【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「－1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1－公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1－1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg >>684
物理の人が作った
怪しげな数学理論を
数学者が厳密に定式化して
数学が進展することもあるからね >>339
書き込む前に検索してみたら同じ事思った人がいた。 >>707
そういう観点なら
「神様いるかな？いやいや科学的に考えてあり得ない」と思うことが疑いを持ってるわけになるわけで。
科学を持って宗教の矛盾を突くのはとある宗教が教義をもって他宗教を否定するのと形は変わらないよね。
あ、こじれるまえに先に言っとくけど俺はバリバリの理系だからねｗ 割り切れていないから
ずっと次の桁が出てくるのに
= で纏めようとするのが問題
あくまで近似値取ってるだけ
循環以外でも、累乗根や円周率でも次が出てくるのにそっちは無視 つまり無限に続けば結局0.99・・・・は1とほぼ等しくなるよ（収束）って事でしょ？
難しく考える必要あるのかね？ >>1
アホな話だわ。循環小数という表現が分かって無い。
循環小数として表現した「0.333333.....」は、その意味するところは
１／３と同じだ。 だから、１ × 1/3 = 1となる。
だから、その表記が間違ってる。 循環する部分の上にドットを付けて
０．３＾ のような表現にしないとダメだ。 循環小数の正しい表現を
知らないアホの疑問だね。 >>674
これが正解
１を３分割した数字の３倍は１を３分割した数字を１を３分割した数字で割るのと同じだからな >>724
まあエンジニアが試行錯誤で作り上げた機械の作動原理を物理学者が華麗に説明するなんてのもある。
そういう入れ子になってるのさｗ なんで高校でやるレベルの数学でこんなに分かんない奴いるの？
高校進学率って９割以上だよね？ >>729
いや違う
収束しないから考えても無意味よってこと
計算がしたいなら近似しかない >>719
それしか表示する方法がないから便宜上そう表示してるだけで自動的に切り捨てられてるだけだろ >>19
1に対する1/3が割り切れないってだけで、3に対する1/3は1だからね。 >>695
多数決は利害関係を取りまとめとめる力を持つものが勝つ仕組みでしょ
教育とかその場のルールでも誘導されるものだし >>728
日常生活ではこれでいいよねw
そしてナイフについたクリームはすでに食べてしまったので二度と1には戻らない >>696
頭の大丈夫具合には自信ないけど、ちょっと面倒臭い
直径が引っかかるなら面積で良いけど、4cm(単位はどうでもいい)を三等分は出来るけど、その面積を正確な値として出すことは出来ないよねって意味 >>727、100°の角Aを才寺つ二等辺三角形が在ったとして、その角Aの向かいイ貝リに在る
長辺の長さは3.0cmぴったりだとしましょう( ＾ω＾)ｗ
長辺に1.0cmごとに点を才丁ち、角Aの点からそこに直糸泉を引いた場合、角Aは3当分され
るんだけど、その角Aを3当分した角度を数字で表すと、どー成るのかしらん？(＾∀＾)プケラｗｗ
33.33333・・・°は100/3°って事がこれで糸内得出来ると思うけど⊂( ＾ω＾)⊃ブゥーンｗ
イ也に反論在るかしらん？( ´,_ゝ｀)プッｗｗ
ぷぎゃｗｗｗ >>686
確かに3ぶんの1は3を1で割った数だけど
3を1で割ると0.33333.....なのも確か
確かな物同士はイコールでしょ >>729
ほぼ等しいの？
完全に等しくなるって教わったような 9進数だと1/3=0.3だからな何の意味もない議論だ >>721
そもそも三等分したケーキを
キッチリ数学的に元に戻さざるを得ないシーンがあるのか、
どういう意図や状況でそうなったのか、
それを考えることに思考を巡らすのが一般人だ。
例え問題は本当にめんどくさい。 基本的に数学教師は教え方が下手くそ
まあ数学語で理解させようとするからしょうがねえか >>734
うん、だから結局無限の計算はできないし無限にしたところで
結果が大きく変わるわけでも無いからそうなるって事でしょ。
ここでいう収束はあくまで近似になるってことで。 >>1
え？なんで謎なの？
３分の１と0,3333…は同じではないから答えも違うんじゃなくて？
どういうこと？ 無限小数「…」と三点リーダー「...」って同じか？
それと>>1は…(無限小数)だから＝で良いけど、
有効数字何桁とか、…(無限小数)でなかったら≒を使うんじゃないの？ 0.333・・・×3
が1になって当然だと
パヨク（ゴキブリ在日韓国人）
でも分かるように説明するのは
非常に困難です 中学校で教えてなくても、自前でプログラミングの勉強すると、
まずこの丸め誤差が出てくるよね。
２０２０以降小学生からプログラミングの授業があるとすると
これ小学校でも教えるんかな。 高校レベルの数学で理解できるだろ
というか大学受験の基本だろ
a=0.9999999…(無限に続く)
a=9/10+9/100+9/1000+…9/10^n…(無限に続く)①
①の両辺に10をかける
10a=9+9/10+9/100+9/1000+…9/10^n…(無限に続く)②
両辺で②から①を引く
9a=9
a=1
これで納得いかないならそれはお前の知的レベルの限界
高校中退レベル 1/3を計算したら余りの1がずっと右に繰り越されるけど、
0.3333333…*3をしても、3*3なんだから1は左に繰り上がらないだろ？
ただそれだけの事だ >>742
完全一致にはならんでしょ。無限に9が続くのみ。
でもそんなの誤差以外の何物でもないって話。 >>758
だから一致してるんだよ
数学の勉強ちゃんとしてないんだったら発言しなくていいよ >>738
鉄工の加工とかもそうだよ。
これを間違えたら怒られるどころではなく売り物にならないからね。 割り切れない分数にしろ、πのような無理数にしろ
小数で表現できる特定の数に収束することは無いよ。
割り切れない分数なら、２つの整数の組み合わせで表現できるが
πのような無理数はそれさえ出来ない。 仮想的にπという文字で
表現するしか無いし、はるか先がどういう少数の並びになってるさえも
分からん。 云えるのは、ある特定の実数を超える事は無いということ
ぐらいだね。 最高の最高学府たる最高の学部の喫煙室にて
理学部教授「プレジデントって雑誌はどこに売ってるんだっけか（鼻ホジ）」
工学部教授「東海道新幹線のグリーン車に無料でおいてある奴じゃね（鼻ホジ）」
医学部教授「エグゼクティブ狙いのアレか！っていうか違うんじゃね？」
文学部教授「いや中小企業の社長向けじゃないのか？（真顔）」 >>754
それ、2進数でやると面白いことになるな(´・ω・｀) >>744
つまり元に戻すなどということは非論理的だから考えてもどうしようもない
そこが一般人のたどりつく論理的回答なのだ >>758
1-0.99999999.....で0以外の桁が出てくるか？
つまり差は0で完全一致だ >>1
計算では2.9999999999……になって
そこから導かれる答えが「保母さん」って、なぞなぞが昔、あった >>759
それは見解の相違でしょ。
誤差は一致だと判断するか、誤差は誤差と判断するかの違い。
厳密に言えば一致ではないことくらい理解できるよね？ 1/3≠0.333…と仮定すると、1/3-0.333…=aなる0<aが存在する。
ここで、あるn桁小数0.333…3をとれば、a>1/3-0.333…3。
すると0.333…3<0.333…より、1/3-0.333…=a>1/3-0.333…3>1/3-0.333…であるから、
1/3-0.333…>1/3-0.333…となり矛盾。
よって、1/3=0.333…□ >>739
そのための分数や循環小数表記だろ
1.3（3の上に・）=4/3
アホすぎる 酒の席でこんな話をして盛り上げられる自信はないわ…
学者仲間とかなら盛り上がるのかもしれないが… >>763
なぜそうなるのか、の話をしているんでしょう 1/3の計算は最初からできるけど、
0..3333333…を使った計算は、0.333333･･･をどこかの桁から始めないと無理なんだよ。 アキレスとカメの話だな
【話を知らない人用】
カメが歩いてる。アキレスがその後方から歩いて来る。
やがてアキレスとカメの距離が最初の半分になる。(ムフフすぐ追い越すから)
やがてアキレスとカメの距離が最初の四分の一になる。(ムフフもうすぐ追い越すぜ)
やがてアキレスとカメの距離が最初のハ分の一になる。(さあ、もうすぐ追い越す！)
やがてアキレスとカメの距離が最初の十六分の一になる。(追い越すから、見てろ！)
やがてアキレスとカメの距離が最初の三十二分の一になる。(アレ？なんかおかしいぞ)
・・・
やがてアキレスとカメの距離が最初の二百五十六分の一になる。(クッ)
・・・
やがてアキレスとカメの距離が最初の六万五千五百三十五分の一になる。(と、届かない！)
・・・
なんと足の速いアキレスがカメを永久に抜けないではないか
と昔のギリシャ人は悩んだ >>768
0.9999999999999…（無限小数）と1のどこに誤差があるのかね？
もし0.999999999999（無限小数）が1よりも小さいのなら
ではそれがどのくらいの小ささなのか
数学的におおまかに評価してもらえるかな
ちゃんと勉強してないことを無手勝流で語るのはやめような。
そういうのが高じると角の三等分屋になってしまう >>778
ちょっと誤記しちゃった
2行目の0.9999999には…がつく 対象を完全に分けることはできない。必ず微細に片寄る。微細に片寄らないと完全ではない。というところか。 １って書くから紛らわしい。
1.00000・・・ ＝ 0.99999・・・
って書けば、納得でき・・・・ねーな。 0.333... x 3 = 1であって、
0.333... x 3 = 0.999... が間違い 1と0.9999…が違うことの証明は、
大きいと思う方から小さいと思う方を引けばいいのさ
差があれば必ず、ゼロじゃない数になる
好きなだけ繰り下げていいぞ >>1
2進数、8進数、10進数、12進数、16進数で割り切れないなら3進数を作って割ればいい >>185
天動説と地動説みたいなもんか
その時持ちうる叡智で最も納得が出来る答を導き出せる手段の一つに過ぎないって事ね >>778
逆に尋ねたいけど、
１ｍの天井に、めっちゃ近いけど絶対に接触しない棒の高さは？
やっぱり0.99999999999・・・ｍって書くことになるんじゃね？
でも絶対に天井に接触しないんだぜ？ 記号論理学者「表記が違ってる似た者同士ってのは似てるだけで違うんですよ」 >>770
解った解った、君ので正しいよ
こっちが基準としてた論点が10進数の整数や少数で割り切れる値だったから噛み合わないんだわ
そりゃ1/3どころか何でも値求められるよな 文系の中でも底辺が無意味に表記に拘ってるだけじゃん >>789
結局>>420の面積や体積を正確に求められない要素を全く説明出来ていない 1＝0.999・・
ってことでしょ。ちょっと考えれば分かるよね >>762、プレジデントって、言正才処の無い主弓長ばかりで、まるで言正日月が出来て無い
のよねえ( ＾ω＾)ｗ
殆ど捏造研究員、小イ呆方の演説レベル(＾∀＾)プケラｗｗ
禾ムはそんなのより、PDFの論文集めてるわ⊂( ＾ω＾)⊃ブゥーンｗ
言正才処にイ衣って内容の才旦イ呆され無い主弓長は王里由の無い牛勿で在り、役立た
ずなので全却下( ´,_ゝ｀)プッｗｗ
ぷぎゃｗｗｗ >>763
0.33333333333に3を掛けても１にならへんで
つまり電卓のプログラムも1/3と0.3333333333は別物として処理してるってことだろ >>793
俺がちょっと考えると >>787 になるんだが。 0.1111111…*3*3 で 1 になると思うか？
これを証明できるか？
0..99999…＝1 を証明できるだけの話だぞ。
だから0.999…って1でよくね？ってだけの事だぞ >>792
面倒くさそうな人だな…
そんなバカにせずに分かりやすくあなたが説明すれば良いんじゃね？
おれには話が噛み合ってないように見えるけど >>723
あれですごいなら数学科の学生みんな天才やで >>795
それは0.33333333333だからだな
0.3333333333…なら1になる めんどくさいことはちっともわかんないけど面白いなあ
俺は↑これでいい 1と0.999…は違うんだけど、
数学上1と0.999…を同じに扱う事もできるよってだけだ >>766
そう
1-0.999…を何桁でも納得するまで計算してもらうのが一番分かりやすい >>797
一休さんなら「まずその0.11111・・・がどういう数なのか定義をお教えください」って言うだろな。 2つを引き算してみればいい。答えはゼロで同じものだから。 子供の頃いつか１になると信じて帳面にぎっしり0.9999を書き込んだわ >>1
俺は馬鹿だから1/3＝0.33333……とか書かれてもわからんわ
けど、1/3ってのは1を3で割った数ってことならわかる
1を3で割った数を3倍すりゃ1に決まってるんだから
>>1の頭が悪いだけなんじゃねーの？ >>782
１を３分割した数字が0.33333333333････････だから
0.3333333333･･････････の３倍は絶対に１になる数字の事
つまり1/3÷1/3＝１ >>84
無限の桁数である循環小数の0.33333...と有限の桁数で表す0.3333（任意の桁数）はイコールじゃないってことだろ キチガイ教育の被害者のゆとり「円周率は３だよ！(^｡^) >>676
10進数だから割りきれないだけで
３進数だったら割りきれる
何進数でやろうが計算結果は変わらないはずなのにこれはおかしい
（コンピュータは2進数でやってるが10進数と計算結果は同じ）
つまり「割りきれない」数などない 竹永有佳里
d.kuku.lu/825c5708d1
ja-jp.facebook.com/yukari.takenaga
港区の居酒屋で無銭飲食されて困っています。 >>787
仮にそのような棒が存在すれば、ある0<aに対して天井と棒の間にaだけ隙間が空く。
すると、その棒の長さは、あるn桁の少数0.999…9m以下となる。
これは、0.999…mよりも短い棒であり、矛盾。
すなわち、天井に接触しないような、0.999…mなる棒は存在しない。
（存在するなら、それは1mの棒であり、天井に接触してしまう） ふむ、
0.99999…＝1
になる理屈は解った。
でも0.99999…という表現は使う意味が無いし誰も得しないな。 ＞という質問をよく受ける。
ここから嘘。
誰がそんな質問するんだよ。しかもよくって >>805
逆に言うと、一致してないから「何桁までも」計算を続けられるんじゃね？
一致する数なら一発で計算終わるでしょ。 >>787
接触ってせいぜい分子の大きさレベルの話だから、
0.99999999999999m位の有理数では？ 1=0.9999... の右辺を移行すると
1 - 0.9999... = 0.00...
0が永遠に続くから0 と考えたんだけど間違ってる？ ３つのミカンを３人で分ける場合
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