【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ スレタイのとおり
1/3×3＝1だし、0.33333...×3＝0.99999...だし
何が謎なのか
1/3＝0.33333...とするなら1＝0.99999...だし
逆に「0.99999...は1じゃない」というなら「0.33333...だって1/3じゃない」 これは1に等しいのは常識で
むしろ「なぜ人は0.999... = 1 と思えないのか」が教育上の研究課題になるレベルの話 循環小数なんて小学生の時習った気がするが
摩訶不思議とか思う方が、摩訶不思議だわ ・一文字で表記する数量が、進数の約数でない場合は循環小数になる
これが命題。あとは誰か証明してくれ。1/7も循環するし 1/3×9＝0.33…×(10−1)
3＝3.33…−0.33…
3＝3 >>20
柿1/3食えば 鐘が3回鳴るなり 1法隆寺＝0.99999… 当たり前すぎて問題にすらならない
文系君が頭ひねって楽しむ話題じゃないのコレ？ ケーキを３つに分けて、分けたケーキをまた一つに戻そうとすると分ける前より包丁で潰れた分少なくなるだろ
0.999999…とはつまりそういうことだ >>21
「カステラあるからみんなで食べようよ」って言う この辺が初診での切り分け
・0.999...に「最後の桁」があるように思える
・0.999...が「静的な値でなく動きを含んだ何か」に思える >>1
>「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」
この質問自体が答えなんじゃ？
そもそも３分の１を分数ではなく少数で表すと0.333…なるだけなんだから
それを３倍にしたら１になるわな。 >>21
好きなように分けろ、三等分とは言ってないよな 記事の出元がプレジデントオンラインだってことを考慮しないと。
プレジデント誌さんがやってるネットメディアなんだから。 >>50
そうそう
だからベストアンサーは
「そういうことです」 >>1
そもそも小数で計算するなと
高校以降の数学で小数で計算することなんて特殊な例外を除いてないだろ 1/3と0.3333333333…は別モノだからでしょ？
それ以外何かある？
もっと言えば
1÷3≠0.333333333…てだけでしょ？ 人間がこの世にいることの方が
よっぽど謎だろ
どうして男と女がいるのか？
考え出したら今晩もねれない >>34>>50
正解
0.33333…を「1/3を小数で表したもの」とするか否かの前提次第 正3角形で考えると分かりやすい
一辺の長さは別になんセンチでもいい
0.333で割りきれない数字だったらそれを記号に置き換えたり1/3という考え方ができるわけ 1個は1個。
1個のパンケーキを3等分するとカスが出るだろ？
だから 3.333333 ｘ 3 ＝ 9.999999 で間違い無い！ 子供の誕生日にホールのケーキを買ってきて家族3人で等分した時に
おとうちゃんのが大きい！とかクリームいっぱいあるのがいい！とかで結果3等分にはならない
そういうことさ >>57
> 1/3と0.3333333333…は別モノだからでしょ？
同値です >>58
> どうして男と女がいるのか？
単一だと、色んな合体が試せないやん(´・ω・｀) 無限等比級数って高校で習う
limってやつねｗ
それが発展してテイラーの展開公式を習うだろｗｗｗ
センター試験にも出るぞｗ 1/3 = 5/15 を疑問に思わないのに
1/3= 0.33・・・ を疑問に思うのはなぜなの？
5/15 には 5個も切れ目が入ってるんだから 切れ目が入ってない1/3 とは違うだろ ロールケーキは三つに分けられるがカステラは三つ分けられるか？
みたいな話か 0.9999…＝0.3333…x3＝1/3x3＝1 よって 0.9999…＝1 じゃん 無限小と無限大は論理の外側にあるから
幾何学的論理は通用しない。
それは実験によってのみ確認される実用上の便宜に過ぎない。
アリストテレスの車輪が良い例だ。 観念で生きている人ってこういう質問する。
で、一生懸命説明しようとする先生ってそれが分かっていない。 10進数では、1/3を正確に表現出来ないだけ。
3進数なら1/3を正確に表現可能。 >>21
これは基礎的な問題だね。
応用に進むと「4人家族に3連プリン」問題が出てくる。 ただの記述の仕方の問題だよ
本来1/3は1/3としか書きようがない >>68
出ないぞそんなもん
テイラー展開なんて極限の定義やってからだし 10cm＝1Tという新しい単位を作ったとしよう
長さ1T（30cm）の棒を3等分したとき
1本あたり10cmと表記出来るがTを使っての小数では表せられんってことやろ 無限ホテルの話だって理解しない人は 何度説明しても理解できん
>>1 がわからない人がいても 無理はない マイナスとマイナスをたすとマイナスになるのに
マイナスとマイナスをかけるとなんでプラスになるの？
お前らじゃ分からなさそうｗ
ちっとは勉強しろよｗ 数字や理論がどうのより
人とのつながりのほうが大切だと思うの この世で生きていくには >>74
ケーキを三等分するだろ
そうすると、スポンジが崩れたり、ナイフにクリームが付くだろ？
だから三等分したはずのケーキをくっ付けても、元通りにならないだろ 定期的に5chで伸びる算数・数学スレ
・掛け算の順序
・ゼロ除算
・1 = 0.999...
・確率問題全般
共通点は「よくわかってなくても議論した気になれる題材」 >>35
結論から理論を導き出そうとする人にとって理論を理論のまま考えることは難しいことなんだな
と前スレ見てて思った。 こういう奴は、点とか線とかにも
文句言いそうだなw 1÷3
1を3で割ると0.3余り0.1、その0.1を3で3で割ると0.03余り0.01、その0.01を・・・
10進法では余りが無くなることはない。よって
＝は使えない。 >>68
なんで収束するのと収束しないのがあるのかを聞いているわけだから
回答になってないけどな >>80
極限で発散しなければ、無限ではない。
無限ホテルの問題は、無限という概念にたいして演算してるからおかしい事になる。 0.999....＝1
は証明出来るけど。
両辺を10掛けた奴を引く。 >>49
最初から割り切れないから「…」が永遠に続くと説明させているので、終わりが無いのは分かっているけど、動的な印象はないな >>92
全ての理は・・・無限大数によって表される x=0.9999… とすると
10x = 9.99999…
10x - x = 9.999… - 0.999…
9x = 9
x = 1
つまり
0.999… = 1 入力できないけど、３点リーダーじゃなくて、上に点を書かないと >>81
A地点の反対方向を向いて歩くと離れる、さらに反対方向に歩くとA地点からさらに離れる
A地点方向の反対を見て後ろ向きに歩くとA地点に近づく 10ｃｍのウンコを3つに切ると1本は3.3ｃｍ
3をかけると9.9ｃｍになるけど
包丁に付いてるウンコを足すと10ｃｍになる 俺たちの時代は後から電卓やPCが登場してきたから
電卓やPCでの計算の見直しを筆算やそろばんでしたけど
今の若い子は電卓やPCが絶対だと思ってるからな 同じような話で
Y=1/X のグラフの曲線は絶対にX軸とY軸とは交わらない
高校で習ったろ！ 当たり前だけど この手の話は 分からない人ほど食いつくんで人気がある
「相対論は間違っていた」 とか 「熱力学第二法則はおかしい」 という類の人に つうか、０．３３３３・・・・って言う前に通分しろよ 十進法だからだろ
12進法ならこういう問題は起こらない 「こういう定義です」で終わる話
循環小数にしても無理数にしても実際には存在しないもの扱っているのにどうやって具体的なものに当てはめて説明しろと 両辺を10倍して辺々引く証明は簡易的にはありだけど、「極限操作と四則演算を入れ替えられる」ことを前提とするので厳密には説明不足 >>104
循環少数を有理数表現するための基本としてそれを習うと思うのだが
何でその部分だけ切り取ってこんなに盛り上がれるんだ >>110 俺もいまだにエントロピーの計算方法が分からないんよ >>112
切ったカスとか、大きめのイチゴとか、上に乗ってる
砂糖菓子のサンタは、切った奴の特権だろｗ >>106
残念だが０点ｗ
数式で証明しないとｗ
数学なんだから 個々の自然数の定義なんじゃないかな？１は「初項０．９、公比０．１の無限等比級数」。２や３にも同様の定義があって以下無限に定義可能。 掛け算と割り算が混入してる式では、（ ）がない限り掛け算優先で計算するんじゃなかったけ？
だから。１÷３×３＝１×３÷３＝１となると習った記憶がｗ 1/3は状態、1割3は割るという行為、又は行為の最中
そういう違い ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
