X



【循環小数】1/3×3=1なのに0.33333…×3=0.99999…の謎 ★2

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001ばーど ★
垢版 |
2019/11/05(火) 15:04:28.98ID:2jbus2v29
■摩訶不思議!「循環小数」の世界

「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6=1÷6=0.166666……」「1/9=1÷9=0.111111……」「1/11=1÷11=0.090909……」などが循環小数である。

私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3=0.33333……』。この両辺を3倍すると『1=0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。

まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9+0.09+0.009+0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。

たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「(1−公比)分の初項」となる。

したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「(1−1/10)分の0.9」、すなわち「0.9/0.9=1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。

■石には粉

もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7=1÷7=0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857=いしにはこな(石には粉)」と覚えている。

この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1=142857」「142857×2=285714」「142857×3=428571」「142857×4=571428」「142857×5=714285」「142857×6=857142」。何かに気づかないだろうか。

答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7=999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。

循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。


2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg

★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/
0145名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:30:44.94ID:2y9KBSUE0
俺は全然気にしない。全然不思議じゃない。1/3は0.3333・・・・・と違うもの。
0.3333・・・・・が無限に続いちゃうから便宜上1/3を使うんだなぁと思うもの。
0146名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:31:10.70ID:rSC+m5CP0
循環小数よりちょっと大きい、ってわからない人いないだろ
0148名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:31:24.14ID:WxKZd6p+0
>>131
デマだよ
左から右へ
0149名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:31:34.43ID:UBFwQxEq0
>>129
そうだっけ?
もう忘れた。(笑)
0150名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:31:52.80ID:KEHrH44P0
そもそも10進数に縛って考えるからこんなややこしい話に
3で割る話話なんだろ?3進数でかんがえたら
1÷3=0.1
スッキリしたもんだが
0151名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:32:03.17ID:CrehHp6L0
馬鹿かよ
100個のエロゲーを3人で分けたら
33個33個33個で1個余ってるだろ
つまり余ってるから3人で分けきれてないんだよ
0152名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:32:07.68ID:Ps266vDK0
>>142
くっそーそろそろボケるのも難しくなってきたな・・・
そろそろ出すか・・・・神をw
0153名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:32:14.07ID:UBFwQxEq0
>>118
これの証明は中学生でやる。
0154名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:32:20.03ID:HyGIzUUu0
これπと一緒だろ、こんなんで謎とか一生考えてろって感じ
0155名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:32:34.66ID:QMIq32vO0
だからさあ
0.33333*3←これは1じゃない。明瞭
だけど
0.33333......*3←これは1
俺のこれ合ってるよな?
0157名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:33:07.95ID:kJCy4TgO0
数値計算でやったけど全然覚えてねぇ…
0159名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:33:09.37ID:UBFwQxEq0
>>126
数学。って、座標空間で証明するんだが。
(笑)
0160名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:33:10.65ID:WPH1GBs80
は?だいたい1/3=0.333333…じゃなく
1/3≒0.3333333…ですから
はい論破
0162名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:33:28.00ID:0XkFIket0
要するに0.9はほぼ1だから1でいいよってこと?
え?違う?
0163名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:33:28.98ID:gLU8m26H0
>>149
初等的というか簡易的にはアリだけど
極限操作と四則演算の順序が入れ替えられることを示さないと辺々引けない
0166名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:33:50.95ID:GumNxwRf0
3進法の世界なら何も難しくない。
0167名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:34:13.39ID:otKI44PC0
数学系の素朴な疑問スレって定期的に立つよなw
0171名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:34:24.32ID:b4X1geE20
つまり
「あんたら数Vまでやってないでしょ」
と言いたいわけね。極限は数Vだから。
0172名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:34:25.57ID:UBFwQxEq0
>>160
違う。
両辺10掛けて、それぞれ引いてごらん。
0173名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:35:16.17ID:ZxHK9Vk60
数学者ってこんなのを年がら年中考えて証明しようとするんでしょ、純粋なんだろうな
0174名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:35:18.19ID:8n1n1hnO0
アキレスと亀だよなあ。
0.99999…=1という考え方じゃないと永遠に亀に追いつかない。
逆に言えば、実際には追い付いてるのだから1なんだろう。
0175名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:35:24.16ID:tQoLgvtE0
極限はもうなんていうか 「そうなの!そういう世界なの!」 で理解するしかないんでは?
図形の極限にも通じる  円は結局拡大すれば直線になるというのと同じ
0176名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:35:33.18ID:gLU8m26H0
10進数の限界というのも正確さを欠く
何進数にしようが同種の問題は発生するので
0178名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:35:36.13ID:UBFwQxEq0
>>162
全く違う。(笑)
0181名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:36:13.54ID:E4ov4YZF0
別に謎でもなんでもねえ
分数の計算と少数の計算を混ぜるとかアホかな
0182名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:36:31.94ID:b4X1geE20
>>162
それじゃナイツの漫才の、
「ボルトの記録はほぼ10秒」に同じw
0183名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:36:32.52ID:Ndp6/g8s0
円周率=3、円周率=3.14、円周率=3.14159265と様々だけど
3=3.14=3.14159265はおかしい何故だ?とか考えだす>>1が現れた、それだけのこと
0184名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:36:35.47ID:QMIq32vO0
>>168
ってことは>>155は合ってんだよな?気になって仕方ねえよ
0185名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:36:40.11ID:1sRAqX7B0
分数は概念だからじゃね?
0186名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:36:47.88ID:5AvAmmiK0
>>5
大多数の一般人には関係無い話だよね
上位30%程度の人間になって始めて役に立つ
0187名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:36:47.84ID:KEHrH44P0
>>169
それはちゃう
>>179
そうだね。ごめん。間違ってる。あなたの書き方が正しい
0188名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:36:54.24ID:WxKZd6p+0
>>150
アホか、3進数に3は出てこないよ
1 / 10 でしょうよ
0191名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:37:09.75ID:e3fN1P2e0
0.99999…=1を数学で証明できるけど、実証はできない。
これが数学の限界
0192名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:37:10.33ID:FhcDUKqc0
>>122
習ってない人もいるし
習ったけど忘れちゃった人もいるからでは
0193名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:37:14.63ID:0XkFIket0
数学の証明の問題が理解不能過ぎてテストで18点取った思ひ出…
国語は学年トップクラスだったんだよ
文系だよ
0195名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:37:30.39ID:A3eXnG9+0
1/3といえば、ホールケーキを三等分しなさい問題を思い出す
少年院の非行少年たちは正解にたどり着けないという…
0196名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:37:31.86ID:QvkdYieh0
これまじで高校で習うぞ

高校の数学の教科書を読めw
収束、発散、lim(極限値)のお話
それからテイラーの展開公式が導かれる
0197名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:37:35.30ID:UBFwQxEq0
>>173
1+1=2を座標空間で証明した奴が居るからな。
(笑)
0200名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:37:56.82ID:ozqgxDe/0
>>181

ほんとこれで終わりなのにな。
0201名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:37:57.71ID:b4X1geE20
>>190
微分計算の入口としてはやった。
本格的に、「この式の極限を求めよ」なんて問題が出てくるのは、
数Vだろう。
0202名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:37:58.92ID:fCwt15ds0
謎じゃないだろ、最初の1/3が割り切れて無いんだから
0203名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:38:06.04ID:RhjqSg8q0
>>1は電卓バカ
0204名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:38:11.07ID:KEHrH44P0
>>195
まずAが「三等分」で間違いないと思うようにケーキを切る
 ↓
次にBがケーキの中で一番大きいと思う物を選択する
 ↓
少なくともABからはこの段階で不満をもつことはありえない
 ↓
Cに残りのふたつの中から一番大きいと思うものを選択してもらう
 ↓
Cに不満が生じた場合、殺し合いを始めてもらう
0206名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:38:28.36ID:UBFwQxEq0
>>183
様々。じゃねえよ。(笑)
πはπだ。
0207名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:38:31.83ID:gLU8m26H0
高校での極限は直感的なものに留まり厳密ではない
大学でε-N法を習わないと
0208名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:38:35.75ID:QMIq32vO0
>>189
ありがとう!すっきりした
ホールケーキの1/3贈ってもいい
0209名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:38:37.04ID:3XBjvO2j0
これが分からない学生が多いって数学の先生が嘆いてたな
0210名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:38:42.78ID:CbGog/Fi0
>>174
そうそう 
>>1 が理解できない人は アキレスが永遠に亀に追いつけない世界に住んでいる
0211名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:38:53.27ID:CN0SZqJI0
一枚のコピー用紙を42回折れば厚みは月までの距離になる。
数学理論的には永遠に折り続ける事が可能。
それに終わりはない。
0213名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:39:07.45ID:UBFwQxEq0
>>201
中学生の証明問題だろ。
0216名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:39:47.14ID:UBFwQxEq0
>>196
中学生の証明問題だろ。
0217名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:39:48.65ID:b4X1geE20
>>195
最近話題になった本だな。
犯罪を犯すような子は障害があるとかなんとか、
はっきり「頭が悪い」とは言えないw
0218名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:39:54.09ID:WImbPmyE0
1mの天井に、めっちゃ近いけど絶対に接触しない棒の高さは?
やっぱり0.99999999999・・・mって書くことになるんじゃね?
でも絶対に天井に接触しないんだぜ?

こういう棒なんだよ。
0.9mの棒に「最後の棒の1/10の長さの棒」を継ぎ足してるの。
すなわち、2本目は0.9m/10=0.09m
2本合わせて0.99m。
当然絶対に1mの天井に接触するわけないよね?
さらに3本目の長さは0.09m/10=0.009m
3本合わせれば、0.999m。
でも当然1mの天井には接触しない。
さぁこれをずーっと繰り返したら、1mの天井に接触するのかい?
0219名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:39:57.63ID:D041jUyM0
0.99999999…(無限小数)という表記は
「そのもの」ではなく「操作」を表しているという理解が必要

「小数点以下9をどこまでも並べていくという操作をすると、
ある数字にどこまでも近づく。その、ある数字とは?」を「…」で表現してるんだ

つまり1だ
0220名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:40:03.23ID:geZ3iNNV0
1/3≠0.33333…ってだけの話やで
0221名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:40:14.89ID:WxKZd6p+0
そもそも謎でもなんでもないだろうよ
0223名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:40:28.04ID:gLU8m26H0
アキレスと亀は「追いつくまでの時間を無限に分割して考えることができることと、有限時間で追いつくことは別に矛盾しない」ってだけで、この問題(極限)とはあまり関係ない
0224名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:40:40.86ID:/whEUO9B0
これ、極限の世界の話だよな
記者は、極限教わらなかったのか?
大学レベルになると、大抵のものは証明されてしまう
0225名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:40:41.56ID:x8KC8OAu0
>>1
数式は概念であって実体じゃないから。1/3という実態や循環小数という実体はこの世に存在しない
0226名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:40:44.68ID:Zov1d50p0
2スレ目になったら進法基準の話がバンバン出てきて安心したわ
お題の論点としては割り切れるかどうかだしな
こんなの文系だから計算出来ないとか関係無くて、理数系でも読解力あるかの話だもんな
むしろ理数系でも理系か数学系かで意見が分かれるなら解る
0227名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:41:03.60ID:tQoLgvtE0
これよか極限としては x→0 lim(sinx/x)=1 の方がむずいんよ そうなってるとしか覚えようがない
0229名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:41:10.52ID:kJCy4TgO0
>>195
2πって三等分できるのかわからない…みたいな
0232名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:41:31.23ID:gLU8m26H0
>>218
接触しないことと、0.999... = 1で等号成立することは無関係
前スレで論破済
0233名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:41:37.78ID:It2odexY0
高校までの数学が厳密性に欠く部分が
指導要領上あるのでいろいろと
アレなところがあるのは仕方ないw
0234名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:42:20.17ID:e3fN1P2e0
1/3 = 0.999・・・ = 3*0.333・・・
で数学上間違いはない。証明されてるからね。

しかし数学上でしか説明できない。
それは数学の上以外では間違いと言うことだ。
0236名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:42:27.20ID:fCwt15ds0
>>195
秤を用意してクリームの量で調整
0237名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:42:27.26ID:VJ1zB4jo0
Excelがこの問題を解けないから小数点が入ると計算誤差がでる
誰か教えてやってくれ
0238名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:42:41.03ID:b4X1geE20
>>227
いやそうなんだよね。
数学好きだけど極限は苦手だった。
式を変形して「これの極限は1だから」とか持って行くのは、
コジツケじゃんとしか思えなかった。
0241名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:42:59.01ID:FhcDUKqc0
>>201
松坂和夫『数学読本』では、いちばんはじめに出てくるね
実数は有理数と無理数からなってて
有理数の分数は循環小数になります、というところで
循環小数はこうなるんだよって。
0.999…が1と等しくなっちゃうって不思議な感じでしょう?
みたいな、数学に興味を持たせる書き方。
0242名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:43:02.77ID:RlIdx1+N0
(1/3) × 3なら≒1だろ
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

ニューススポーツなんでも実況