【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg 酒の席でこんな話をして盛り上げられる自信はないわ…
学者仲間とかなら盛り上がるのかもしれないが… >>763
なぜそうなるのか、の話をしているんでしょう 1/3の計算は最初からできるけど、
0..3333333…を使った計算は、0.333333･･･をどこかの桁から始めないと無理なんだよ。 アキレスとカメの話だな
【話を知らない人用】
カメが歩いてる。アキレスがその後方から歩いて来る。
やがてアキレスとカメの距離が最初の半分になる。(ムフフすぐ追い越すから)
やがてアキレスとカメの距離が最初の四分の一になる。(ムフフもうすぐ追い越すぜ)
やがてアキレスとカメの距離が最初のハ分の一になる。(さあ、もうすぐ追い越す！)
やがてアキレスとカメの距離が最初の十六分の一になる。(追い越すから、見てろ！)
やがてアキレスとカメの距離が最初の三十二分の一になる。(アレ？なんかおかしいぞ)
・・・
やがてアキレスとカメの距離が最初の二百五十六分の一になる。(クッ)
・・・
やがてアキレスとカメの距離が最初の六万五千五百三十五分の一になる。(と、届かない！)
・・・
なんと足の速いアキレスがカメを永久に抜けないではないか
と昔のギリシャ人は悩んだ >>768
0.9999999999999…（無限小数）と1のどこに誤差があるのかね？
もし0.999999999999（無限小数）が1よりも小さいのなら
ではそれがどのくらいの小ささなのか
数学的におおまかに評価してもらえるかな
ちゃんと勉強してないことを無手勝流で語るのはやめような。
そういうのが高じると角の三等分屋になってしまう >>778
ちょっと誤記しちゃった
2行目の0.9999999には…がつく 対象を完全に分けることはできない。必ず微細に片寄る。微細に片寄らないと完全ではない。というところか。 １って書くから紛らわしい。
1.00000・・・ ＝ 0.99999・・・
って書けば、納得でき・・・・ねーな。 0.333... x 3 = 1であって、
0.333... x 3 = 0.999... が間違い 1と0.9999…が違うことの証明は、
大きいと思う方から小さいと思う方を引けばいいのさ
差があれば必ず、ゼロじゃない数になる
好きなだけ繰り下げていいぞ >>1
2進数、8進数、10進数、12進数、16進数で割り切れないなら3進数を作って割ればいい >>185
天動説と地動説みたいなもんか
その時持ちうる叡智で最も納得が出来る答を導き出せる手段の一つに過ぎないって事ね >>778
逆に尋ねたいけど、
１ｍの天井に、めっちゃ近いけど絶対に接触しない棒の高さは？
やっぱり0.99999999999・・・ｍって書くことになるんじゃね？
でも絶対に天井に接触しないんだぜ？ 記号論理学者「表記が違ってる似た者同士ってのは似てるだけで違うんですよ」 >>770
解った解った、君ので正しいよ
こっちが基準としてた論点が10進数の整数や少数で割り切れる値だったから噛み合わないんだわ
そりゃ1/3どころか何でも値求められるよな 文系の中でも底辺が無意味に表記に拘ってるだけじゃん >>789
結局>>420の面積や体積を正確に求められない要素を全く説明出来ていない 1＝0.999・・
ってことでしょ。ちょっと考えれば分かるよね >>762、プレジデントって、言正才処の無い主弓長ばかりで、まるで言正日月が出来て無い
のよねえ( ＾ω＾)ｗ
殆ど捏造研究員、小イ呆方の演説レベル(＾∀＾)プケラｗｗ
禾ムはそんなのより、PDFの論文集めてるわ⊂( ＾ω＾)⊃ブゥーンｗ
言正才処にイ衣って内容の才旦イ呆され無い主弓長は王里由の無い牛勿で在り、役立た
ずなので全却下( ´,_ゝ｀)プッｗｗ
ぷぎゃｗｗｗ >>763
0.33333333333に3を掛けても１にならへんで
つまり電卓のプログラムも1/3と0.3333333333は別物として処理してるってことだろ >>793
俺がちょっと考えると >>787 になるんだが。 0.1111111…*3*3 で 1 になると思うか？
これを証明できるか？
0..99999…＝1 を証明できるだけの話だぞ。
だから0.999…って1でよくね？ってだけの事だぞ >>792
面倒くさそうな人だな…
そんなバカにせずに分かりやすくあなたが説明すれば良いんじゃね？
おれには話が噛み合ってないように見えるけど >>723
あれですごいなら数学科の学生みんな天才やで >>795
それは0.33333333333だからだな
0.3333333333…なら1になる めんどくさいことはちっともわかんないけど面白いなあ
俺は↑これでいい 1と0.999…は違うんだけど、
数学上1と0.999…を同じに扱う事もできるよってだけだ >>766
そう
1-0.999…を何桁でも納得するまで計算してもらうのが一番分かりやすい >>797
一休さんなら「まずその0.11111・・・がどういう数なのか定義をお教えください」って言うだろな。 2つを引き算してみればいい。答えはゼロで同じものだから。 子供の頃いつか１になると信じて帳面にぎっしり0.9999を書き込んだわ >>1
俺は馬鹿だから1/3＝0.33333……とか書かれてもわからんわ
けど、1/3ってのは1を3で割った数ってことならわかる
1を3で割った数を3倍すりゃ1に決まってるんだから
>>1の頭が悪いだけなんじゃねーの？ >>782
１を３分割した数字が0.33333333333････････だから
0.3333333333･･････････の３倍は絶対に１になる数字の事
つまり1/3÷1/3＝１ >>84
無限の桁数である循環小数の0.33333...と有限の桁数で表す0.3333（任意の桁数）はイコールじゃないってことだろ キチガイ教育の被害者のゆとり「円周率は３だよ！(^｡^) >>676
10進数だから割りきれないだけで
３進数だったら割りきれる
何進数でやろうが計算結果は変わらないはずなのにこれはおかしい
（コンピュータは2進数でやってるが10進数と計算結果は同じ）
つまり「割りきれない」数などない 竹永有佳里
d.kuku.lu/825c5708d1
ja-jp.facebook.com/yukari.takenaga
港区の居酒屋で無銭飲食されて困っています。 >>787
仮にそのような棒が存在すれば、ある0<aに対して天井と棒の間にaだけ隙間が空く。
すると、その棒の長さは、あるn桁の少数0.999…9m以下となる。
これは、0.999…mよりも短い棒であり、矛盾。
すなわち、天井に接触しないような、0.999…mなる棒は存在しない。
（存在するなら、それは1mの棒であり、天井に接触してしまう） ふむ、
0.99999…＝1
になる理屈は解った。
でも0.99999…という表現は使う意味が無いし誰も得しないな。 ＞という質問をよく受ける。
ここから嘘。
誰がそんな質問するんだよ。しかもよくって >>805
逆に言うと、一致してないから「何桁までも」計算を続けられるんじゃね？
一致する数なら一発で計算終わるでしょ。 >>787
接触ってせいぜい分子の大きさレベルの話だから、
0.99999999999999m位の有理数では？ 1=0.9999... の右辺を移行すると
1 - 0.9999... = 0.00...
0が永遠に続くから0 と考えたんだけど間違ってる？ ３つのミカンを３人で分ける場合
どう分けたらいいか困るよな >>763
電卓で1になるのは、
計算する小数の末端（電卓ごとの末端の桁）を四捨五入してるからなんだよね。
12桁とかだから、0.66666666667+0.333333333333とかになってる。 そもそも分数の割り切れない香具師は整数で表せない数ってだけ
それお理解できず同じネタが何百年も繰り返される >>792
10進数なら割り切れなくて循環小数になる事『も』あるから不可能な『ケースも』あるよねって言いたかっただけ
そこに分数とか入れだしたら可能というか、分数が生まれたのがソコなんだから
だからソレ言い出したら分数で答えが出るってのは正しいよって言ってるやん
>>798
ゴメンな、なんか巻き込んで 数学って数字がキモなんだから0.9999999....を1にしちゃダメだと思う >>823
俺様が全部もらう
残り二人はなし
はい解決 >>831
ダメっていっても同じものは同じなんだからどうしようもないだろ >>831
いや0.99999…＝1だよ間違いなく >>825
頭ではわかってても心の中では割り切れないんだろうな >>831
0.999...に1にしない体系の方が遥かにまかりにくく不便なことは証明されている うんと小さい桁までいったら違う理論の世界になるから必ず1になるんだよ
ほらクォークらスピンしたら振る舞い変わっちゃうじゃん？
その時に0.9999････が1.0000････になるんだよ 計算機の丸め方の問題だな
関数計算機の頭が堅い(正確性のみを目指したタイプ)だと
故意に丸めないので、循環小数は残ったままになる
Hewlett Packard製に多い
CasioやTI製だと、見やすさを求めているので
丸めて表示するし、分数を理解する機能がついたものは選べる
初めて見た人は当惑するかもっていう程度 どんなに説明受けても 納得できない人は納得しない
一度脳内に「違う」というイメージができてしまうと正しい説明聞いても受け入れられないみたい
モンティホール問題とも同じで わからない人は生涯わからない 0.999...が「動いているもの」に見えてる人はもう無理 >>831
数学のキモは理論なんだから10進表現の罠なんかに嵌ってたらダメなんじゃないの？ どこかの桁で切り落として、端数は儲けみたいなビジネスないかなー？ 0.33333...＝1/3なら
0.99999...＝1だろ 元になるものから10％を引いて、引かれた元に10％乗せても、元の値にならない方が謎 一本の棒を現実に三等分することはできるが、
デジタル数字の世界では
表現が０．３３３・・・となるだけのこと。
現実に可能な3等分を、再び寄せ集めれば、一本になるのも、
わかりきったこと。
原因は数字というデジタルな表現方法にある、ということです。 >>831
円周率をπだの色んな数字をxだのyだのにしたりむしろ数字めんどくせって学問じゃね？ 1で引いてみ
永遠に0だから
つまり1と等しいってことになる >>839、0.99999・・・が1.0とイコールで在ると言うのは、丸め方とかの問題じゃ無いんだけど( ＾ω＾)ｗ
丸めて居るのでは無く、実際問題として数学上はそうなのよ(＾∀＾)プケラｗｗ
無限に近いのだから、0.9999・・・と1.0の間は無限に小さい、つまり0その牛勿と言う事⊂( ＾ω＾)⊃ｗ
数字の0の発日月って言うのも色々と牛勿言吾が在るけど、それはまあ害リ愛するわ( ´,_ゝ｀)プッｗ
ぷぎゃｗｗｗ 代表的なデマ
・限りなく近いけど1じゃないよ
・イコールじゃなくて「≒」だよ
・誤差だよ
・1より小さいうちで最も大きい数だよ
・ほんとは異なるけど10進法の限界でこうなるよ >>845
1-1/10=0.9
0.9+0.9/10=0.99 記事元がプレジデントオンラインで笑った
迷走しすぎだろ 円周率＝3.14・・・を見て
円周率が3.14ぴったりだと言う奴はいないと思うんだが、
1÷3＝0.333・・・を見て、1÷3が0.333だと思う奴がいるのはなんでだろう
0.999・・・を0.999だと思う奴がいるのはなんでだろう
教え方がまずいのか >>545
まるでビートウサギが世界みたいな話ですね 2進法にも少数の限界があるように10進法にも少数の限界があるなら、
今新しい数表記とか作られたりしてるの？ >>831
じゃあ0.33333...も1/3にしちゃダメだろ
0.33333.../1じゃん 長さ10cmの物を完璧に3等分するのは無理なんだけど
それの重さが3kgだったら重さでは等分することが出来る 「...」という記号がlimを内在してることに気付けないと、いつまでたっても左辺が「動いているもの」から脱却できない そういえば1m先の壁にボールを投げるとわかるって高校の先生が言ってたわ
壁につく直前は0.9999…mでギリギリを観測し続けると0.9999…が無限に続くけど、
それでもいつかボールは壁に当たるって >>817
こういう棒なんだよ。
0.9mの棒に「最後の棒の1/10の長さの棒」を継ぎ足してるの。
すなわち、２本目は0.9m/10=0.09m
２本合わせて0.99m。
当然絶対に１ｍの天井に接触するわけないよね？
さらに３本目の長さは0.09m/10=0.009m
３本合わせれば、0.999m。
でも当然１ｍの天井には接触しない。
さぁこれをずーっと繰り返したら、１ｍの天井に接触するのかい？ >>845
1000×10%=100
1000-100=900
900×10%=90
900+90=990
ああ面白いね
これがマイナスの性質だということがわかる 0.33333≠0.33333...
まずこの説明からだな。
次に、
1≠0.99999
0.99999≠0.99999...
1=0.99999... ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
