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【循環小数】1/3×3=1なのに0.33333…×3=0.99999…の謎 ★2

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0001ばーど ★
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2019/11/05(火) 15:04:28.98ID:2jbus2v29
■摩訶不思議!「循環小数」の世界

「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6=1÷6=0.166666……」「1/9=1÷9=0.111111……」「1/11=1÷11=0.090909……」などが循環小数である。

私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3=0.33333……』。この両辺を3倍すると『1=0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。

まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9+0.09+0.009+0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。

たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「(1−公比)分の初項」となる。

したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「(1−1/10)分の0.9」、すなわち「0.9/0.9=1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。

■石には粉

もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7=1÷7=0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857=いしにはこな(石には粉)」と覚えている。

この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1=142857」「142857×2=285714」「142857×3=428571」「142857×4=571428」「142857×5=714285」「142857×6=857142」。何かに気づかないだろうか。

答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7=999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。

循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。


2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg

★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/
0033名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:12:52.91ID:kJCy4TgO0
>>21
一人一個じゃダメなん?
0034名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:13:33.43ID:yIbbzCax0
スレタイのとおり
1/3×3=1だし、0.33333...×3=0.99999...だし
何が謎なのか

1/3=0.33333...とするなら1=0.99999...だし
逆に「0.99999...は1じゃない」というなら「0.33333...だって1/3じゃない」
0035名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:13:34.29ID:gLU8m26H0
これは1に等しいのは常識で
むしろ「なぜ人は0.999... = 1 と思えないのか」が教育上の研究課題になるレベルの話
0036名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:13:41.90ID:Tuv9uPm50
循環小数なんて小学生の時習った気がするが
摩訶不思議とか思う方が、摩訶不思議だわ
0038名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:13:47.44ID:iOWzyl9l0
・一文字で表記する数量が、進数の約数でない場合は循環小数になる

これが命題。あとは誰か証明してくれ。1/7も循環するし
0039名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:13:49.72ID:VLqoJ+Tj0
1/3×9=0.33…×(10−1)
3=3.33…−0.33…
3=3
0041名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:13:59.39ID:2sZvH7Cq0
当たり前すぎて問題にすらならない
文系君が頭ひねって楽しむ話題じゃないのコレ?
0042名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:14:02.66ID:QvkdYieh0
おい!これ高校で習うだろwww
0045名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:14:57.21ID:k2fiFAPS0
ケーキを3つに分けて、分けたケーキをまた一つに戻そうとすると分ける前より包丁で潰れた分少なくなるだろ

0.999999…とはつまりそういうことだ
0046名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:15:02.37ID:RNPHBn0Y0
同じじゃないだろ
0047名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:15:04.20ID:Akg80A3y0
>>21
「カステラあるからみんなで食べようよ」って言う
0048名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:15:10.05ID:w/n9X4hs0
1×3÷3にならびかえ
0049名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:15:15.70ID:gLU8m26H0
この辺が初診での切り分け
・0.999...に「最後の桁」があるように思える
・0.999...が「静的な値でなく動きを含んだ何か」に思える
0050名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:15:17.44ID:IEkr6rC00
>>1
>「『1/3=0.33333……』。この両辺を3倍すると『1=0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」

この質問自体が答えなんじゃ?
そもそも3分の1を分数ではなく少数で表すと0.333…なるだけなんだから
それを3倍にしたら1になるわな。
0052名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:15:42.75ID:QMIq32vO0
>>21
好きなように分けろ、三等分とは言ってないよな
0053名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:15:49.37ID:d7me09/90
記事の出元がプレジデントオンラインだってことを考慮しないと。
プレジデント誌さんがやってるネットメディアなんだから。
0055名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:15:57.89ID:lx/9nka70
>>50
そうそう
だからベストアンサーは
「そういうことです」
0056名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:16:27.30ID:5sCohSQt0
>>1
そもそも小数で計算するなと

高校以降の数学で小数で計算することなんて特殊な例外を除いてないだろ
0057名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:16:30.40ID:L8VVxbf+0
1/3と0.3333333333…は別モノだからでしょ?
それ以外何かある?

もっと言えば
1÷3≠0.333333333…てだけでしょ?
0058名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:16:37.40ID:RlIdx1+N0
人間がこの世にいることの方が
よっぽど謎だろ
どうして男と女がいるのか?
考え出したら今晩もねれない
0060名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:17:02.57ID:ESJvFmfY0
バカなの?
誰が?
0062名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:17:23.49ID:wZDXNC/j0
>>34>>50
正解
0.33333…を「1/3を小数で表したもの」とするか否かの前提次第
0063名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:17:47.57ID:HyGIzUUu0
正3角形で考えると分かりやすい
一辺の長さは別になんセンチでもいい
0.333で割りきれない数字だったらそれを記号に置き換えたり1/3という考え方ができるわけ
0064名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:17:47.86ID:zTHhKsOr0
1個は1個。
1個のパンケーキを3等分するとカスが出るだろ?
だから 3.333333 x 3 = 9.999999 で間違い無い!
0065名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:17:48.03ID:QMIq32vO0
子供の誕生日にホールのケーキを買ってきて家族3人で等分した時に
おとうちゃんのが大きい!とかクリームいっぱいあるのがいい!とかで結果3等分にはならない
そういうことさ
0067名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:17:55.80ID:Ps266vDK0
>>58
> どうして男と女がいるのか?

単一だと、色んな合体が試せないやん(´・ω・`)
0068名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:18:16.97ID:QvkdYieh0
無限等比級数って高校で習う
limってやつねw
それが発展してテイラーの展開公式を習うだろwww
センター試験にも出るぞw
0069名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:18:52.40ID:vHpz7XZY0
1/3 = 5/15 を疑問に思わないのに
1/3= 0.33・・・ を疑問に思うのはなぜなの?


5/15 には 5個も切れ目が入ってるんだから 切れ目が入ってない1/3 とは違うだろ
0070名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:18:53.06ID:kJCy4TgO0
ロールケーキは三つに分けられるがカステラは三つ分けられるか?
みたいな話か
0072名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:18:59.42ID:bCkPmzym0
無限小と無限大は論理の外側にあるから
幾何学的論理は通用しない。
それは実験によってのみ確認される実用上の便宜に過ぎない。
アリストテレスの車輪が良い例だ。
0073名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:19:52.91ID:1CXsfV+Q0
観念で生きている人ってこういう質問する。
で、一生懸命説明しようとする先生ってそれが分かっていない。
0075名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:20:33.75ID:lbQb9DEB0
10進数では、1/3を正確に表現出来ないだけ。
3進数なら1/3を正確に表現可能。
0076名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:20:34.31ID:d7me09/90
>>21
これは基礎的な問題だね。
応用に進むと「4人家族に3連プリン」問題が出てくる。
0077名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:20:39.62ID:WxKZd6p+0
ただの記述の仕方の問題だよ
本来1/3は1/3としか書きようがない
0079名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:21:00.49ID:9SU8PVCz0
10cm=1Tという新しい単位を作ったとしよう
長さ1T(30cm)の棒を3等分したとき
1本あたり10cmと表記出来るがTを使っての小数では表せられんってことやろ
0080名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:21:06.73ID:CbGog/Fi0
無限ホテルの話だって理解しない人は 何度説明しても理解できん
>>1 がわからない人がいても 無理はない
0081名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:21:28.53ID:QvkdYieh0
マイナスとマイナスをたすとマイナスになるのに
マイナスとマイナスをかけるとなんでプラスになるの?
お前らじゃ分からなさそうw

ちっとは勉強しろよw
0082名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:21:29.39ID:y3nWInnW0
数字や理論がどうのより
人とのつながりのほうが大切だと思うの この世で生きていくには
0083名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:21:32.05ID:Ps266vDK0
>>74
ケーキを三等分するだろ
そうすると、スポンジが崩れたり、ナイフにクリームが付くだろ?
だから三等分したはずのケーキをくっ付けても、元通りにならないだろ
0086名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:21:57.57ID:WxKZd6p+0
>>37
2/1
0087名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:22:00.66ID:ZxVqrSO40
ワリキレナイ川
0088名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:22:16.13ID:gLU8m26H0
定期的に5chで伸びる算数・数学スレ
・掛け算の順序
・ゼロ除算
・1 = 0.999...
・確率問題全般

共通点は「よくわかってなくても議論した気になれる題材」
0089名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:22:22.79ID:8ceACVRA0
>>35
結論から理論を導き出そうとする人にとって理論を理論のまま考えることは難しいことなんだな
と前スレ見てて思った。
0090名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:22:39.43ID:QMIq32vO0
だってそういうものだもん

これじゃだめ?
0091名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:22:44.42ID:QvkdYieh0
循環小数は極限値のお話w

お前ら勉強してねーなw
0093名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:23:12.62ID:vKn3YA0o0
理系の出番だぞ?がんがれおまえら
0094名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:23:26.01ID:CJVeGiGb0
人間の指が10本だったからな
0095名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:23:26.45ID:BdvzIlIwO
1÷3
1を3で割ると0.3余り0.1、その0.1を3で3で割ると0.03余り0.01、その0.01を・・・
10進法では余りが無くなることはない。よって
=は使えない。
0096名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:23:47.54ID:KEHrH44P0
循環少数は有理数である

習わなかったのか?
0097名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:23:49.70ID:iOWzyl9l0
>>68
なんで収束するのと収束しないのがあるのかを聞いているわけだから
回答になってないけどな
0098名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:23:58.08ID:lbQb9DEB0
>>80
極限で発散しなければ、無限ではない。

無限ホテルの問題は、無限という概念にたいして演算してるからおかしい事になる。
0100名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:24:17.60ID:UBFwQxEq0
0.999....=1
は証明出来るけど。
両辺を10掛けた奴を引く。
0101名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:24:29.28ID:flUya7f30
>>49
最初から割り切れないから「…」が永遠に続くと説明させているので、終わりが無いのは分かっているけど、動的な印象はないな
0102名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:25:00.33ID:vKn3YA0o0
>>92
全ての理は・・・無限大数によって表される
0103名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:25:05.83ID:UBFwQxEq0
>>93
中学生の問題だけど。
0104名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 15:25:08.86ID:FhcDUKqc0
x=0.9999… とすると
10x = 9.99999…
10x - x = 9.999… - 0.999…
9x = 9
x = 1
つまり
0.999… = 1
0105名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:25:20.63ID:WxKZd6p+0
入力できないけど、3点リーダーじゃなくて、上に点を書かないと
0106名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:25:27.54ID:wZDXNC/j0
>>81
A地点の反対方向を向いて歩くと離れる、さらに反対方向に歩くとA地点からさらに離れる
A地点方向の反対を見て後ろ向きに歩くとA地点に近づく
0107名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:25:29.95ID:qH4Ixcu/0
10cmのウンコを3つに切ると1本は3.3cm
3をかけると9.9cmになるけど
包丁に付いてるウンコを足すと10cmになる
0108名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:25:39.74ID:VRQqmnR20
俺たちの時代は後から電卓やPCが登場してきたから
電卓やPCでの計算の見直しを筆算やそろばんでしたけど
今の若い子は電卓やPCが絶対だと思ってるからな
0109名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:25:53.84ID:QvkdYieh0
同じような話で
Y=1/X のグラフの曲線は絶対にX軸とY軸とは交わらない
高校で習ったろ!
0110名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:25:56.45ID:CbGog/Fi0
当たり前だけど この手の話は 分からない人ほど食いつくんで人気がある
「相対論は間違っていた」 とか 「熱力学第二法則はおかしい」 という類の人に
0114名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:26:11.93ID:UBFwQxEq0
>>71
10掛けた方が分かり易いぞ。
0118名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:26:33.54ID:dgg+eUiJ0
「こういう定義です」で終わる話
循環小数にしても無理数にしても実際には存在しないもの扱っているのにどうやって具体的なものに当てはめて説明しろと
0119名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:26:47.12ID:gLU8m26H0
両辺を10倍して辺々引く証明は簡易的にはありだけど、「極限操作と四則演算を入れ替えられる」ことを前提とするので厳密には説明不足
0120名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:27:12.36ID:WxKZd6p+0
>>94
20本
0122名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:27:26.26ID:KEHrH44P0
>>104
循環少数を有理数表現するための基本としてそれを習うと思うのだが
何でその部分だけ切り取ってこんなに盛り上がれるんだ
0123名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:27:39.06ID:UBFwQxEq0
>>91
極限値なのか?
中学生の証明問題だろ。
0125名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:28:00.22ID:Ps266vDK0
>>112
切ったカスとか、大きめのイチゴとか、上に乗ってる
砂糖菓子のサンタは、切った奴の特権だろw
0126名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:28:08.57ID:QvkdYieh0
>>106
残念だが0点w
数式で証明しないとw
数学なんだから
0127名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:28:17.62ID:z6J/8L1f0
1/3と0.333…は別物と考えればいいだけ
0128名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:28:23.25ID:UBFwQxEq0
>>81
数直線とベクトルの話。
0130名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:28:31.47ID:mwHprnyV0
個々の自然数の定義なんじゃないかな?1は「初項0.9、公比0.1の無限等比級数」。2や3にも同様の定義があって以下無限に定義可能。
0131名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:28:41.29ID:mEniuRqT0
掛け算と割り算が混入してる式では、( )がない限り掛け算優先で計算するんじゃなかったけ?
だから。1÷3×3=1×3÷3=1となると習った記憶がw
0132名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 15:28:49.11ID:moLSkobx0
1/3は状態、1割3は割るという行為、又は行為の最中

そういう違い
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