【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg >>865
その棒は永遠に天井に接触しないけど、近づいていく長さは1であって、それこそが0.99999…と同じ
棒の長さは0.99999…より短い >>787
それは有限であることが条件。
無限に9を続けたら、接触してまうがな。 0.9999...=Aとする。
両辺に10をかける
9.999...=10A
よって、9=9Aなので、A=1
すなわち、0.9999...=1 >>887
0.999……999mの棒にその先端の棒の1/10の長さの棒をさらに継ぎ足していくんだよ。
どこかで継ぎ足すのをやめるとは言ってない。 >>895
数値ってものがデジタル（離散値）で表現されてるから
何進法でもつきまとうよ >>892
「つまり」以下が前段と繋がらない
「...」記号を含む左辺は棒の長さそのものではないから
それが理解できないと、どこまで行っても屁理屈か言葉遊び
例え話じゃなくて論理的な反論を 昔、某数学掲示板に長年の疑問を書いた時のことを思い出した。
長方形の一片の長さがAとBであるとき、対角の長さをCとするとC=sqrt(A^2+B^2)
しかし、C=(A/∞+B/∞)と表面上の相違を見つけられないので、数学的に説明してくれ
ベストアンサーは「長さを持たない線分は存在しない」だった。 >>1
酒の席でこんな計算はできん
割り勘でもいつも損してるのに >>865
うん、その無限回繰り返すという行為をだな、有限時間内に完了させて一本の棒が完成すれば君の言う通り。
でもそんな事できないでしょ？ だから、そんな棒は存在しないし、架空のお話だという事なんだよね。
数学の話題に、存在しない架空の棒を例に出されてもな〜。 79.012345679012345・・・(循環小数)
の平方根は8.888888888・・・・ >>906
有限回なら、
x < 1
でも、無限回になったら等号が付いて
x ≦ 1
となる。これは、有名な数学公式。
高3で習うよ。理系なら >>905
この証明は簡易的にはアリなんだけど
辺々引き算するところで「加減算と極限操作の順序」を入れ替えているので厳密ではない >>904
しないよ。
１ｍの天井より０．９ｍの棒の方が短い。
その届かない隙間の０．１ｍより短い０．０９ｍを棒に継ぎ足してもまだ天井には届かない。
その届かない隙間の０．０１ｍより・・・
をずっと繰り返すのが「９を続ける」って意味になるんだろうけど、
当然、１ｍの天井には届かない。 >>913
ゼロ除算とかいうやつは∞は考慮に入れてんのかね？ >>916
じゃあ
0.9999999999・・・×10=9.999999999・・・
じゃなくね >>915
数学に「無限」を認めておいて、
思考実験に無限を認めないのはずるくない？ 極限値という概念が無かったら微積学は生まれなかったからな
知能では理解できない不思議なところに数学の奥深さがある
そこを閃いて学問に変えられる奴が天才 この場合は アイザック
ニュートンだねぇ〜♬ 高校の時のなんかの本で読んだわ マジレスはすかんけど、マジレスすると可能無限と実無限を混同して矛盾が出る。
0.9999…を可能無限と考えると永遠に１に近づくが１にはなれない、となる。
大昔はそういう考えだった。カントールは実無限を考えた。
その場合0.999…はそっくりそのまま「１」となる。 12÷3=4
4×3=12
はい終了
10進数が3の倍数じゃなかったから割りきれなかっただけ >>909
自分の書いた文章には、一切屁理屈も言葉遊びもない。ごく簡潔な論理しか示してないが。 これ確率測度空間なら∞も値とみなすから
確率論で説明できるかも〜 >>918
大学生にもなって理解してない奴がいるってことね
高校で習うでしょ だれも１ｍの天井の話に簡潔な答えが出せてないじゃん。
すぐ逃げる。
数学ってその程度のものですか。 そもそも１は３では割り切れないｗｗｗ
だからそれを戻して１にしようとすること自体がナンセンスｗｗｗｗｗ
割り切れないから入ってない数字を戻せないわけだしな
数学自体が研究するようなことではない
化学をしろ数学者は >>865
一歩譲って接触することは永遠にないかもしれないが、接触しないという結果も永遠に訪れないことを理解しよう。
そもそも「無限」を棒や天井という現実に置き換えて考えようとするから理解できないんだ。 >>930
君は棒が接触することと等号が成立するとこを、何の根拠もなく同値とみなしている
それが屁理屈で、不適切な例え話 1/3 = 0.3333...ではない
1 ÷ 3 = a とおくと
3a = 1
何の不思議もない
無限の彼方にある最後の...3を省いてしまっているから
>>1のようになる 0.33333...3
0.33333...3
0.33333...4 ←コイツのせい 1より小さい数は1ではない
でも1より小さい数と1は連続してる
なので1より小さい数と1の間は隙間がない 宇宙レベルの計算精度求めるならまだしも
一般生活範囲内で小数点以下の怪を論じても不自由になるだけだ
そのために四捨五入ってのがあるんだから、問題文はそういう配慮すればいいだけ >>906
それ俺がさっき書いた壁にボールじゃね
ボールを壁に投げたら0.999…mの場所を通るっしょ
そこからさらに0.00…9進んだ地点も通り続ける
んじゃ永遠にボールは壁に当たらんの？
ボールは無限に0.999…の世界をさまよい続けるの？そんなことなくてボールは壁にぶつかるっしょ >>938
その「最後の桁」を頭から捨てきれない限り絶対に理解できない >>923
数としての∞という概念と小数点以下無限に続くというのとは別のお話
10進方で10をかけるもしくは割るということは桁が一つ動くことと等しい >>937
うっそやろｗ
天井に棒が接触すれば、それは天井の高さと棒の長さが一致したことだろ。
それを否定するって、数学様はどこまで傲慢でウソつきなんだよｗ >>930
高校で習う内容に疑問が残るなら教科書読むとか自分で考えるとかしようぜ 0.99999…を1として扱うなら、そいつの脳内では天井に届く。
が、0.99999…は実際には存在しない。最初から1だったってだけ。
0.99999…が存在するとするなら、天井には永久に届かない。
1に満たない0.99999…が存在するんだから。 >>942
それはどちらかというとゼノンの逆説に近く、この問題とはあまり関係ない >>934
お前はもう少し勉強しろ
こんな問題大昔に解決されてる >>893
これが九進数の五の倍数
0 5 11 16 22 27 33 38 44 50 55
1 6 12 17 23 28 34 40 45 51 56
2 7 13 18 24 30 35 41 46 52 57
3 8 14 20 25 31 36 42 47 53 58
4 10 15 21 26 32 37 43 48 54 60 >>945
だから、この思考実験を無限にやりなよ。
きみらが気軽に扱ってる無限って概念を、この棒を継ぎ足す作業を「無限にやる」ってだけのことじゃん。
この日本語のどこがおかしいの？ >>946
釣りじゃなくほんとに理解できてないのね
左辺に「...」が入った時点で、その棒が接触するかは無関係になる これちゃんとわかってる人でも「わかってない人にわかるように説明する」のはほんと難しいよね
命題の式が小学生レベルのおつむでもギリギリ意味がわかるだけに >>1 「循環小数」「初項」「公比」「等比数列」「無限等比級数」「収束」「巡回数」
って、
国語の時間かよ？
だから数学はキライ。用語自体がどうにも覚えずらくって。 0.999…と無限に9が続いてくから面倒くさいからもう1でええやんって事ですか？ 桁数が有限ならば
一つの数字を表す表記は一通り
ということが成り立つが
桁数が無限だと
その原則が成り立たないことがある
そういうことだろうな
０．９９９９９・・・＝１
とかそれに類似する同一視が必要な場合がいろいろ出てくる >>955
むずかしくないよー
教科書にも書いてあるよー
高校卒業してればみんな習ってるよー 数学の中の哲学的な考えになるから、
証明できるかできないか、だけしか正しいものはない。 >>942
ボールの話は「時間」の問題であって、今回の問題とは違う。
ボールが壁に当たる直前に撮った写真を無限に拡大しても絶対に壁には接触してない。
だけど、ミリ秒とかナノ秒とか時間を進めれば壁に当たるだろね。 >>953
無限に継ぎ足すと天井に届いちゃうから、無限に継ぎ足して届かない棒は存在しない
これが答えなんじゃね？
不思議だが0.9ずつ継ぎ足してるといつか届くんだよきっと 循環小数が何か、についても議論が分かれる。
数学とはそういうもんだ。 >>925
数学で認めている無限とは？ 無限公理の事かな？
きっちりと規定された範囲内にて認めているのであって、
ヘンテコな架空の棒の存在を無制限に認めるようなことはないでしょ。
仮に、その棒の存在を認めても良いのだけど、それはキッチリ1mになってしまうだけで… めんどくさいな
ケーキが本当に3等分されるか？問題はそこだけだ >>953
数学の概念を理解しようとする時に
現実世界の空間を思い描いてる時点でお前の負け
数学的思考力がお前に備わってないだけ >>959
きみはそうやって定義の話に逃げるけど、思考実験をまずやりなよ。
無限回に繰り返す。なぜやらないの。都合悪いの？ お前らが好きな子に「無限回告白したらOKしてあげる」って言われたら
それは「何億回告白してこようが絶対OKしない」ってことだから注意しろよ >>966
分かれないよー
理解できない人が文句いってるだけだよー
それじゃ朝日新聞だよー 1から0．9999999。。。を引き算して差を求めてみたまえ。 >>965
届かないんだよ。
届くためには、棒と天井の隙間と同じ長さの棒を継ぎ足せばいいの。
でも今回はその隙間の9/10の長さの棒を継ぎ足してるの。
だから絶対に届かないの。 >>893
訂正
九進数で10/5をやると1.7171…の循環少数でした >>640
大抵の理系のキモヲタはキャバクラなんて言っても何も話せない >>977
お前は自分で賢いつもりだろうけど
よくある挫折ポイントで挫折してるだけだからな 複数の方法で証明できるのも多いからね。
どっちか一方だけ正しいってより、どっちも正しいって結論になる事もある。 >>970
何度繰り返しても1には届かない、でも無限に続く過程ではどれだけ繰り返したとしてもまだ途中にすぎないわけよ
わかるかな？ >>969
ｗｗｗｗ
思考実験だから、具体的な物に置き換えて表現してるだけだよ？
数学に置き換えればいいじゃん。天井とは棒とかの言葉を取り除いて、数字だけに置き換えて考えてくれてもいいのよ？ ０．９９９９９＝ｘ
が１より小さい数字だとする。
しかし
０．９
０．９９
０．９９９
・・・
とやっていくうちに、いずれ x より大きくなってしまう
つまり 1>x=０．９９９９９９・・・＞０．９９９・・・９９９９＞x
x>x
となって矛盾
よって、x は１かそれ以上にならないといけない。
が、1より大きいこともないので
結局 x は１にならざるをえない >>961
理屈が難しいって言ってるんじゃなくて
理解してない奴に理屈を飲み込ませるのが難しいって言ってるんだけど理解出来てないですね？ >>977
届くんだよ
実際にやってみな
４回目ぐらいでコツンって天井に当たるから >>983
そう、典型のひとつなんだよね
この問題は問題そのものよりも「なぜ一致しないと思うのか」の研究がされてるくらい >>983
相手をディスる方に逃げたら負けですよ。 なんだ数学ちょっとやった奴が寄ってたかって文系にマウントとるだけのスレじゃねーかw
面白くもなんともねーよ
働けおめーら 0.9999...=1
っていうのは
任意に小さい正の数εに対して
あるnが存在して
小数第n位まで9が続く数と1の差が
εより小さいって意味だよー >>977
届かないという結末はいったいいつ訪れるんだい？ >>991
接触しないけど1mに永遠に近づくわけだよ >>812
任意の桁数で切るとその桁数で余りの1が出ると言う事を考慮に入れてないとか、
1/1をわざと0.9と余り0.1、0.99と余り0.01みたいにずらす事で成立してしまう0.9999……とか
そういう次元の話よね このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
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