【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「－1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1－公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1－1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg 極限の概念を知ってれば
不思議でもなんでもない
高校じゃ極限を習わない？
それは、文部省で勝手にそう決めただけのこと 9÷3なら割り切れる 10÷3だと割り切れない
1つ違っただけなのに 割り切れないとは割り切れない 答えは簡単
同じ３/1のはずが実際は０．３３３・・・より大きいのも小さいのも
混じってたっていうことで、トータルは１ >>483
最初の文字を1秒で書き、2文字目をその半分の時間で書き、3文字目をその半分の時間でと、このルールですべての文字を書くのに何秒かかるでしょう問題だな 昔のパソコンは１÷０と入力すると暴走してたんでしょうか？ 「３分の１センチを定規で測ってください」て言われたら一休さんも困っちゃうよね PCのアクセサリの計算機で1/3で一度エンター押してそれに3かけると
期待はずれの１になったけど >>492
四捨五入ではないか（笑）浮動小数点数とでもいうかｗ 1-0.999....の答えは
0 or 0.000..... 三角定規の角のところをいつまで拡大しても角のままだとしたら
終わりはいつくるのかって考え出して宇宙の果てはどこだみたいなグルグル状態になる
数学難しい >>498
算数の基礎からやり直せってコンピューターに怒られる奴 0を割るなってのと同じで
数学上のルールの話だろ？
まぁそうしなければ何故ダメなのか？って具体的な事は知らん ようは
...てついてるのは数字を表現してるわけじゃないてことなんでしょ 1/3×3 ＝ 1
0.33333…×3 ＝ 0.99999…
∴1/3 ≒ 0.33333…
Q.E.D. >>492
表示桁数を超えた次の桁を4捨5入だか8捨9入の処理をしてるだけでは 0.999…9＝a
9.999…9＝10a
10a－a＝9a＝9
よってa＝1＝0.999…9＝0.999… >>498
コンピュータにはDIVISION BY ZEROというエラーがある。
0で割り算をしようとするとエラーが発生して特別の処理に移るようになってる。 このスレを見て、算数をわかっていないヤツがあまりに多くて驚く。
そもそも、>>1 の桜井ってサイエンスライター自身の答えがあまりよいものではない。
1=0.99999… が正解。
これは1つの値を別の表し方をしているだけ。
1 と 0.99999… が別の数っていうのは、タモリと森田一義は別の人と言っているのと同じ。 計算機オタ教授「パソコンが発生させる乱数くらい嘘くさいものはねえな（真顔）」 こんな初歩的な当たり前の話を何でお前らが熱く語っているのかが、一番の謎なんだが。 要は１を３等分割することは物理的に無理っていう事でしょう。
微分と理屈は一緒。 気持ち的にも割り切れないのは理解出来るがそこは割り切って欲しい ～は証明されている。したがって～
なんて何の説明にもなってないと思うのは俺だけ? ちなみに微分の学習で
つまづく人が多いのは
極限の定義をちゃんとやらずに
あやふやでごまかそうとするから >>426
物理的な意味でならカットした時に削られる面積があるから不可能 >>513
まあ、アスペ風の学生なら
「1=0.99999…と1=0.999…と1=0.9…の違いから説明してほしい」とか
文系ライターを鼻で笑うレベルだなｗ kを無限大にしたときの(1/10)^kが0に収束することをεN論法で示して終わりやろ ここに書き込んでる人たちの殆どが有理数、無理数の定義を知らない、に一票。 0.9999…は数であるが
1/3は概念である。ってのは？ 理解できない人は、おそらく0.99999の先にずっと9が続くイメージで、永遠に1にはならないだろうって考え方なんだろうな。 6センチの棒は2センチずつに三等分出来るのに不思議だってことかな >>274
①はインチキ
x=0.99999・・・として
10x=9.9999・・・と表記していいかどうか飛ばしてる そもそも、議論するべきは、無限小数0.999・・・≒1では無くて、
もともと、1/3≒0.333・・・であり、1/3＝0.333・・・では厳密にはないってこと 計算順と表記方法の違いによっておこるものやね
その違いを計算機上に投影するとその違いが表れ、数学上の真理とずれる 1/a*a = a/a = 1
式の展開知ってたらこういう発想になると思うが >>519
違う。
1/3 の計算が割りきれないのは、人間の指が10本あるから。
あくまでも人間の都合。 >>519
でもなあ、現実では実感できない虚数をつかわないと説明できない物理法則は多いので
なにが現実何だろうって青臭い学生は悩むのね。まあそのうちどうでもよくなるんだろうけどねｗ １と0.9999┄はニアイコールではない
１と0.9999┄は完全にイコール
ニアイコールだったらすき間がある
だが１と0.9999┄の間には全くすき間はない
もしすき間の分の数がεであると仮定しても
そのεより狭いすき間となるような0.99999┄は必ずあるから
どのようなすき間εも仮定できない
したがって１と0.9999┄の間には全くすき間はない
ゆえに１と0.9999┄はニアイコールではなく完全にイコール >>516
世の中の平均はビートたけし先生が理系の天才なんだぞ >>65
10c－c＝9C＝8.9991
ｃ=0.9999
になるんだけど・・・ 数の表記法の問題にすぎんよ
1/3も10進数では0.333…だけど3進数では0.1と表記できる 映画監督 羽仁進先生曰わく。りんごもみかんも一つじゃない。 これは不思議に思ってた
円グラフで表したらきれいに60度ずつになるのに
少数ではなんでそうなるのか 0.333...を1/3に戻してから計算すればよくね？ １と0.9999・・・は少数としての表記は違うが、実数としては同じ
実数とそれを表記する少数表現とが1対1対応していないことが混乱の原因 >>352
それを言いたいだけの記事だけど、逆張りガイジが暴れとるんや >>514
変態物理ヲタ教授「円周率だって、普通に6が6連続並ぶ辺りまで覚えられるしな」 >>532
ていうかそれ、数学的表記じゃないから（笑）外人に見せたら意味が分からないかもしれんしｗ 1=0.99999999
ではない。
1=0.99999999が数学上証明できると言うだけだ。
数値としては別物だ >>534
正解は
有理数を位相的に完備化したもの >>166
厳密には最後の水滴は蒸発して消える。
燃料として消費された訳ではない。 ０．９９９９９９・・・・・・ ＋ ０．００００００・・・・・１ ＝ ０．９９９９９９・・・・・・・・
違和感あるよね >>542
今はハミルトン数の時代なのだ
天才の編み出したものはマジ便利過ぎて驚く あくまでも数学のルールの上で
1=0.99999999が成り立つと言うだけだ。
数学上の問題でしかない >>523
ここでやっと実無限と可能無限が出てきた
ここまで出てこないとは5chはアホばかりだな
高校数学程度の知識でマウント取ろうとしてるバカばっかり >>533
1には限りなく近づくが
永遠にたどり着かない >>492
内部の有効桁数と表示される桁数の違い。
電卓にもよるだろうが、1/3=0.333333333333333となって、これにそのまま３をかけると１になる。
ところが、直接0.333333333333333と打ったあとに３をかけると0.999999999999999になる。
1/3を計算した時、表示されているのは小数点以下１５桁だが、計算機内部では小数点以下の有効桁数は１５より多い。内部では３が１５個以上続いている。
この内部の数字をずっと持っている電卓の場合、それに３をかけると、小数点以下１６桁目も9になるので、１６桁目を四捨五入して、表示されるのは１になる。
実際には内部では1.0000..で小数点以下０が１５個続いているんだが、表示するときはその０は省略されている。
一方、直接0.333333333333333と打った場合、内部でも３は小数点以下１５個しかない。これに３をかけても小数点以下１６桁目は存在しないので、四捨五入はされないので、0.999999999999999になる。 >>555
アニオタ理論物理学教授「わたしは数字が苦手なのでπって覚えてますが」 0.99999…＝１としても何の矛盾も生じないから >>520
一単位の大きさのものを３等分することができるのは自明なのに
1/3は答えが循環少数になるってだけで割り切れないというのは
言葉の綾と言うか表現上割り切れないと言ってるだけとも言えるよな >>1
本来は延々と続いて、計算ができないものをと切るならそうなるだろ 直線の長さなんかもそうだわな
三等分にする以前にその長さを正確に測定することは不可能なんだし これ、俺が高校２年の時に言い出したら、学校中、大騒ぎになったな。
数学の先生も、ちゃんと答えられなかったよ。 >>561
紙を何回か折り畳むと地球から月までの距離の厚さになるって回好きでした sinx=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!+・・・(無限に続く）
cosx=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!-(x^6)/6!+・・・(無限に続く）
e^ix=cosx+isinx 馬鹿の考え休むに似たりという例として教科書に乗せてあげたいほどの馬鹿だな そもそも１を３で割ってもゴールに辿りついてない答えしか出せない
例えるなら小数点以下を切り捨てて正確な答えを出せといってるようなもの
こんなアホみたいな数式をしてる奴はバカ 印度哲学教授「まあ川の流れを3つに切ってほしいとか言われてダムを作ったら決壊するようなものだ。やるだけ無駄だがどうしてもやってしまう。その繰り返しだ」 >>579
それって誤差に目をつむってるだけだろ。
数学の定義とかじゃなくて本当に厳密に考えれば
ニアリーイコールが適切。
数学が、ここをインチキしてるだけだ。 1/3=0.33333333でいいなら3×0.333333=1だろ >>582
高校の数学教師は、大学の数学脱落組だから
高校数学以上のところでヤツラを信じちゃダメだぞ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
