【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「－1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1－公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1－1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ >>143
イメージとしては使い道が多い状態のことを
エントロピーが少ない状態と言える
例えばお金がそうだ
現金のままでも、電子マネーにしても、食べ物を買っても
価値は同じ。お金のままだと色んな使い道が残されている
状態だが、一度交換してしまうと使い道が限られてしまう。
エントロピーもお金と同じことが言える。少ない状態の方が
色んな使い道が可能なのです。 >>195
頭が悪いやつはたいてい図形問題が苦手だが、犯罪に走るやつは三等分すら満足にできない程度の知能ってことか これ、等式 0.999⋯ = 1 は数学的には正しいって話だよね？ 4月バカネタ「悲報・円周率が割り切れた。最後の桁はゼロ」 >>249
ゼノンのパラドックスならウサギカメじゃなくて、射た矢は刺さらないとか
そんな感じの方の奴のが合ってるんじゃないかな どうもよくわからんのだけど、なんで１＞０．９９９…にならないんだ？
単に定義（書き方）がそうなってるよって話なの？ 関数f(X)=1/Xで
Xが無限に発散するときf(x)はゼロに限りなく近づくんだよ
だけどx軸とは平行じゃないのに絶対に交わらない
高校の定期試験で出ますｗ
ちなみに偏差値45のバカ高ですｗ >>14
なんでなりませんなの？
1=0.9999999.....
がわかないと教員にはなれないね。 >>195
同心円状に抜いたらいいんじゃないの？
外側の人はクリームしかないかもだけど どんだけ割っても余りが出ようと元の数は1なんだから3倍したら1になるのは当たり前
1にならないなら足りない分はどこいったんだよっていう >>252
偏見だよ
有理数型がある言語もアメリカ仁作 >>218
あなたが言っているのは
一枚の紙を無限に折ってゆくと無限と高さになる
これを実際にやってみろよと言っているのと同じだよ
考え方が偏っている
うむくいえないんだけど前スレ見ててそう思った こういうのは、俺が聞かれた時は
大学になればきちんと証明されるから
今は、教科書のまま覚えておけって教えてる >>23
その誤差は0.0000000....とかなんだろ？ >>255
0.99999999…を分数にしてみて先生
解となる数式が出来ない数列だよねｑ >>246
だから進数なんでしょ
本質的なことを言うなら役に立たないから発展しなかったという事だ 定義の問題であって謎なんかひとつもないだろ
下らなすぎる 質問者は
0.999⋯ ＜ 1
なのでは？という疑問かな >>232
数字を物に変換して考える事に問題があるとは思えない >>271
誤差論を持ち出す人はその表記をよく出してくるね
その数はゼロとは異なるらしい
まあ無限小を導入した公理系もあるけど >>264
単位とれなかったレベルってことだかんね
大学卒業できてない→教員にはなれない >>246
表現出来ないだけで、近似値では無い ってのがポイント。 >>89
1=0.99999....
ではないというところかは始まっているからね、
それが前提ならそりゃそうならない。 >>1
どうでもいいっすわ
どうせ、10進数や数字なんて物自体
人間が人間の都合で定義しただけのオモチャ。
それが万能でないなんて、当たり前の話。 >>262
0.99999… の9は無限に続くと考える。
途中で終わっていれば1より小さいが、無限に続くから等しくなる。 1/3から0.333・・・・と言う表現にできるが
無理数0.333・・・から1/3にはできない。
だから0.333・・・×３≒１としか表現できない。 本来は割ってはならない、そのままにしておくのが
正しい。少数表現は、どれぐらいの値かを調べるときだけ
目安としてつかうべき 実数の10進法(2進法でも3進法でも同じだけど)での表記は１通りまたは２通りある
というだけ >>262
関数f(X)=1/Xで
Xが無限に発散するときf(x)はゼロに限りなく近づくんだよ
だけどx軸とは平行じゃないのに絶対に交わらない（これを収束っていう）
上記>>1の問題は1/3に収束するんです
高校の定期試験で出ますｗ 本当ですｗ
ちなみに偏差値45のバカ高ですｗ >>275
何進数だろうが同種の問題が生じる
→「○進数だからという問題ではない」ってことね
実数の無限小数表記自体が含む問題（何進数かによらず） 1/3×3=1になるん？
1/3で0.3333・・・・・・でそれに3掛けても0.999・・・じゃねーの？ この問題は単に猿には理性が無いと言う問題でしかない。
猿が「理性の無い自分が理解出来ないのはなぜだ？」と問うている。
知らんがな。お前がバカなのはオレのせいではない。
はい、論破ｗ 数学は何のために存在してるかを考えたらよい。
数学が数学でしか使えないものでは意味がない。
1＝0.9999･･･と言う実証不可能な物は役にたたないのだよ。
1つの物がある。0.999…と言う1に限りなく近いものがある、で意味を分けて使い分けるしかない。
1＝0.9999･･･は数学で表した世界での話の事だ。 >>256 一番謎なのは 絶対零度T=0のように エントロピー＝ゼロというのが何かが定義されてない（っぽい）ところ
絶対値が分からない a ÷ 3 = b の時、b * 3 = a は成り立つか？
ケーキで考えると、包丁に付いたクリーム分減ってしまう >>280
それは例え話が通用する範囲においてのみ
左辺に「...」が入った時点で接触するかどうかと等号成立は無関係 そもそも循環少数をご存じだろうか？に「はい」と答えて、
「数字の上に「・」をつけて繰り返す部分を表現します。
0.999...という表現、記載方法自体が不適切です」って答えて終わりじゃね？
知らない方が問題なわけで >>268
ちょっと違うな。
紙は折れないでしょとか面積どうなんだよ、って違和感あるけど、
この棒の思考実験は単純に継ぎ足すだけだからね。
小さすぎるとか物質は有限とかいう屁理屈はなしね。そこは思考実験だから。 >>277
ゼロの階乗が１とかlog１はゼロとか言うのと同じか。
そう定義しないと都合が悪い。 3進法で考えれば
0.1*10=1
これじゃだめ？ >>104
＞ x=0.9999… とすると
＞ x = 1
矛盾してまんな >>195
そもそも「三等分」って単語の意味を知らんだろ 割り算の度に進数を切り替えるのか?
分数のままにすれば良いだけだよ 収束するから最終的には1になる
収束って、意味わかるカナ？ﾄﾞﾔｧ >>37
つまり、半径1/2の円の面接は循環小数だと、君はいうのだね。
とすると、循環小数x循環小数は循環小数だから、
πは循環小数でなければならない。
困ったね。それは事実に反する、 0.99999999…を 10倍にすると9.99999999…。
そこから元の0.99999999…引くと9。
これは0.99999999…を9倍した数だから
0.99999999…=1だな １を３で割ったら0.9999・・・と余り0.00....1だろ
余りを書いてないだけ 神様「１という概念を作ってと。あ！ ０．９９９９・・・と一緒になってしまった。まあええやろ。考えるのめんどくせー」
↑
こうして、この世界は神のどんぶり勘定で創られたのであった。 数学の良いところは
都合よく、あらゆるルールを付加できる点だ。
ルールを無視すると、数学なんて成立しない。
だから不思議でも何でもないよ １＝０．９９９９９。。。は同じものだと思っていいんじゃない？ >>303
あのさ、こっちは等号とか「・・・」とか、一言も一文字も書いてない。
最初の問題文をちゃんと読んだ？
どこに等号があった？・・・があった？
おれは、１ｍの天井に向けて継ぎ足し続けた棒は届いて接触するのか？って思考実験を問いかけてるの。
数学の教科書の受け売りに閉じこもって逃げるのはやめてねｗ >>311
いやそれは「３つに分ける」でもいいんだけど、
要するに、ベンツのマークみたいな形を発想できない、
という話。 >>270
余計なレスをして汚すなよ
熱よりもブラックホールの方がエントロピーが増大している事くらい知ってるわ
高い位置にある物体と、低い位置にある物体、どちらがエントロピー少ないか分かるか？ >>312
何進数にしたところで、表現出来ない数値は出てくるからな。 >>300
あ、それは良い指摘。
エントロピーは常に差、変動分ばかりが問題になる。
エントロピーの総量が何を意味するかは実は未解決な問題。 >>38
一文字で表記するとは？
なんか命題の作り方が文系ぽいな。 >>303
グラフを棒に置き換えただけの話だろう
交わるのか否かで交わらないのだから >>307
別にそう定義しなくてもいいけど
そうする方が自然というだけ >>320
前スレで「接触しない」って答えたら
「じゃあ一致しないだろ」って返されたからな
前スレとは別の人？ 割り切れない数がその時点で”無理数”であることを理解しないと駄目
そんな無理数と無理数の掛け算なんて意味を成さない
よって、こいつそもそもがアホｗ >>319
それが正解だよね。
矛盾をとことん消すためにルールを張り巡らせるのが数学
日常生活の感覚と相容れない部分があって当然 余りを書いてないだけだろ
余りを書いてないだけだろ
余りを書いてないだけだろ >>296
1/3=0.333…の答えにはなっていると思うけどなー 1/3 は1/3という数値なので、小数にして誤解を受ける
ようなことは、必要ない。 >>306
前スレで指摘していた人達はそれと似た違和感、というか、これがうまく言えないんだけどね
要するに、紙は折れないでしょとか面積どうなんだよ、って屁理屈はなしね。そこは思考実験だから。逃げちゃだめ、実際に紙を折るんだ！無限になる？と言っているのと同じだよ、と。 >>301
9人を3人ずつグループに分けると3グループできる a ÷ 3 = b
3グループで1グループ当り3人なら合計9人 b * 3 = a
成り立つな
ん？違うの？ 1/3=0.3333じゃない
1/3は少数値で表せてないってことだろ ＞等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
今時マルサスでも等比級数はないだろう
無限の時も数列でいい 数Ⅲの最初に出てきて
内容は昔の「はみピ」にあったネタだね >>330
１ｍという高さに棒の長さが一致しない。ということを認めるのね？ >>21
買ってきたリンゴのコピペみたいな感じかな？ >>56
普通にあるが？
なんでMatLabが大人気だと思っているんだ？ 規格の違いでしかないものを謎とか呼ばれてもな
実生活でも同じ材料でも製造方法で違いが出るもんだろ エントロピーはなぜ差、変動分ばかりが問題になって
総量が問題にならず、それで全部話しが完結出来るのは
一体なぜなのか？
これは実は非常に深刻で重要な問題だよ。
今のところ答えを知っている人間はこの世に存在しない。
その通り
1/3は1/3としてしか表せないんだよ
0.3333・・・・・・とか言ってる時点でアホｗ >>316
そうだよね。つまり1／3＝0.33333.....ではなくて
近似値であると言う事だよね。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
