかｗｗｗ
妖〇メダルとかじゃダメなのかｗｗｗ子供おじさんなんだから、ガキのおもちゃ与えとけば十分だろｗｗｗ
ああ、俺は日本には滅んでほしいので、ジャップが無駄遣いをして自滅するのは良いことなんだが、難しいな。
俺は米国の99%の一人になりたい。俺はアフリカ系米国人になりたい。
お前らジャップはなんでもアメリカのせいにするけど。
お前ら甘やかされたクソガキボンボンジャップが、
ヨーロッパの国王がくれるノーベル賞という勲章を欲しくなるのは、
アメリカのせいなのか？ｗ ｗ ｗ そもそも、
「世界の大学に比べ日本の大学の研究成果が出ないのはなぜか」
で改革が始まったのに、
マスコミやカスミガセキが天下り先にしようと
「カネになりすぐ成果の出る大学を！」
とかわめいたんだろ
「日本の大学教授はぬるくて楽」、
とマスコミやカスミガセキに思われているから、
日本の大学教授は天下りだらけになり、
日本の大学教授への天下りを増やそうとこういう記事が出るんだ。
改革を止めるな！抵抗勢力を倒せ！構造改革なくして成長なし！改革には痛みが伴う！ スレタイ見てパッと思いついた方法が出てきてホッとした
おっさんになって大分劣化したからなぁ 東南アジアから留学生を日本に招待し、
日本の税金で大学を卒業してもらい、
お前らジャップの上司にすれば解決。
これで、選民思想を持ったうるさいジャップもいなくなるだろ。
大学に価値があるとは言ってない。日本儒教を教えるのはそもそもUniversityとはいわない。
東大が留学生だらけになればお前らジャップは東大を伏し拝むのをやめるだろｗｗｗ
青山や千代田区や文京区にも、留学生の寮や会館をもっと立てるべきだろう。
国際化ですし。
外国人さんを嫌がるとすると、それは、
お前らジャップに選民思想に基づくプライドが残っていて、
外国人さんに頭を下げて、外国人さんの部下になるのが嫌だから、
だろ。ｗｗｗ
ああ、そうなんだ。ｗｗｗお前らジャップってぬるい人生送ってるよな。
新聞社・出版社・テレビ局に、移民や留学生を雇用する義務付けをしよう。
日本の企業に、移民や留学生を雇用する義務付けをしよう。
障害者雇用義務付けとか男女雇用機会均等法があるのだから当然だろう。
日本のマスコミが違反していたら、免許停止にしろ。
東京に今すぐもっと東南アジア系移民のかた・アフリカ系移民のかたを受け入れよう！今すぐ東京にもっと東南アジア系外国人労働者さん・アフリカ系外国人労働者さんを受け入れよう！
日本に今すぐもっと東南アジア系移民のかた・アフリカ系移民のかたを受け入れよう！今すぐ日本にもっと東南アジア系外国人労働者さん・アフリカ系外国人労働者さんを受け入れよう！
東大がハーバードよりダメなのは、留学生の比率が低いからだろ？ｗｗｗ教員も日本人の比率が高いから、だろ？ｗｗｗ
東大は、もっと外国人の教授を増やし留学生を増やせよ。東大は、アジアからの留学生の数少ないじゃん。
そもそも俺は「東大」も「現在のハーバード」も嫌いだし不要だと思ってるけど
教授・センコーや生徒を、全部外国の人にすれば、レベルは上がるじゃん！ｗｗｗ
東大は、もっと外国人の教授を増やし留学生を増やせよ。東大は、アジアからの留学生の数少ないじゃん。
グローバリゼーションと国際競争の時代だそうですしｗｗｗ 東大の二次試験ならちょろい問題
確実に得点しないと合格は危うい 結局は、解法を知っているか、類推できるかが決め手ではないのか？ >>390
円は拡大しても縮小しても円である。
よって、半径と円周の比率は、すべての円において共通である。 >>383
「必要な時に学び取ればいい」で済むなら受験なんてくじ引きでいいだろ
解けるってことは、「既に学び取っている」「新しいものもきっと学び取れる」と、その技術が保証されてるってことだ 音楽も本当はかなり高度な数学なんだよな。
音符ってなんだろ・・
半音と全音ってなにと疑問で、ちょっと調べたら、音階を半分にしてさらに半分にして・・
それが非常に複雑になってるのが音符。
意味不明だから途中で読むのやめたけど。
だから、理系と文系を分けるのは意味ないとはよく言われるけど、音楽は典型じゃないの。 >>383
何を学べばいいかわからんだろ
うしろで誰かが見てないといけない
つまり永久に学校を卒業できないw >>397
ID:Mv6NT+Z00はキチガイだから触らないほうがいいよ。 >>199
すごいな
eが2.725より大きいことを証明しちゃったのかw >>5
歳がバレるけど小3くらいで円周÷直径って習ったよ。昭和◯◯年生まれw 3.161592653486まで覚えてたけど 使うことはないまま今日に至る 余弦定理で十分だろ
正12角形なんてセンスゼロ（わかりやすいけど） 直径がいずれも10ｃｍあるの正360角形と正7角形がある
正360角形の構成辺の長さの合計を正７角形の一辺の長さで割り
得られた数値から、円周率は約3.14となり、3.05より大きい
やってみるとホントノウソだとわかるよ >>409
使う機会がなかったのは幸運だったな・・・ >>407
二次試験で7割取れればほぼ合格するよ。 円周率を実生活で使う場面はない
だから3だろうが3.14だろうがどうでもいいこと >>14
乱暴な言い方だがRPGの様々なギミックを繰り出すボス戦攻略のようなもんだな ┏( .-. ┏ ) ┓
【凍結されたアカウント】
*下記の内容で、英語圏に書き込んだら凍結されました
英語以外の国では問題無さそうですが
理由は何でしょうか？
↓
【ペルシア帝国】
*イランとは、ペルシア帝国の発祥の地です
ペルシア帝国の遺産と子孫を大切にして下さい aq
https://mobile.twitter.com/prettypumpkin71/status/1174599275159805952
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
ウッソだろ、、、円周率3.14...って知らないのかよ！！
バーカバーカ！！ほんとくっだらねぇ！！
東大様も堕ちたもんだぜｗ
>>397
>「必要な時に学び取ればいい」で済むなら受験なんてくじ引きでいいだろ
まさに欧米はそのくじ引きなんだが。
>解けるってことは、「既に学び取っている」「新しいものもきっと学び取れる」と、
>その技術が保証されてるってことだ
知恵の輪パズルを解く技術が保証されて
んで何が嬉しいの？ 6×6÷2=18で三角形の面積を出して
18÷2=9で面積1/2の４角形の面積が出る
その４角形の面積を求めるには9÷2=4.5になるから
頂点6の内側4.5を通る半円が求められる
6-4.5は1.5なので、外側の半円も1.5を通れば半円になる
後は半円で結んでいくと○くなる>>376 半径1センチの円を書く
180角形を中に入れる
サイン1度が0.01745240643なので一辺の長さは0.03490481287
180をかけると6.28286631742
つまり円周率は3.14143315871より大きくなる 大数とかエレガントな回答を求むとか懐かしい
高校のとき受験勉強そっちのけで答え探してた >>401
>何を学べばいいかわからんだろ
>うしろで誰かが見てないといけない
大学に入ってから専門書を学べばいい >>14
それで点数は取れるけどセンスは逆に劣化すると思うぞ。 >>418
> まさに欧米はそのくじ引きなんだが
ウソデタラメ乙www >>378
円周率を求めるのに、余弦定理を使うの？ 二次試験には難易度順にA問題、B問題、C問題とクラス分けがあって
A問題は解けないと落ちる問題
B問題は解ければ合格ラインの問題
C問題は天才を救済するための問題で常人が挑戦すると時間を食われて落ちる問題
A問題、B問題を完答してC問題はつついて部分点とれれば十分
>>1の問題はB問題だな 解ければ合格 解けなくても他の教科が得意ならなんとか挽回可能 根本的に高校数学自体の論理が崩壊しているから高校数学範囲では証明不可能 今時は、答えのある問題は答えの検索をするのが一番効率がいいから
考える時間が減ってるんじゃなかろうか？ >>421
カレー味のウンコではなくウンコ味のカレーに夢中だった
くらいの違いしかない >>430
おまえさんは数学の学位持ってる人なの？ >>431
俺の個人情報なんてどうでもいいだろ
俺のレスはレスの中身だけが全て 問題だよ
e^(1+sin(1°))の値を求めよ(eは自然対数の底)
条件
(高校レベルで、関数電卓・パソコン等は使用しない) 数学なんて四則計算以外はパズル解きと同じ自己満の学問としか思ってない
そんなことに時間と脳を費やしてるから理系カスは実社会で使えねーんだよ >>418
「欧」は調べるの面倒だが、「米」のほうはそんなことしてないようだぞ
日本ほど試験重視ではないにしても、普通に試験もある
>>418
嬉しいよ？「ウチの大学に入りたかったら知恵の輪の解き方習得して？」って前もって言ってるのに、
習得できなかった奴とできた奴がいたら当然後者に期待する スレタイだけ見て即レスするけど
三角形（若しくはn角形）の外接円と四角形（若しくはn＋1角形）の内接円から導けばいいんじゃね？ 普段からそこにあって当たり前のアレコレに疑問を持つ習慣がある人はなら問題読んだだけでピンとくるんだろな
何を問われているのかって部分に
教養だけでなく、子供時代に顕著な感性が必要な良い問題だよな >>433
中身がないことを一生懸命書いてるから、
数学の素養あるのかどうか確認しただけだが。 >>425
円周率求めろって問題じゃないだろこれ？
そうなったらある意味「伝説の○問」になりそうだが >>406
>>199の証明は正しくないっぽいけど、それはさておき、
なんで>>169から修正しちゃったのかよくわかんない。 >>436
>「欧」は調べるの面倒だが、「米」のほうはそんなことしてないようだぞ
>日本ほど試験重視ではないにしても、普通に試験もある
教科書の章末問題程度しか出題されないから
差がつかない ①マクローリンの定理を証明
②マクローリン展開によってsinxとcosxを定義
③これにより作られたsinxに対しx→0のときsinx/x→1を証明
④改めてsinxの導関数を導出
⑤改めて曲線y=√(1-x^2) (-1≦x≦1)の長さを算出
⑥改めて弧度法を定義
でやっと正12角形の話に入れる
ただし②が理由で整数次元に限定される >>1
これ昭和の詰め込み世代は義務教育で円周率は３．１４だし
３．０５より大きいで証明が終わるけど、
平成のゆとり世代は円周率は３で習ってるから
３．０５より大きい事を証明できないｗ 内接多角形を六角形 l=6r
外接多角形を四角形 L=8r
八角形の形がわからない >>436
>嬉しいよ？「ウチの大学に入りたかったら知恵の輪の解き方習得して？」って
>前もって言ってるのに、
>習得できなかった奴とできた奴がいたら当然後者に期待する
学問を学ぶ準備に不要な事を
子どもに課して競争させてはならない
そんな国は日本や韓国だけ
間違った大人の言うことを従順に聞く必要はない >>439
>中身がないことを一生懸命書いてるから
理由をどうぞ バイトでもしてクレーム対応とかしてた方が今後の人生の役に立つ気がす >>446
またガセネタを
そもそも3.14で打ち切る方が「およそ3」よりよっぽど馬鹿なんだけどな >>438
>教養だけでなく、子供時代に顕著な感性が必要な良い問題だよな
子どもは遊ぶのが仕事
情緒を磨くことが数学を学ぶ上で一番大事
窮屈なパズルを解く器用さなどむしろ邪魔でさえある ID:Mv6NT+Z00は荒唐無稽な主張はたくさん書いているけど、
そう考える根拠を一切提示していない。単に、「賢い俺様が
こう言ってるんだから、それは正しい。」と言ってるだけ。 アホくさ
この前の東大生YouTuberといい、そんなことで悦に入ってるから世界で通用しないんだよ >>444
それは中まで見ていないからわからんが、いずれにしてもくじ引きではなかったぞ
実際のとこ、面接や随筆よりは、知恵の輪のほうがまだ正確に適性がわかるかもしれんしな >>432
この宇宙では3.14らしいぞ
俺も最初は戸惑った >>454
>そう考える根拠を一切提示していない
根拠の根拠、そのまた根拠、にはオワリがない。
おまえがなぜ俺の主張がおかしいのか
おまえが立証義務を果たす番なのに
おまえはそれを放棄してるだけ 法律とか裁判ネタのスレで、「法的問題を解決するためには
法律知識は不要」と主張するキチガイがよく登場するけど、
ID:Mv6NT+Z00はそのキチガイと同じ臭いがする。 そんな思いつきで、πの近似値を求める計算方法を自ら見いだせれたら、
人類が、πの近似値を求めるのに、長い期間がかかるはずはない。
そんなもの、πの近似値を求める計算方法を暗記しているかどうかだけの問題だ。
東大入試が「暗記入試」と揶揄されるのは、それゆえだ。 >>457
>それは中まで見ていないからわからんが、いずれにしてもくじ引きではなかったぞ
差がつかないんだからくじ引きだろ
>面接や随筆よりは、知恵の輪のほうがまだ正確に適性がわかるかもしれんしな
面接や随筆もくじ引きに毛の生えたようなもの。
学問を学ぶ適正なんかない、四の五の言わずにサッサと海に飛び込めばいいだけ。
不必要な事を必要と感じてる時点で、あんたは何が本質かがまるで分かってない証拠 >>449
んなことないだろ
面接があるなら面接の技術も習得せにゃならんわけだし、
そもそも章末問題だって「準備には不要」のカテゴリだってのが君の論旨じゃないの？
だったら欧米にしても同じことだろうよ >>462
根拠ゼロの俺様主張の垂れ流しには説得力がまったくない(笑) >>329
外接する多角形の周を求めて比較するんですね >>1
数学のセンスは文系に近いと常々感じている
要するに他人を説得する能力に近い
だから数学が理系と言われても個人的には未だに馴染まない
これが物理や化学や生物だとそうはいかない
検証すれば結果が出る、理論と実数が異なっていたら
理論が間違っていると考えるのが自然科学 >>462
差がつくから本当にはくじ引きはしないんだろ
最低でも、足切りには使っているんじゃないのか？ どこの大学に入ったって、初心者が習うことなど大差ないのだから、
大学進学の根拠になっている、雇用時の学歴信仰だの学閥を減らせば、
大した意味の無い大学入学を競う必要も減る。 >>463
>面接があるなら面接の技術も習得せにゃならんわけだし
点数化して上から機械的に取ってなんかいない
だからさっきからくじ引きだって言ってるだろ
>そもそも章末問題だって「準備には不要」のカテゴリだってのが君の論旨じゃないの？
高校数学なんて鼻息荒くしてやる必要がねえってこと
あれはお遊戯 タカシ、そんな事よりちゃんとハローワーク行きなさいよ >>461
いやこの程度のことは古代バビロニアでは計算されていたし
4000年前にすでにわかっていたこと >>468
>どこの大学に入ったって、初心者が習うことなど大差ないのだから
その通り、学部なんて学問の入り口の入り口だから
どこ行ったって一緒
研究オタクは院から拾えばいい >>470
お遊戯を完璧に習熟しなきゃいけないなら、知恵の輪でも大した差はないだろ
「他の視点からも見ろ」なら同意できるが、これはこれで意味のあること >>2
ほんこれ、中学までは実験とかあって面白いのに
そこから暗記と記号ばかりで糞つまらなくなる 父は約３．１４と習ったから。なんなら説明に行かせます＾＾； >>466
プログラミング言語みたいな…。
プログラミング言語の歴史は、最初は、確実に機械に命令を伝えるための論理だったが、
人間がプログラムを作る効率が配慮されて、人間にとっての分かりやすさ：可読性が重視されるようになった。
理系は入り口の敷居が低いような…。
虫とか石ころとか、簡単だけど確実なところから入る。
文系は、いきなり人間を相手にするから、
人間の興味に近いところから入るけれど、なかなか確実にならない。 >>474
>お遊戯を完璧に習熟しなきゃいけないなら
完璧に習熟などしなくていい >>478
完璧に習熟しなかったら差が出ちゃうじゃん 理系は、「判らないこと」が沢山あって、専門馬鹿であることを認める学問のような…。
文系は、「とにかく近似でも、全部、判ってしまおう」とする現状で「神」の最大近似値に近付こうとする学問のような…。 習ってもいないことをその場で思いつく超人だらけなら、
日本はこんなに落ち目(失われた30年)になってないから。w >>479
>完璧に習熟しなかったら差が出ちゃうじゃん
差が出ても大した考慮にはならない どんな問題でも、最後に(20xx年 東大)とかけば、考え込むな。 円周率＝3.14とか言ってるアホがゆとり教育で円周率が3でうんたらと的外れな批判をする 漢字圏の人間としてはπがなぜ一文字表記可能なのか？
を考えてる方が楽しい。専門の分野ってあるのかね？
＋ － ％ の意味を考える数学体系とか ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
