【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ 一枚のコピー用紙を42回折れば厚みは月までの距離になる。
数学理論的には永遠に折り続ける事が可能。
それに終わりはない。 >>76
全てのプリンを4等分に切り分けて
それを3かけずつ分ければよし うーん、これだと経済学とか学べないと
思うんだよねw >>195
最近話題になった本だな。
犯罪を犯すような子は障害があるとかなんとか、
はっきり「頭が悪い」とは言えないw １ｍの天井に、めっちゃ近いけど絶対に接触しない棒の高さは？
やっぱり0.99999999999・・・ｍって書くことになるんじゃね？
でも絶対に天井に接触しないんだぜ？
こういう棒なんだよ。
0.9mの棒に「最後の棒の1/10の長さの棒」を継ぎ足してるの。
すなわち、２本目は0.9m/10=0.09m
２本合わせて0.99m。
当然絶対に１ｍの天井に接触するわけないよね？
さらに３本目の長さは0.09m/10=0.009m
３本合わせれば、0.999m。
でも当然１ｍの天井には接触しない。
さぁこれをずーっと繰り返したら、１ｍの天井に接触するのかい？ 0.99999999…（無限小数）という表記は
「そのもの」ではなく「操作」を表しているという理解が必要
「小数点以下9をどこまでも並べていくという操作をすると、
ある数字にどこまでも近づく。その、ある数字とは？」を「…」で表現してるんだ
つまり1だ アキレスと亀は「追いつくまでの時間を無限に分割して考えることができることと、有限時間で追いつくことは別に矛盾しない」ってだけで、この問題（極限）とはあまり関係ない これ、極限の世界の話だよな
記者は、極限教わらなかったのか？
大学レベルになると、大抵のものは証明されてしまう >>1
数式は概念であって実体じゃないから。1/3という実態や循環小数という実体はこの世に存在しない 2スレ目になったら進法基準の話がバンバン出てきて安心したわ
お題の論点としては割り切れるかどうかだしな
こんなの文系だから計算出来ないとか関係無くて、理数系でも読解力あるかの話だもんな
むしろ理数系でも理系か数学系かで意見が分かれるなら解る これよか極限としては x→0 lim（sinx/x）＝１ の方がむずいんよ そうなってるとしか覚えようがない >>195
2πって三等分できるのかわからない…みたいな >>218
接触しないことと、0.999... = 1で等号成立することは無関係
前スレで論破済 高校までの数学が厳密性に欠く部分が
指導要領上あるのでいろいろと
アレなところがあるのは仕方ないw 1/3 ＝ 0.999･･･ ＝ 3*0.333･･･
で数学上間違いはない。証明されてるからね。
しかし数学上でしか説明できない。
それは数学の上以外では間違いと言うことだ。 1/3=0.333333333...
1/3*3=1
0.3333333333...*3=1 Excelがこの問題を解けないから小数点が入ると計算誤差がでる
誰か教えてやってくれ >>227
いやそうなんだよね。
数学好きだけど極限は苦手だった。
式を変形して「これの極限は１だから」とか持って行くのは、
コジツケじゃんとしか思えなかった。 >>201
松坂和夫『数学読本』では、いちばんはじめに出てくるね
実数は有理数と無理数からなってて
有理数の分数は循環小数になります、というところで
循環小数はこうなるんだよって。
0.999…が1と等しくなっちゃうって不思議な感じでしょう？
みたいな、数学に興味を持たせる書き方。 >>195
上中下の3等分に…
120度ずつにすればいいかもしれんが 1/3 は、計算じゃなくて、そういう値だから
計算しちゃダメなわけだが >>2
まともな子供に聞かれたときにまともに答えられるくらいでないと困るだろう。
これくらいは空で説明できるようになっておけ。 >>226
○進数の話は本質的でない
全くの的外れではないだけで、何進数を採ろうが同種の問題から逃れられない >>229
単に、ベンツのマークみたいに分けるのができないらしい。
犯罪犯すような子は。 今朝から色々検索して、アキレスと亀に辿り着いたところで腑に落ちた 関数f(X)=1/Xで
Xが無限に発散するときf(x)はゼロに限りなく近づくんだよ
だけどx軸とは平行じゃないのに絶対に交わらない
高校の定期試験で出ますｗｗｗ >>6
宇宙は喋るの？
何語で喋るの？
どんな声なの？ >>237
所詮アメリカ人の作ったソフトだから大ざっぱ。
と、Excel使ってて思う。 >>223
うーん 循環小数ってのは整数との差を10^{-1}の無限に続く冪として分割した結果ではないのかな
無限個の断片を集めて有限値を再現できるという意味では同じじゃない？
まあ 私は数学者じゃないので拘らないけど >>143
イメージとしては使い道が多い状態のことを
エントロピーが少ない状態と言える
例えばお金がそうだ
現金のままでも、電子マネーにしても、食べ物を買っても
価値は同じ。お金のままだと色んな使い道が残されている
状態だが、一度交換してしまうと使い道が限られてしまう。
エントロピーもお金と同じことが言える。少ない状態の方が
色んな使い道が可能なのです。 >>195
頭が悪いやつはたいてい図形問題が苦手だが、犯罪に走るやつは三等分すら満足にできない程度の知能ってことか これ、等式 0.999⋯ = 1 は数学的には正しいって話だよね？ 4月バカネタ「悲報・円周率が割り切れた。最後の桁はゼロ」 >>249
ゼノンのパラドックスならウサギカメじゃなくて、射た矢は刺さらないとか
そんな感じの方の奴のが合ってるんじゃないかな どうもよくわからんのだけど、なんで１＞０．９９９…にならないんだ？
単に定義（書き方）がそうなってるよって話なの？ 関数f(X)=1/Xで
Xが無限に発散するときf(x)はゼロに限りなく近づくんだよ
だけどx軸とは平行じゃないのに絶対に交わらない
高校の定期試験で出ますｗ
ちなみに偏差値45のバカ高ですｗ >>14
なんでなりませんなの？
1=0.9999999.....
がわかないと教員にはなれないね。 >>195
同心円状に抜いたらいいんじゃないの？
外側の人はクリームしかないかもだけど どんだけ割っても余りが出ようと元の数は1なんだから3倍したら1になるのは当たり前
1にならないなら足りない分はどこいったんだよっていう >>252
偏見だよ
有理数型がある言語もアメリカ仁作 >>218
あなたが言っているのは
一枚の紙を無限に折ってゆくと無限と高さになる
これを実際にやってみろよと言っているのと同じだよ
考え方が偏っている
うむくいえないんだけど前スレ見ててそう思った こういうのは、俺が聞かれた時は
大学になればきちんと証明されるから
今は、教科書のまま覚えておけって教えてる >>23
その誤差は0.0000000....とかなんだろ？ >>255
0.99999999…を分数にしてみて先生
解となる数式が出来ない数列だよねｑ >>246
だから進数なんでしょ
本質的なことを言うなら役に立たないから発展しなかったという事だ 定義の問題であって謎なんかひとつもないだろ
下らなすぎる 質問者は
0.999⋯ ＜ 1
なのでは？という疑問かな >>232
数字を物に変換して考える事に問題があるとは思えない >>271
誤差論を持ち出す人はその表記をよく出してくるね
その数はゼロとは異なるらしい
まあ無限小を導入した公理系もあるけど >>264
単位とれなかったレベルってことだかんね
大学卒業できてない→教員にはなれない >>246
表現出来ないだけで、近似値では無い ってのがポイント。 >>89
1=0.99999....
ではないというところかは始まっているからね、
それが前提ならそりゃそうならない。 >>1
どうでもいいっすわ
どうせ、10進数や数字なんて物自体
人間が人間の都合で定義しただけのオモチャ。
それが万能でないなんて、当たり前の話。 >>262
0.99999… の9は無限に続くと考える。
途中で終わっていれば1より小さいが、無限に続くから等しくなる。 1/3から0.333・・・・と言う表現にできるが
無理数0.333・・・から1/3にはできない。
だから0.333・・・×３≒１としか表現できない。 本来は割ってはならない、そのままにしておくのが
正しい。少数表現は、どれぐらいの値かを調べるときだけ
目安としてつかうべき 実数の10進法(2進法でも3進法でも同じだけど)での表記は１通りまたは２通りある
というだけ >>262
関数f(X)=1/Xで
Xが無限に発散するときf(x)はゼロに限りなく近づくんだよ
だけどx軸とは平行じゃないのに絶対に交わらない（これを収束っていう）
上記>>1の問題は1/3に収束するんです
高校の定期試験で出ますｗ 本当ですｗ
ちなみに偏差値45のバカ高ですｗ >>275
何進数だろうが同種の問題が生じる
→「○進数だからという問題ではない」ってことね
実数の無限小数表記自体が含む問題（何進数かによらず） 1/3×3=1になるん？
1/3で0.3333・・・・・・でそれに3掛けても0.999・・・じゃねーの？ この問題は単に猿には理性が無いと言う問題でしかない。
猿が「理性の無い自分が理解出来ないのはなぜだ？」と問うている。
知らんがな。お前がバカなのはオレのせいではない。
はい、論破ｗ 数学は何のために存在してるかを考えたらよい。
数学が数学でしか使えないものでは意味がない。
1＝0.9999･･･と言う実証不可能な物は役にたたないのだよ。
1つの物がある。0.999…と言う1に限りなく近いものがある、で意味を分けて使い分けるしかない。
1＝0.9999･･･は数学で表した世界での話の事だ。 >>256 一番謎なのは 絶対零度T=0のように エントロピー＝ゼロというのが何かが定義されてない（っぽい）ところ
絶対値が分からない a ÷ 3 = b の時、b * 3 = a は成り立つか？
ケーキで考えると、包丁に付いたクリーム分減ってしまう >>280
それは例え話が通用する範囲においてのみ
左辺に「...」が入った時点で接触するかどうかと等号成立は無関係 そもそも循環少数をご存じだろうか？に「はい」と答えて、
「数字の上に「・」をつけて繰り返す部分を表現します。
0.999...という表現、記載方法自体が不適切です」って答えて終わりじゃね？
知らない方が問題なわけで >>268
ちょっと違うな。
紙は折れないでしょとか面積どうなんだよ、って違和感あるけど、
この棒の思考実験は単純に継ぎ足すだけだからね。
小さすぎるとか物質は有限とかいう屁理屈はなしね。そこは思考実験だから。 >>277
ゼロの階乗が１とかlog１はゼロとか言うのと同じか。
そう定義しないと都合が悪い。 3進法で考えれば
0.1*10=1
これじゃだめ？ >>104
＞ x=0.9999… とすると
＞ x = 1
矛盾してまんな ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
