【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「－1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1－公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1－1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg 0.999...が「動いているもの」に見えてる人はもう無理 >>831
数学のキモは理論なんだから10進表現の罠なんかに嵌ってたらダメなんじゃないの？ どこかの桁で切り落として、端数は儲けみたいなビジネスないかなー？ 0.33333...＝1/3なら
0.99999...＝1だろ 元になるものから10％を引いて、引かれた元に10％乗せても、元の値にならない方が謎 一本の棒を現実に三等分することはできるが、
デジタル数字の世界では
表現が０．３３３・・・となるだけのこと。
現実に可能な3等分を、再び寄せ集めれば、一本になるのも、
わかりきったこと。
原因は数字というデジタルな表現方法にある、ということです。 >>831
円周率をπだの色んな数字をxだのyだのにしたりむしろ数字めんどくせって学問じゃね？ 1で引いてみ
永遠に0だから
つまり1と等しいってことになる >>839、0.99999・・・が1.0とイコールで在ると言うのは、丸め方とかの問題じゃ無いんだけど( ＾ω＾)ｗ
丸めて居るのでは無く、実際問題として数学上はそうなのよ(＾∀＾)プケラｗｗ
無限に近いのだから、0.9999・・・と1.0の間は無限に小さい、つまり0その牛勿と言う事⊂( ＾ω＾)⊃ｗ
数字の0の発日月って言うのも色々と牛勿言吾が在るけど、それはまあ害リ愛するわ( ´,_ゝ｀)プッｗ
ぷぎゃｗｗｗ 代表的なデマ
・限りなく近いけど1じゃないよ
・イコールじゃなくて「≒」だよ
・誤差だよ
・1より小さいうちで最も大きい数だよ
・ほんとは異なるけど10進法の限界でこうなるよ >>845
1-1/10=0.9
0.9+0.9/10=0.99 記事元がプレジデントオンラインで笑った
迷走しすぎだろ 円周率＝3.14・・・を見て
円周率が3.14ぴったりだと言う奴はいないと思うんだが、
1÷3＝0.333・・・を見て、1÷3が0.333だと思う奴がいるのはなんでだろう
0.999・・・を0.999だと思う奴がいるのはなんでだろう
教え方がまずいのか >>545
まるでビートウサギが世界みたいな話ですね 2進法にも少数の限界があるように10進法にも少数の限界があるなら、
今新しい数表記とか作られたりしてるの？ >>831
じゃあ0.33333...も1/3にしちゃダメだろ
0.33333.../1じゃん 長さ10cmの物を完璧に3等分するのは無理なんだけど
それの重さが3kgだったら重さでは等分することが出来る 「...」という記号がlimを内在してることに気付けないと、いつまでたっても左辺が「動いているもの」から脱却できない そういえば1m先の壁にボールを投げるとわかるって高校の先生が言ってたわ
壁につく直前は0.9999…mでギリギリを観測し続けると0.9999…が無限に続くけど、
それでもいつかボールは壁に当たるって >>817
こういう棒なんだよ。
0.9mの棒に「最後の棒の1/10の長さの棒」を継ぎ足してるの。
すなわち、２本目は0.9m/10=0.09m
２本合わせて0.99m。
当然絶対に１ｍの天井に接触するわけないよね？
さらに３本目の長さは0.09m/10=0.009m
３本合わせれば、0.999m。
でも当然１ｍの天井には接触しない。
さぁこれをずーっと繰り返したら、１ｍの天井に接触するのかい？ >>845
1000×10%=100
1000-100=900
900×10%=90
900+90=990
ああ面白いね
これがマイナスの性質だということがわかる 0.33333≠0.33333...
まずこの説明からだな。
次に、
1≠0.99999
0.99999≠0.99999...
1=0.99999... >>854
無限に続くということの理解ができていないということだろう >>842
そうだよなあ。
三進数なら有効桁内で割り切れる。 高卒の俺でもスレタイだけで別に謎じゃないのが理解できる >>865
0.999... とは「その棒が近付いていく長さ」を表すので、1と完全に等しい >>854
円周率も計算していく途中で、3.14ピッタリだと思い込む人は多いよ。
無理数は虚数よりも理解が難しいと思う。 でも
-33333333333
とか
動いているものに見えるじゃん
8888888とか動くものって認識してんじゃん >>868
字面のどこにも謎なんてないだろｗ
元の1割と減ったものの1割が違うなんて当たり前だろ >>875
接触するのかい？と聞いてるんだけど。
物理的に絶対に接触しない手順ですよ？ 0.33333x3+0.00001だろ
余りを捨てるなボケ >>878
接触するのかい？って聞いてるの。
絶対に天井に届かない長さを継ぎ足してるんだよ？ >>865
その棒は0.999……999mの長さの棒であって0.999……mとは別なんじゃないの？ >>882
接触しないよ
でもいくらでも近付けられる
その「いくらでも近付く先」を表すのが「,,,」記号なので、接触する必要はない >>884
逃げちゃだめ。
思考実験に限界はない。 >>889
接触しないということは、１ｍの天井よりも棒は短いってこと。つまり１ｍではない。 ちなみに九進数で10/5をやると1.737373…で循環する >>891
だから無限回やりなよ。絶対に接触しないから。 そもそも10進数にこだわってるからあかんのちゃうん 無限大は数ではないので「無限回」という表現も間違い
極限を理解した上での一種の比喩としてならアリ >>862、そーよね( ＾ω＾)ｗ
まあ、極限と収束にイ寸いては、.既に>>414で重カ画イ寸きで解説したけど(＾∀＾)プケラｗｗ
0.99999・・・が1.0とイコールと言うのは、近イ以イ直では無く、厳密解なのだと言う事を覚
えて貰わ無い事には、言舌が先に進ま無いのよねえ⊂( ＾ω＾)⊃ブゥーンｗ
イ可か四貝リ言十算を覚えられ無い人が三角関数に才兆戦するカンジ(＾∀＾)ケラケラｗｗ
そんな初心者のチュートリアル・レベルの事はさっさとクリアして貰わ無いと、もっと深い
言舌に成ら無いイ牛( ´,_ゝ｀)プッｗｗ
ぷぎゃｗｗｗ
数学Ⅰ基礎講座「三角比の起源と拡張」
https://www.youtube.com/watch?v=d7ttlrHQxKQ 散々既出だけど
アキレスが永遠に亀に追いつけない世界の住人が世の中には結構いる
現実には追い付くということがわかっているのに 文章で説明されたら納得しない
人間の脳って不思議 >>865
その棒は永遠に天井に接触しないけど、近づいていく長さは1であって、それこそが0.99999…と同じ
棒の長さは0.99999…より短い >>787
それは有限であることが条件。
無限に9を続けたら、接触してまうがな。 0.9999...=Aとする。
両辺に10をかける
9.999...=10A
よって、9=9Aなので、A=1
すなわち、0.9999...=1 >>887
0.999……999mの棒にその先端の棒の1/10の長さの棒をさらに継ぎ足していくんだよ。
どこかで継ぎ足すのをやめるとは言ってない。 >>895
数値ってものがデジタル（離散値）で表現されてるから
何進法でもつきまとうよ >>892
「つまり」以下が前段と繋がらない
「...」記号を含む左辺は棒の長さそのものではないから
それが理解できないと、どこまで行っても屁理屈か言葉遊び
例え話じゃなくて論理的な反論を 昔、某数学掲示板に長年の疑問を書いた時のことを思い出した。
長方形の一片の長さがAとBであるとき、対角の長さをCとするとC=sqrt(A^2+B^2)
しかし、C=(A/∞+B/∞)と表面上の相違を見つけられないので、数学的に説明してくれ
ベストアンサーは「長さを持たない線分は存在しない」だった。 >>1
酒の席でこんな計算はできん
割り勘でもいつも損してるのに >>865
うん、その無限回繰り返すという行為をだな、有限時間内に完了させて一本の棒が完成すれば君の言う通り。
でもそんな事できないでしょ？ だから、そんな棒は存在しないし、架空のお話だという事なんだよね。
数学の話題に、存在しない架空の棒を例に出されてもな～。 79.012345679012345・・・(循環小数)
の平方根は8.888888888・・・・ >>906
有限回なら、
x < 1
でも、無限回になったら等号が付いて
x ≦ 1
となる。これは、有名な数学公式。
高3で習うよ。理系なら >>905
この証明は簡易的にはアリなんだけど
辺々引き算するところで「加減算と極限操作の順序」を入れ替えているので厳密ではない >>904
しないよ。
１ｍの天井より０．９ｍの棒の方が短い。
その届かない隙間の０．１ｍより短い０．０９ｍを棒に継ぎ足してもまだ天井には届かない。
その届かない隙間の０．０１ｍより・・・
をずっと繰り返すのが「９を続ける」って意味になるんだろうけど、
当然、１ｍの天井には届かない。 >>913
ゼロ除算とかいうやつは∞は考慮に入れてんのかね？ >>916
じゃあ
0.9999999999・・・×10=9.999999999・・・
じゃなくね >>915
数学に「無限」を認めておいて、
思考実験に無限を認めないのはずるくない？ 極限値という概念が無かったら微積学は生まれなかったからな
知能では理解できない不思議なところに数学の奥深さがある
そこを閃いて学問に変えられる奴が天才 この場合は アイザック
ニュートンだねぇ～♬ 高校の時のなんかの本で読んだわ マジレスはすかんけど、マジレスすると可能無限と実無限を混同して矛盾が出る。
0.9999…を可能無限と考えると永遠に１に近づくが１にはなれない、となる。
大昔はそういう考えだった。カントールは実無限を考えた。
その場合0.999…はそっくりそのまま「１」となる。 12÷3=4
4×3=12
はい終了
10進数が3の倍数じゃなかったから割りきれなかっただけ >>909
自分の書いた文章には、一切屁理屈も言葉遊びもない。ごく簡潔な論理しか示してないが。 これ確率測度空間なら∞も値とみなすから
確率論で説明できるかも～ >>918
大学生にもなって理解してない奴がいるってことね
高校で習うでしょ だれも１ｍの天井の話に簡潔な答えが出せてないじゃん。
すぐ逃げる。
数学ってその程度のものですか。 そもそも１は３では割り切れないｗｗｗ
だからそれを戻して１にしようとすること自体がナンセンスｗｗｗｗｗ
割り切れないから入ってない数字を戻せないわけだしな
数学自体が研究するようなことではない
化学をしろ数学者は >>865
一歩譲って接触することは永遠にないかもしれないが、接触しないという結果も永遠に訪れないことを理解しよう。
そもそも「無限」を棒や天井という現実に置き換えて考えようとするから理解できないんだ。 >>930
君は棒が接触することと等号が成立するとこを、何の根拠もなく同値とみなしている
それが屁理屈で、不適切な例え話 1/3 = 0.3333...ではない
1 ÷ 3 = a とおくと
3a = 1
何の不思議もない
無限の彼方にある最後の...3を省いてしまっているから
>>1のようになる 0.33333...3
0.33333...3
0.33333...4 ←コイツのせい 1より小さい数は1ではない
でも1より小さい数と1は連続してる
なので1より小さい数と1の間は隙間がない レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
