【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ >>486
それは10進数だからたまたまそうなっただけ
10進数の0.333…も3進数では0.1と書けるし >>498
何度も答えている通り
接触しない
棒の長さは1にはならない
で？ >>496
理解するんじゃなくて
本当は1じゃないんだけど数学的便宜上1として計算しようというルール 0.00000000001の1が無限の彼方に飛んで行ったって
1があるものはあるじゃんか、
消えるわけじゃ無いだろ
そう言い張ってもいいんだよ。
ただその言い分を正当化するのは現行の数学の公理系上では全く不可能。
別の公理系を作って、それが数学的に豊富な内容を持ち、有効であることを示せばいいだけ。
はい、どぞ
↓ …は手順を意味しているんだろうな
そういえば手順の数学って習ってないな
確率やら組み合わせは習ったけど
プログラムで勉強するのかしら >>507
手順というより「手順の結果得られる値」 演算とアレがごっちゃになってるだけだな。１つを３つに割りました。そのうちのひとでーすｗ １ｍの天井と棒の話で、
数学の人達は「だけど、0.999・・・＝１であることは変わらない」みたいに言い張るけど
逆にこの１ｍの天井と棒の話を数学的に表現したらどうなるの？って聞いてみたい。
数学はいろんな現象を厳密に表現するツールじゃなかったのか。 循環小数や極限値が理解できないと
エンドレスで微分法が理解できない
俺は高2で習ったよｗ
工業高校偏差値４５w
これが理解できないと電気工事士とかの免許も取れないｗ 0.3333…×3＝1
これでいいでしょ
なぜ0.9999…にするのか >>504
その時の棒の長さを数学的に表記してくださいってこと。 >>21
簡単やん
カステラ３つを四等分すれば12個になる
一人4つも食えるやん 0.999…と言う数字が1に満たない数と言う意味を含んでる以上、
0.999…は1ではないと言う見方が出るのは仕方ないし、その方が自然なんだよ。 掛け算って教えるの難しいよね
特に0掛けると0の説明とか 表現が異なるだけで同じ内容ってことでいいのに、
なんでごちゃごちゃ言うかな
それより
>循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、
>先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
酒の席でこんなふざけたネタを言うようなら、ぶん殴ってるよ
こんなネタより、どうしてパンティにはリボンがあるのか、を語れ
俺が中学生の時、隣の席の好きだった女子に教えて貰った時は、めちゃくちゃフル勃起した そもそも接触の定義はなんだよ
分子レベルではなにも接触してないし
常に距離は揺らいでるだろ とりあえず正しい解説のテンプレ誰か書いて
気が狂いそう >>218
> １ｍの天井に、めっちゃ近いけど絶対に接触しない棒の高さは？
> やっぱり0.99999999999・・・ｍって書くことになるんじゃね？
ならない。
お前の書いてるのは数学じゃなくてお前の編み出した謎学。
お前の謎学についてはチラシの裏にでも書いてろ。 >>476
常に亀が先に進む設定を捨てた方がいいよ 10進法の場合
実数にその表記として少数を対応させることを考えると
分母に2と5しか因数として含まない有理数の少数表記は
有限小数と、999・・・が続く無限小数展開の2通りがある
例えば1については、有限小数である1と、無限小数である0.999・・・の2通り
表記としては違う形をしているが、対応元の実数本体は同じなので、1=0.999・・・となる
一方、無理数とそれ以外の有理数の少数表記は、無限小数の1通りのみ 3進法なら1/3は0.1
0.1×3=0.3=1
何も不思議はない
要は記法の問題でしかない
おまえらはいつも見た目にだまされる 0.999999..... が 1 ではないという人は
アキレスが 「まだ」 亀に追いついていないといってるのと同じ
追いつく前の話をしているならそれでもいい
しかしアキレスは追いつく そして追いついたときには 「隙間」 なんてものはない ε-δ論法を知らない高卒だろ
直感的には1-0.999…はどんな正数にもならない
だから0。よって1=0.999… 掛け算なんだから、途中の数字で計算始めるから計算合わなくなるんだろ。
極端、1/4*4を計算するのに1/4の結果0.25を0.2として、0.2*4の計算が0.8で1にならないと騒ぐようなもの。 酒の席でこの話しても、知ってる人は、で？ってなって、知らない人は説明されても理解できなさそう
と、前スレを見て思った >>498
実際木材を切って、厳密に1mになってない木材でも天井に接するよね
大雑把に1mにはなってるけど、本当に数学的に1mになってる木材ばかりじゃない >>528
普通はそうだよな。
理解できないバカがいるだけで。あれは文系でも理系でもない、ただのバカ。 >>505
便宜上なんて数学のような自然科学ではありえましぇんｗ 天井の棒の人が言ってる棒は「0.999…m」じゃなくて「0.999…999m」なんだよ
勝手に頭の中で無限の最終地点を想像しちゃってる 宝くじが当たる確率は数学的にゼロと見做していい数だが、
宝くじに当たる奴は確実にいる。
そういうこと。 算数視点で見るか数学理論視点で見るかで解釈が変わる >>542
接触した木材を測定しなおしてみ？たぶん１ｍあるから。 自分たちが勝手に作った概念で矛盾なり謎なり作るって無駄な学問だなあ
もっと実用的な学問やった方がええよ >>402
天才あらわる。つまり私が2パック、妻と2人の子どもたちが2個ずつ分ければいいのか！(´･ω･｀) 微分積分がサッパリというやつが結構いるけど
こういうとこで引っかかるんだなｗ
無限に1/3に近づくんだもの答えは1/3しかないじゃんｗ >>536
Σ[k:1〜n](9/10^k)
だろうな 地球の赤道（6,378.137km)にロープを一周巻き付けるじゃん？
そのロープにπメートル（3.14メートル）だけ継ぎ足して均等に浮かすじゃん？
そしたら1メートルも浮くじゃん？
信じられないじゃん？ 無限の時間を越えた時に亀においつく
か、時間は無限に分割できないか >>549 >>550
ｎ回目で接触しなかったとき、ｎ＋１回目で接触しますか？
って問えばいいのかな？ >>453
循環小数が不完全な表記って、お前以外に誰か提唱してるの？
お前の珍説ならまあ構わんが。 文系用に説明すると
数学的な取り決めで実際そうでなくてもそういう事にするという取り決め >>563
間違ったじゃん？
0.5メートル浮くじゃん？ 大根もちんぽもよく日光に当たった部分の方が旨いけどな 「...」の数学的に厳密な定義から始めない人の戯言は全部嘘 収束するとは言っても１ではない
世の中そんな計算ばっかりしてるんだから、どっかでとんでもない間違いが起こったりして >>551
ロト6の当選者が三人いたらどうなるかみたいな話じゃね ようは
ブスは３日で慣れる
美人は３日であきる
という事
どっちもどっち（うそだけど…） 数学上0.999…＝1なのは証明されてるし、
そんなのみんな分かってる。
0.999…と表した時に、1ではない0.999…として扱うのは意味的に通じるが、
0.999…と表した時に1として扱うには、数学上でしか無理なんだよ。
つまり二つの解釈の仕方が成立するんだよ。
0.999…が1である事を数学以外で実証できねんだからよ。 >>566
するかもよ
君が無限に繰り返しても隙間あるじゃん！って言った次で接触するかもしれない
もしかしたそこから100万回後に接触するかもしれない
さらにそこから無限回後なら接触するんじゃね？
そんなのどこまでやっても接触しないよ！って君が思った地点からさらに無限回繰り返してみな
接触するかもよ
なんでしないと思うの？ 10進数がそもそも無理があるんじゃないか？
そもそも1という状態が存在しない。
量子的には1対つまり偶数しか存在しないんじゃ無いかな？根拠はねー。 でもグラフにすると
十進数の0.00…001と
二進数の0.00…001では収束するまでの線が違うよね
限りなく十等分した値の端と
限りなく二等分した値の端では おかしいな。
俺は>>432の話を初めて聞いた時は、
感動したんだが・・・。 少数考えた奴が馬鹿で負けず嫌いだったんだよ
0.33....
って思考放棄してるだけやで >>540
>>564
いや アキレスは追いつくよ 常識で考えてもそうだし 実験しても
アキレスと亀のたとえをすると 時間の要素が絡むから面倒ね
棒で隙間埋めようとしている人も時間の概念が頭から離れないので
「終わらない」イメージ持ってるんだと思うな
実際には 「終わらない」 じゃなく 「終わった状態を考えている」 0.333…×3＝0.999…の時点で間違ってる気がする
割り切れない数字、人間が理解説明出来ないレベルだからやむなく0.333…ていう微妙な表現しか出来ないだけで無理矢理式に表すなら
0.333…×3＝1
って考えるだけでいいんじゃない？ 1/3は10進法の場合
少数表記すると0.333・・・の1通りのみ
一方3進法で少数表記すると
0.1と0.0222・・・の2通りが可能
つまり3進法なら、0.1=0.0222・・・、となる 量子コンピューターが計算したら、たぶんコンピューターが壊れるまで計算するわな >>585
わかりやすいから初等的にはOK
厳密には極限の性質を使わないと辺々引くとこで問題あり 電卓は有限だし
浮動小数点数表現は二進であっても十進であっても所詮は有限
ところが >>1 は末尾に・・・が付いている
この・・・がミソで
無限であるなら 0.9999・・・=1 が成立する ＞＞そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、
＞＞その値は「（1−公比）分の初項」となる。
↑
級数の基本
これ、理解できてる？これが分かってないんじゃね？
ちなみに高校の教科書にものってますｗ 「アキレスの亀」はこのスレッドの話題とは微妙にずれてると思うけど一言。
アキレスが亀に追いつけないのは前進してる証拠だよ。
もっともアキレスと彼の亀は一体なのだから追い付くも追い越すもない、
という考え方もある。
…あと、真面目な数学の話を期待してこの投稿を読んだ人には申し訳ない。 >>2
興味が無ければ放っておいてもかまわない。
人間誰しも毎日の食事は必要だけど、食材がどこでどうやって採取されているのか、どういう仕組みで流通しているのか、
誰がどうやって調理しているかなんてことを知らなくても飯は食えるということだ。 １２３４５ が１＋２＋３＋４＋５＝１５で、１５は３の倍数だから、 １２３４５も３の倍数とか
５９４ が ５＋９＋４ ＝１８で、１８は９の倍数だから、５９４も９の倍数とか
これ、どういう法則からきているの？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
