【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg >>400
チャック・ノリスなら円周率も最後まで言える 1/3と0.33333…は別のものだから当たり前かと このサイトの平均レベルは超えるが、循環小数の定義を明確にすれば何の不思議もない。
無限小数 0.aaaa… は等比級数 a/10 + a/100 + a/1000 + a/10000 + …
を意味する。この等比級数の総和は (a/10)/(1 – 1/10) = a/9 となる。
従って、0.3333… は 3/9 = 1/3 を意味し、0.9999… は 9/9 = 1 を意味する。
「定義」の意味を理解しない人に対しては馬の耳に念仏であるが。 1メートルの棒を長さ計測して3等分することは無理なの？
1メートル（300グラム）の棒を100グラムずつで3等分することは可能？ >>420
なんで面積や体積が正確に求められないの？ >>419
床屋はギリシャ人でした (´・ω・｀)ｂ
１と0.9999┄は完全に同じ
ただ表現の仕方を変えているだけ
別の言い方をすれば
１と0.9999┄の間にすき間は全くない
もしすき間があるなら
９はどこかで終わってしまって無限には続かない
ゆえに１と0.9999┄の間にすき間は全くない
ということは１と0.9999┄は完全に同値ということ 分かりやすく書くと
0.3×3=0.9
こういうことだ
1/3とは何の関係もない 0.33・・ は未解決数で、まだ計算中の値だから
別の数式に組み込むのが間違ってる 1=0.9999999999999999→∞
って事なんじゃないの >>79
自分の思いよりも相手を思えると彼女が出来るよ
女性は魂は別にして、大地と海であります、対して天は男性です
大地は雨がなければ植物を生やせません
雨をもたらすのは男性である天です
ならば起承転結の結末は別として、
始まりはあなたであるべきです
その時に心を悪魔に食われないために、愛をしっていると救われます なんでも割り切れるんだよ
1の単位を変えればいいだけ
何を1にしてるか 簡単な話
0.99999....
という数列の極限は1だから
不思議でもなんでもない ＞＞４２４
まあ現代の学生は高度なプログラミングの知識がある子も多いし、曖昧な表記が
それだけ問題があるか実地で知ってる人は多い。そういう素養の無い教育者は馬鹿にされるから
いろいろ大変な時代だとは思う。特に大学なｗ >>359
0.99999･･･=1
0.33333･･･=1/3
なんだね >>419
嘘つきとは嘘しかつかない人のことじゃない
よく嘘をつく人のことだ >>373
不完全性定理の否定により万能は確定。
ニンゲンを完全に縛っているのも確定 >>422
チャック・ノリス「俺が見てた」
観測問題解決。 四則演算疑うなら理系の大学行ってからにしたほうがいい 3分の1は整数だろ
0.33333はどこまでも虚数でしかない 無限に計算して証明してみてくれよ
出来ないなら軽々しく無限なんて言葉使うんじゃねー 厳密にはイコールではないだろ。
ニアリーイコールだよ≒ >>386
世界のキリスト｢世界は矛盾している｣
目覚めたとき(ややこしいの作りやがって...) 数学小辞典にはこう書いてある。
問題は、「無限」をどうとらえるか、どう理解するか
にかかっている。われわれの数学は，１＝0．9999…である，
という数学である。
補足すると
私たちの数学は、１＝１である、とともに１＝0.9999である
という数学で成り立っている。 まんまだろ、謎なんて1つもない
関数電卓つかえば、1になるしなｗ 無限を直感だけで理解しようとすると往々に失敗する、という話。 0.9999・・・・=１
なんだから全然矛盾しない。・・・・に限界がないので
=１となるのは明白。 電卓で1を3で割ると0.3333333333になって３掛けると0.0999999999
になって変だけど
0.3333333333の時点でそれ以下を省略しちまってるから悪いわけで
∞としたなら１になると思う 円周率３世代
円周率３．１４世代
大学に入ったらπですべて納得
割り切れたら不味いって >>446
ふーん。そうか
数字で量りずらい感情は神の創造ではないのか？ >>455
え？イコールでしょ？
連続してるんだから。 0.99999....て数字を甘く見すぎ
この9...が無限に続くんだぞ
宇宙の広さよりもずっとずっと長く9が続いてるんだからもう完全に１じゃん 十進数で考えたら表現できないだけだろ
三進数なら1/3=0.1丁度だし単なる表現の仕方の問題だけ >>9
そうではなくて
1=0.9999...
ということ
1には二通りの表記方法があると考えるべき。
もともと十進法は自然数から拡張されたもの。
だからこういうことが起きても違和感はない。
スレの内容は大学教養課程の解析学の教科書だったら
載ってる。 >>206
どういうこともなにも、そういうことですよと言いたくなるよね 本文読んでいないでレスするが、
0.9999≠1だけど、
0.9999...=1だから、謎でも何でもないのでは。 0.9999┄は
１に限りなく近い数値ではなく
１と完全に同値
１−0.9999┄は０に限りなく近づくのではなく
完全に０
なぜならば
１と0.9999┄の間にはすき間が全くないから
すき間があるなら９は無限には続かずどこかで終わってしまう
１と0.9999の間にすき間が全くないということは
１と0.9999┄は全く区別できない数値で同値ということ
表現の仕方を変えたから同値でないように勘違いしているだけ >収束することが証明されていて
この部分を省かれると説明にならないじゃないか 数学って人間が勝手に定義決めてオナニーしてるだけだろ 完全な球体が完全な平面に置かれていた場合
接する面積は0ってのと同じやで？ 電卓が出だした何十年も前のネタな記憶。ホントだ不思議で終わってたが 1＋1/2＋1/4+1/8+1/16+・・・
＝1+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4＋・・・
＝2
>>426 その長さは何で測るの？
世界一の測定器用意しても誤差は生じるから許容誤差を容認すれば可能 >>374
君は循環小数の定義を正しく理解していないぞ 1/3と0.333…は別の概念という話でしかない
それを同値だとみなすっていう"みなし"を考慮すれば不思議でも何でもないのでは 実験科学系教授「おーい。有効数字以下まで測定しちゃって粋がってるキミイ。それ意味ないからなあ（大欠伸）」 >>482
それで疑問があるんだけど
電卓によって
1/3*3＝0.999999999
と
1/3*3＝1
の二種類があるよね。
この二つの内部処理ってどう違うんだろうか？
安い電卓でもちゃんと1になるやつあるからどんな仕組みで計算してるか非常に気になる。 極限の概念を知ってれば
不思議でもなんでもない
高校じゃ極限を習わない？
それは、文部省で勝手にそう決めただけのこと 9÷3なら割り切れる 10÷3だと割り切れない
1つ違っただけなのに 割り切れないとは割り切れない 答えは簡単
同じ３/1のはずが実際は０．３３３・・・より大きいのも小さいのも
混じってたっていうことで、トータルは１ >>483
最初の文字を1秒で書き、2文字目をその半分の時間で書き、3文字目をその半分の時間でと、このルールですべての文字を書くのに何秒かかるでしょう問題だな 昔のパソコンは１÷０と入力すると暴走してたんでしょうか？ 「３分の１センチを定規で測ってください」て言われたら一休さんも困っちゃうよね PCのアクセサリの計算機で1/3で一度エンター押してそれに3かけると
期待はずれの１になったけど >>492
四捨五入ではないか（笑）浮動小数点数とでもいうかｗ 1-0.999....の答えは
0 or 0.000..... 三角定規の角のところをいつまで拡大しても角のままだとしたら
終わりはいつくるのかって考え出して宇宙の果てはどこだみたいなグルグル状態になる
数学難しい >>498
算数の基礎からやり直せってコンピューターに怒られる奴 0を割るなってのと同じで
数学上のルールの話だろ？
まぁそうしなければ何故ダメなのか？って具体的な事は知らん ようは
...てついてるのは数字を表現してるわけじゃないてことなんでしょ 1/3×3 ＝ 1
0.33333…×3 ＝ 0.99999…
∴1/3 ≒ 0.33333…
Q.E.D. >>492
表示桁数を超えた次の桁を4捨5入だか8捨9入の処理をしてるだけでは 0.999…9＝a
9.999…9＝10a
10a−a＝9a＝9
よってa＝1＝0.999…9＝0.999… >>498
コンピュータにはDIVISION BY ZEROというエラーがある。
0で割り算をしようとするとエラーが発生して特別の処理に移るようになってる。 このスレを見て、算数をわかっていないヤツがあまりに多くて驚く。
そもそも、>>1 の桜井ってサイエンスライター自身の答えがあまりよいものではない。
1=0.99999… が正解。
これは1つの値を別の表し方をしているだけ。
1 と 0.99999… が別の数っていうのは、タモリと森田一義は別の人と言っているのと同じ。 計算機オタ教授「パソコンが発生させる乱数くらい嘘くさいものはねえな（真顔）」 こんな初歩的な当たり前の話を何でお前らが熱く語っているのかが、一番の謎なんだが。 要は１を３等分割することは物理的に無理っていう事でしょう。
微分と理屈は一緒。 気持ち的にも割り切れないのは理解出来るがそこは割り切って欲しい 〜は証明されている。したがって〜
なんて何の説明にもなってないと思うのは俺だけ? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
