【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg >>893
これが九進数の五の倍数
0 5 11 16 22 27 33 38 44 50 55
1 6 12 17 23 28 34 40 45 51 56
2 7 13 18 24 30 35 41 46 52 57
3 8 14 20 25 31 36 42 47 53 58
4 10 15 21 26 32 37 43 48 54 60 >>945
だから、この思考実験を無限にやりなよ。
きみらが気軽に扱ってる無限って概念を、この棒を継ぎ足す作業を「無限にやる」ってだけのことじゃん。
この日本語のどこがおかしいの？ >>946
釣りじゃなくほんとに理解できてないのね
左辺に「...」が入った時点で、その棒が接触するかは無関係になる これちゃんとわかってる人でも「わかってない人にわかるように説明する」のはほんと難しいよね
命題の式が小学生レベルのおつむでもギリギリ意味がわかるだけに >>1 「循環小数」「初項」「公比」「等比数列」「無限等比級数」「収束」「巡回数」
って、
国語の時間かよ？
だから数学はキライ。用語自体がどうにも覚えずらくって。 0.999…と無限に9が続いてくから面倒くさいからもう1でええやんって事ですか？ 桁数が有限ならば
一つの数字を表す表記は一通り
ということが成り立つが
桁数が無限だと
その原則が成り立たないことがある
そういうことだろうな
０．９９９９９・・・＝１
とかそれに類似する同一視が必要な場合がいろいろ出てくる >>955
むずかしくないよー
教科書にも書いてあるよー
高校卒業してればみんな習ってるよー 数学の中の哲学的な考えになるから、
証明できるかできないか、だけしか正しいものはない。 >>942
ボールの話は「時間」の問題であって、今回の問題とは違う。
ボールが壁に当たる直前に撮った写真を無限に拡大しても絶対に壁には接触してない。
だけど、ミリ秒とかナノ秒とか時間を進めれば壁に当たるだろね。 >>953
無限に継ぎ足すと天井に届いちゃうから、無限に継ぎ足して届かない棒は存在しない
これが答えなんじゃね？
不思議だが0.9ずつ継ぎ足してるといつか届くんだよきっと 循環小数が何か、についても議論が分かれる。
数学とはそういうもんだ。 >>925
数学で認めている無限とは？ 無限公理の事かな？
きっちりと規定された範囲内にて認めているのであって、
ヘンテコな架空の棒の存在を無制限に認めるようなことはないでしょ。
仮に、その棒の存在を認めても良いのだけど、それはキッチリ1mになってしまうだけで… めんどくさいな
ケーキが本当に3等分されるか？問題はそこだけだ >>953
数学の概念を理解しようとする時に
現実世界の空間を思い描いてる時点でお前の負け
数学的思考力がお前に備わってないだけ >>959
きみはそうやって定義の話に逃げるけど、思考実験をまずやりなよ。
無限回に繰り返す。なぜやらないの。都合悪いの？ お前らが好きな子に「無限回告白したらOKしてあげる」って言われたら
それは「何億回告白してこようが絶対OKしない」ってことだから注意しろよ >>966
分かれないよー
理解できない人が文句いってるだけだよー
それじゃ朝日新聞だよー 1から0．9999999。。。を引き算して差を求めてみたまえ。 >>965
届かないんだよ。
届くためには、棒と天井の隙間と同じ長さの棒を継ぎ足せばいいの。
でも今回はその隙間の9/10の長さの棒を継ぎ足してるの。
だから絶対に届かないの。 >>893
訂正
九進数で10/5をやると1.7171…の循環少数でした >>640
大抵の理系のキモヲタはキャバクラなんて言っても何も話せない >>977
お前は自分で賢いつもりだろうけど
よくある挫折ポイントで挫折してるだけだからな 複数の方法で証明できるのも多いからね。
どっちか一方だけ正しいってより、どっちも正しいって結論になる事もある。 >>970
何度繰り返しても1には届かない、でも無限に続く過程ではどれだけ繰り返したとしてもまだ途中にすぎないわけよ
わかるかな？ >>969
ｗｗｗｗ
思考実験だから、具体的な物に置き換えて表現してるだけだよ？
数学に置き換えればいいじゃん。天井とは棒とかの言葉を取り除いて、数字だけに置き換えて考えてくれてもいいのよ？ ０．９９９９９＝ｘ
が１より小さい数字だとする。
しかし
０．９
０．９９
０．９９９
・・・
とやっていくうちに、いずれ x より大きくなってしまう
つまり 1>x=０．９９９９９９・・・＞０．９９９・・・９９９９＞x
x>x
となって矛盾
よって、x は１かそれ以上にならないといけない。
が、1より大きいこともないので
結局 x は１にならざるをえない >>961
理屈が難しいって言ってるんじゃなくて
理解してない奴に理屈を飲み込ませるのが難しいって言ってるんだけど理解出来てないですね？ >>977
届くんだよ
実際にやってみな
４回目ぐらいでコツンって天井に当たるから >>983
そう、典型のひとつなんだよね
この問題は問題そのものよりも「なぜ一致しないと思うのか」の研究がされてるくらい >>983
相手をディスる方に逃げたら負けですよ。 なんだ数学ちょっとやった奴が寄ってたかって文系にマウントとるだけのスレじゃねーかw
面白くもなんともねーよ
働けおめーら 0.9999...=1
っていうのは
任意に小さい正の数εに対して
あるnが存在して
小数第n位まで9が続く数と1の差が
εより小さいって意味だよー >>977
届かないという結末はいったいいつ訪れるんだい？ >>991
接触しないけど1mに永遠に近づくわけだよ >>812
任意の桁数で切るとその桁数で余りの1が出ると言う事を考慮に入れてないとか、
1/1をわざと0.9と余り0.1、0.99と余り0.01みたいにずらす事で成立してしまう0.9999……とか
そういう次元の話よね このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
life time: 3時間 1分 37秒 5ちゃんねるの運営はプレミアム会員の皆さまに支えられています。
運営にご協力お願いいたします。
───────────────────
《プレミアム会員の主な特典》
★ 5ちゃんねる専用ブラウザからの広告除去
★ 5ちゃんねるの過去ログを取得
★ 書き込み規制の緩和
───────────────────
会員登録には個人情報は一切必要ありません。
月300円から匿名でご購入いただけます。
▼ プレミアム会員登録はこちら ▼
https://premium.5ch.net/
▼ 浪人ログインはこちら ▼
https://login.5ch.net/login.php レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
