【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ >>932
定義したと言うより少数ではそうとしか表記できないからじゃね？
他の表記方法として0.3の3の上に・を付けるという表記があるけど
こっちの方がわかりやすいかなぁ。 なんかやたらケーキで例える奴が出てくるが、ナイフに幅がある時点でダメだからw セブンで税込み100円のものを3つ買うと301円になるあれか？ >>946
ケーキ三等分するとき余りが出ますかって話
（ただしナイフにつくとかは考えないものとする） ナイフに付いたクリームはオレが舐めちゃうからオレが0.1だ おまいら小３の割り算全然理解してないしな。
「10を0.5で割ると20に増えるのなんで？割ってるのに！」とか
いまだに思ってるやろ？
ペーパテストだけしか出来ない
日本人の義務教育はゴミすぎるんだよ！ >>948
数学好きだけど極限は嫌いだった俺は正常ということだな。 1/3と0.3333333......
これは別物でいいよな 別な見方、たとえば３進数で考えると綺麗に少数で示せるよ。
３進数では、１０進数の「１」は、やはり「１」。
３進数では、「1/3」は「0.1」になる。
この辺は２進数と同じだな。 ２進数では２倍すればケタが上がる
２で割ればケタが下がる。
だから、３進数の世界では、１／３は「0.1」と綺麗な小数で表現でき
これに３を掛けると、綺麗に「１」になる(ケタが１つ上がるだけ)。 >>933
そういうぼんやりした言い方を「感情的」って言うのよ Wikipediaにも専用の項がある
この「典型的な誤解とその原因」が面白い
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999... >>861
その思考実験はどんな自然数nをとっても「n回目で棒は1mよりは短い」けど残念だが∞は自然数ではないので無限に続けた場合でも1mより短いとはならない なんか、ここの書き込み見てたら日本の教育は根本的に間違えてるなと認識した。義務教育レベルの内容すら理解出来てない奴が如何に多いか。 そもそも１をきっちりとした数字だと思うからいけない。
数字を無限に分解できるのなら、ぴったり１なんていう存在は無いだろ。
概念としては存在できるけど、それを座標に取ろうとすると軸が無限に細かくなるだけで、正確な１など存在し得なくなる。 0.99999... = 1 だから。
謎でもなんでもない。
って今知ったw >>1
物理学科だが、全くわからない
数学科のやつ早く教えろや 人類に完全な答えが出せてない時点で教育な問題じゃないだろ ま、ここで興味を持ったら、エプシロンデルタ論法をやるとおもしろいよ >>963
で、まだ受け入れられないの？
君は症状としては軽い方だと思うけど >>916
昔のBASICだとすのままだとうまく表記できなかった気がする
まあそれをどうするかがプログラミングの授業でやるんだが >>962
きみの言ってることは
１０進数では「１/10」は「０．１」と綺麗な小数で表現でき
これに１０を掛けると、綺麗に「１」になる（桁が１つ上がるだけ）
と言ってるにすぎないわけだがｗ いつまでも幸せにたどり着けない俺らみたいなもんやな 天井君
まだやってたのか
君には基礎的な数学の才能はないな
旧帝物理院卒の俺から見て
君には物理の才能もない >>903
1/3は不可能な数字
だから逆数の3/1も不可能な数字
つまり10分の3というのも存在しない
つまり3キログラムのケーキは世の中に存在しない
こういう事じゃないかな >>887
6つに切り分けて2つずつ選べって言ってくるロボなら傑作だな >>916
リテラルを最適化するだけでしょ
変数で試さないと無意味 >>965
その数式のｎに無限大を入れたのは誰だｗ >>928
俺はどーでもいいな。それ。俺って高校は理系で、経済学部しか合格できなかった人間で、そこでのバカさ加減にウンザリした４年間だった。
だから文系さんはひっくるめてバカでいい。わけるのはわかるがめんどい。 親戚の子供に同じ質問をされたので
ケーキを3等分してから、元通りの位置にくっつけて見せたら納得した そう言えば小学校の時に、
2÷3が2/3だと説明してもまったく理解できなかった奴がいたな。 >>912
無限を代入すれば天井に付いてしまう
これが聞きたいんでしょ >>953
表記じゃなくて定義の問題ですわ
どんな表記であれ、
1/3は小数ではこう表記すると決めれば、
そう決めたものは3倍したら1になるしかない >>979
問いかけに応えずに「君はダメだ」という奴は逃げてるだけ。 >>935
ケーキは１に見えて実は３６０だったってことか
じゃあケーキは３で１づつに分ける考えもあり？ 0.3333.....は1/3を表しきれてないからじゃないの >>975
そうね 理解したいんじゃなく 自分が納得できる答えが欲しいだけ
そんなものはないとわかると やる気をなくす
家庭教師してた時 そう思った >>987
サンプルの少なさに疑問を抱かないなら君も文系みたいなもん 分けられないケーキはすでにケーキではないってことだな このスレッドは１０００を超えました。
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