【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ >>411
全く逆
「...」という記号の意味を収束先の値として定義するしかないからその意味で等号で結んでいる わからない奴はこれを見ろ↓
x=0.999999･･･ とすると、
10x=9.999999･･･
この２式を引き算してみろ。
x=1になるから。 循環小数がなぜ存在するか、を考える方センスとしてはよい。
1でしかないと言うのはただの放棄にすぎない。 >>408
物理に縛られているというより、この思考実験のメリットは
物理的に明確に判定できるって点なんだよ。
接触するかどうか。それだけ。
紙の話は「折る」ってのが面倒だよね。
半分に割って積み重ねる、とかならよかったのに。 1/7の結果に7をかけると突然！
なんか騙されてる気がする このスレを見てると一般人が非ユークリッドについて語れるようになるのは当分先だろうな思いました。 >>402
一個のやつを１使えばいいんよ
冷蔵庫に象が入らなくなるので、その方法はダメだね
間違って無いことが証明されたのだから
正しいのだ。
また、数学ではそれ以外の正しさなど無いのだ。
これを理解出来ないヤツは数学を理解するのは不可能。
グラフの曲線とX軸が平行じゃないのになんで交わらないのか？
それは無限にエンドレスで続くから
X軸に無限に限りなく近づくのに絶対に交わらない
それはX軸とイコールということｗ
これは高校で習う
数学の基本 1/3と0.33......は、げんみつにはちがうからでしょー！ いや、それよりも
1+1+1+1+・・・・=-1/2と
1+2+3+4+・・・・=-1/12をだれかアホな俺にも解るように教えてくれ!!! >>409
というか、そもそもあんまいい思考実験じゃないと思うわ
物理的制限がある所に無限に足してったら、原子の小ささまでいって絶対いつか接触しちゃうやんって俺には思えちゃう >>404
近づいていくけど絶対に天井に接触しえないことは、継ぎ足す棒の長さの定義から明確だよね？
さぁ、１ｍの高さの天井に届かない棒の長さを「１ｍだ」と言っていいのかどうか。
答えは？ >>432
その説明も数学的には誤り、極限からやり直そう >>427
…を使うからには…を使い切って欲しいだけだと思う
√や四則演算みたいに >>432
循環小数が不完全な表記という議論が分かってないｗ 1＝0.99999…は質問されるのに
1/3＝0.33333…はスルーされてて草 Wolfram Alphaなどの理系の計算ツールだと1になるから
技術計算は専門ツールを使えば問題ない しかし、お前ら>>1読んで分からないの？
数学ダメダメだなｗ
偏差値45ないｗ 現行の数学の公理系を認める限り、
0.00000000001の1が無限の彼方に飛んで行ったら
それは０と完全に同じなのだ。
なぜならそれは厳密に証明されているから。
気に入らないなら他の公理系を作って、それが有効であることを自分が示すことな。
それをやらずにただ文句言っても聞くものは居ない。
>>446
それは自分でも思ったけどもｗ
いつか「原子レベルまでいったら、そんな長さの継ぎ棒は作れない」になっちゃうね
でもそこを無視して、どんなに小さくなっても作業を続けられるのが思考実験なのだ 極限概念を理解すらば
こんな長長、議論しなくていいのに
なぜそれを避けて
堂々巡りをやってるんだ？ アキレスは亀の十倍速いとする
アキレスは亀の1メートルあとから出発する
アキレスが1メートル進むうちに 亀は0.1メートル進む 両者の距離は0.1メートル
アキレスが0.1メートル進むうちに 亀は0.01メートル進む 両者の距離は0.01メートル
以下 「無限に」 繰り返すと両者の距離は 0.0000... （0が無限に続く）となる
アキレスは亀に追いつけるか？ （距離がゼロになるか？）
現実世界ではどうなのか？ 計算の順番が違うから答えが変わることはあるでしょう？
毎回このパターンだよな。 >>429
0.333... を数列（動くもの）と思ってる人の典型的な間違い
0.333...自体が定数であって、収束もクソもない >>425
そうだな。おれが少しは分かりやすく説明してあげよう。例えるとネトウヨとパヨクだ。
彼らは真逆の主張をするが、彼ら自身の視点では、自らの論理は正しく主張する歴史も正しいと思っている。
だが普通の一般人、普通に数学が分からない人にとっては、彼らの話は捏造だらけだ。
むしろ彼らの区別すること難しい。まるで無実現と可能無限のようにだ。 ルート2=±1.41421356...
なんだが
±1.41421356...を2乗しても2にならねーじゃねーか！
と言ってるのと同じ
まじ、やべーわｗ >>14
小中高校での講演で質問するのは教員だと思ってる？ そして>>1を読んだ上でも、1=0.9999999...が正しくないと思ってる？ >>462
どれだけ棒を伸ばしても最終的に0.00…001の隙間ができるってのが君の主張で合ってる？ >>447
接触しない
棒の長さは決して1にならない
しかし0.999... = 1である
なぜなら左辺は「棒の長さ」ではないから >>464
よくわからんが結局、アキレスは亀に追いつけるのか？
つか、どういうふうに考えれば、アキレスは亀を追い越せるんだろうな マエ ノ スレド ノ >>754 ノ チキウビト ノ シト
チキウビト ノ モウソウ ナノレス
チキウビト ハ アタマ ラケ ミテ シッポ ハ ミナイ ノ レスカ ？
ワタス ノ ホシ レハ
1÷3=0.2
1÷5≠0.1111・・・
ナノレス
アナタ ノ ホシ レハ
1÷3=0.3333・・・
ナノ レスカ ？
0.3333・・・×3=0.9999・・・=lim(n→∞) [1−(0.1)^n]
レ
lim(n→∞)[(0.1)^n]=0.0000・・・=0
ラカラ
0.9999・・・=1
トイウ コト ナノレスカ？
アナタ ノ ホシ レハ
dy/dxのdx
ハ
0
ナノレスカ ？
dy/dx=0/0
ナノレスカ ？
アナタ ノ ホシ レハ ビブン トイウ ガイネン ハ ナイノ レスカ？
ワタスノ ホシ レハ ビブン トイウ ガイネン ガ アルノレス
ラカラ
0.0000・・・≠0
ナノレス
ラカラ ワタスノ ホシ レハ
0.9999・・・≠1
ナノレス
ヨッテ ワタスノ ホシ レハ チキウビトノ ケイサン ホウホウ レモ
1÷3≠0.3333・・・
ナノレス
ワカリ マスタカ？ >>462
無限に分割できそうな時間でいいんじゃね？
0.99999…秒は1秒に達するのかどうか >>476
距離＝時間×速度の計算で簡単に追い越せる。 最近３つの立方数の和が１になるものからから１００になるものまで
すべて見つけるという問題で３３と４２が６０年以上見つけられなかったのが
たくさんのコンピューターを連動して動かす技術でついに見つけられたらしい 極限を使ったとしてもなんで3が循環するのか説明になってないよ
4や5はならないのに
と言うか３の循環の仕方が奇麗過ぎるんだよね
7みたいに汚ければ我慢するけど、3は3が並びすぎ お前らまずは「...」を数学的に厳密に定義するところから説明しろよ
なんとなく「ずっと続く」みたいなイメージしか持ってないから定義の問題だということに気付かない 無限ってイメージできないよね
どうしたって「そんなこと言ってもいつかは割り切れるんじゃないの？」って思っちゃうわｗ
割り切れないものを無限と割り切れる人が理数系に進むんだろうなー >>455
え？当然何度も接触しないって言ってるけど 1/3 = 0.333… は 1÷3 を筆算したら確認できるよね
無理に小数で表記しようとしたら無限小数になっちゃうだけだよ >>131
俺は（ ）がない限り順番はないと聞いたから
1Ｘ3÷3で良いと思う
または三分の一×３ 数学上わざわざ余りを書く必要が無いから省略してるだけで
特にたいした意味ないだろ 0.00000000001の1が無限の彼方に飛んで行ったって
1があるものはあるじゃんか、
消えるわけじゃ無いだろ
そう言い張ってもいいんだよ。
ただその言い分を正当化するのは現行の数学の公理系上では全く不可能。
別の公理系を作って、それが有効であることを示せばいいだけ。
はい、どぞ
↓ もうちょっとタンサー5スレかと思ったらそうでもなかった。 0.99999…=1が理解出来ないと微分が理解出来ない。
微分が理解出来ないと積分が理解出来ない。
要するに知恵遅れを自称していい。www 1＝0.999…の証明を数学以外で、
わかりやすく証明した人間は居ないんだよ。
これできたらたぶんノーベル賞ものだよ >>475
そんなことは尋ねていない。
１ｍの高さの天井に棒が接触する時、棒の長さは１ｍであるといえるが、
この作業を繰り返してできる棒は天井に接触するのかどうか？
それだけを尋ねている。
そして、すなわち、天井に接触しない棒の長さは、絶対に１ｍではない。 >>486
10進数だからだよ
余り1になる表記にどんな数でもなる >>476
アキレスが追いつくまでの（有限）時間を無限のパーツに分割しただけ
無限に分割して考えることができるからと言って、有限時間で追い付けないことにはならない 循環小数は
無限級数
極限値（lim）
グラフ
これが理解できてないとエンドレスで分からないｗ >>476
現実には アキレスは亀に追いつく そして追い越していく
アキレスは追いつくまでに無限に続くステップを踏んで1メートルの差を詰めていく
（「現実に」というときは 有限の時間内でという注釈が大事だが）
追いついたときには 「誤差」 なんてものは存在しない それだけの話だよ >>486
それは10進数だからたまたまそうなっただけ
10進数の0.333…も3進数では0.1と書けるし >>498
何度も答えている通り
接触しない
棒の長さは1にはならない
で？ >>496
理解するんじゃなくて
本当は1じゃないんだけど数学的便宜上1として計算しようというルール 0.00000000001の1が無限の彼方に飛んで行ったって
1があるものはあるじゃんか、
消えるわけじゃ無いだろ
そう言い張ってもいいんだよ。
ただその言い分を正当化するのは現行の数学の公理系上では全く不可能。
別の公理系を作って、それが数学的に豊富な内容を持ち、有効であることを示せばいいだけ。
はい、どぞ
↓ …は手順を意味しているんだろうな
そういえば手順の数学って習ってないな
確率やら組み合わせは習ったけど
プログラムで勉強するのかしら >>507
手順というより「手順の結果得られる値」 演算とアレがごっちゃになってるだけだな。１つを３つに割りました。そのうちのひとでーすｗ １ｍの天井と棒の話で、
数学の人達は「だけど、0.999・・・＝１であることは変わらない」みたいに言い張るけど
逆にこの１ｍの天井と棒の話を数学的に表現したらどうなるの？って聞いてみたい。
数学はいろんな現象を厳密に表現するツールじゃなかったのか。 循環小数や極限値が理解できないと
エンドレスで微分法が理解できない
俺は高2で習ったよｗ
工業高校偏差値４５w
これが理解できないと電気工事士とかの免許も取れないｗ 0.3333…×3＝1
これでいいでしょ
なぜ0.9999…にするのか >>504
その時の棒の長さを数学的に表記してくださいってこと。 >>21
簡単やん
カステラ３つを四等分すれば12個になる
一人4つも食えるやん 0.999…と言う数字が1に満たない数と言う意味を含んでる以上、
0.999…は1ではないと言う見方が出るのは仕方ないし、その方が自然なんだよ。 掛け算って教えるの難しいよね
特に0掛けると0の説明とか 表現が異なるだけで同じ内容ってことでいいのに、
なんでごちゃごちゃ言うかな
それより
>循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、
>先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
酒の席でこんなふざけたネタを言うようなら、ぶん殴ってるよ
こんなネタより、どうしてパンティにはリボンがあるのか、を語れ
俺が中学生の時、隣の席の好きだった女子に教えて貰った時は、めちゃくちゃフル勃起した そもそも接触の定義はなんだよ
分子レベルではなにも接触してないし
常に距離は揺らいでるだろ とりあえず正しい解説のテンプレ誰か書いて
気が狂いそう >>218
> １ｍの天井に、めっちゃ近いけど絶対に接触しない棒の高さは？
> やっぱり0.99999999999・・・ｍって書くことになるんじゃね？
ならない。
お前の書いてるのは数学じゃなくてお前の編み出した謎学。
お前の謎学についてはチラシの裏にでも書いてろ。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
