【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「－1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1－公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1－1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ 俺は全然気にしない。全然不思議じゃない。1/3は0.3333・・・・・と違うもの。
0.3333・・・・・が無限に続いちゃうから便宜上1/3を使うんだなぁと思うもの。 循環小数よりちょっと大きい、ってわからない人いないだろ そもそも10進数に縛って考えるからこんなややこしい話に
3で割る話話なんだろ？3進数でかんがえたら
1÷3=0.1
スッキリしたもんだが 馬鹿かよ
100個のエロゲーを3人で分けたら
33個33個33個で1個余ってるだろ
つまり余ってるから3人で分けきれてないんだよ >>142
くっそーそろそろボケるのも難しくなってきたな・・・
そろそろ出すか・・・・神をｗ これπと一緒だろ、こんなんで謎とか一生考えてろって感じ だからさあ
0.33333*3←これは1じゃない。明瞭
だけど
0.33333......*3←これは1
俺のこれ合ってるよな？ >>126
数学。って、座標空間で証明するんだが。
（笑） は？だいたい1/3=0.333333…じゃなく
1/3≒0.3333333…ですから
はい論破 要するに0.9はほぼ1だから1でいいよってこと？
え？違う？ >>149
初等的というか簡易的にはアリだけど
極限操作と四則演算の順序が入れ替えられることを示さないと辺々引けない つまり
「あんたら数Ⅲまでやってないでしょ」
と言いたいわけね。極限は数Ⅲだから。 >>160
違う。
両辺10掛けて、それぞれ引いてごらん。 数学者ってこんなのを年がら年中考えて証明しようとするんでしょ、純粋なんだろうな アキレスと亀だよなあ。
0.99999…=1という考え方じゃないと永遠に亀に追いつかない。
逆に言えば、実際には追い付いてるのだから1なんだろう。 極限はもうなんていうか 「そうなの！そういう世界なの！」 で理解するしかないんでは？
図形の極限にも通じる 円は結局拡大すれば直線になるというのと同じ 10進数の限界というのも正確さを欠く
何進数にしようが同種の問題は発生するので 別に謎でもなんでもねえ
分数の計算と少数の計算を混ぜるとかアホかな >>162
それじゃナイツの漫才の、
「ボルトの記録はほぼ10秒」に同じw 円周率=3、円周率＝3.14、円周率＝3.14159265と様々だけど
3=3.14=3.14159265はおかしい何故だ？とか考えだす>>1が現れた、それだけのこと >>168
ってことは>>155は合ってんだよな？気になって仕方ねえよ >>5
大多数の一般人には関係無い話だよね
上位30%程度の人間になって始めて役に立つ >>169
それはちゃう
>>179
そうだね。ごめん。間違ってる。あなたの書き方が正しい >>150
アホか、３進数に３は出てこないよ
1 / 10 でしょうよ 0.99999…＝1を数学で証明できるけど、実証はできない。
これが数学の限界 >>122
習ってない人もいるし
習ったけど忘れちゃった人もいるからでは 数学の証明の問題が理解不能過ぎてテストで18点取った思ひ出…
国語は学年トップクラスだったんだよ
文系だよ 1/3といえば、ホールケーキを三等分しなさい問題を思い出す
少年院の非行少年たちは正解にたどり着けないという… これまじで高校で習うぞ
高校の数学の教科書を読めｗ
収束、発散、lim(極限値)のお話
それからテイラーの展開公式が導かれる >>173
1＋1＝2を座標空間で証明した奴が居るからな。
（笑） >>95
10進数では、1/3を正確に表現出来ないだけ >>190
微分計算の入口としてはやった。
本格的に、「この式の極限を求めよ」なんて問題が出てくるのは、
数Ⅲだろう。 謎じゃないだろ、最初の１/３が割り切れて無いんだから >>195
まずAが「三等分」で間違いないと思うようにケーキを切る
↓
次にBがケーキの中で一番大きいと思う物を選択する
↓
少なくともABからはこの段階で不満をもつことはありえない
↓
Cに残りのふたつの中から一番大きいと思うものを選択してもらう
↓
Cに不満が生じた場合、殺し合いを始めてもらう 高校での極限は直感的なものに留まり厳密ではない
大学でε-N法を習わないと >>189
ありがとう！すっきりした
ホールケーキの1/3贈ってもいい これが分からない学生が多いって数学の先生が嘆いてたな >>174
そうそう
>>1 が理解できない人は アキレスが永遠に亀に追いつけない世界に住んでいる 一枚のコピー用紙を42回折れば厚みは月までの距離になる。
数学理論的には永遠に折り続ける事が可能。
それに終わりはない。 >>76
全てのプリンを4等分に切り分けて
それを3かけずつ分ければよし うーん、これだと経済学とか学べないと
思うんだよねw >>195
最近話題になった本だな。
犯罪を犯すような子は障害があるとかなんとか、
はっきり「頭が悪い」とは言えないw １ｍの天井に、めっちゃ近いけど絶対に接触しない棒の高さは？
やっぱり0.99999999999・・・ｍって書くことになるんじゃね？
でも絶対に天井に接触しないんだぜ？
こういう棒なんだよ。
0.9mの棒に「最後の棒の1/10の長さの棒」を継ぎ足してるの。
すなわち、２本目は0.9m/10=0.09m
２本合わせて0.99m。
当然絶対に１ｍの天井に接触するわけないよね？
さらに３本目の長さは0.09m/10=0.009m
３本合わせれば、0.999m。
でも当然１ｍの天井には接触しない。
さぁこれをずーっと繰り返したら、１ｍの天井に接触するのかい？ 0.99999999…（無限小数）という表記は
「そのもの」ではなく「操作」を表しているという理解が必要
「小数点以下9をどこまでも並べていくという操作をすると、
ある数字にどこまでも近づく。その、ある数字とは？」を「…」で表現してるんだ
つまり1だ アキレスと亀は「追いつくまでの時間を無限に分割して考えることができることと、有限時間で追いつくことは別に矛盾しない」ってだけで、この問題（極限）とはあまり関係ない これ、極限の世界の話だよな
記者は、極限教わらなかったのか？
大学レベルになると、大抵のものは証明されてしまう >>1
数式は概念であって実体じゃないから。1/3という実態や循環小数という実体はこの世に存在しない 2スレ目になったら進法基準の話がバンバン出てきて安心したわ
お題の論点としては割り切れるかどうかだしな
こんなの文系だから計算出来ないとか関係無くて、理数系でも読解力あるかの話だもんな
むしろ理数系でも理系か数学系かで意見が分かれるなら解る これよか極限としては x→0 lim（sinx/x）＝１ の方がむずいんよ そうなってるとしか覚えようがない >>195
2πって三等分できるのかわからない…みたいな >>218
接触しないことと、0.999... = 1で等号成立することは無関係
前スレで論破済 高校までの数学が厳密性に欠く部分が
指導要領上あるのでいろいろと
アレなところがあるのは仕方ないw 1/3 ＝ 0.999･･･ ＝ 3*0.333･･･
で数学上間違いはない。証明されてるからね。
しかし数学上でしか説明できない。
それは数学の上以外では間違いと言うことだ。 1/3=0.333333333...
1/3*3=1
0.3333333333...*3=1 Excelがこの問題を解けないから小数点が入ると計算誤差がでる
誰か教えてやってくれ >>227
いやそうなんだよね。
数学好きだけど極限は苦手だった。
式を変形して「これの極限は１だから」とか持って行くのは、
コジツケじゃんとしか思えなかった。 >>201
松坂和夫『数学読本』では、いちばんはじめに出てくるね
実数は有理数と無理数からなってて
有理数の分数は循環小数になります、というところで
循環小数はこうなるんだよって。
0.999…が1と等しくなっちゃうって不思議な感じでしょう？
みたいな、数学に興味を持たせる書き方。 >>195
上中下の3等分に…
120度ずつにすればいいかもしれんが ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
