【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ ε-δ論法を知らない高卒だろ
直感的には1-0.999…はどんな正数にもならない
だから0。よって1=0.999… 掛け算なんだから、途中の数字で計算始めるから計算合わなくなるんだろ。
極端、1/4*4を計算するのに1/4の結果0.25を0.2として、0.2*4の計算が0.8で1にならないと騒ぐようなもの。 酒の席でこの話しても、知ってる人は、で？ってなって、知らない人は説明されても理解できなさそう
と、前スレを見て思った >>498
実際木材を切って、厳密に1mになってない木材でも天井に接するよね
大雑把に1mにはなってるけど、本当に数学的に1mになってる木材ばかりじゃない >>528
普通はそうだよな。
理解できないバカがいるだけで。あれは文系でも理系でもない、ただのバカ。 >>505
便宜上なんて数学のような自然科学ではありえましぇんｗ 天井の棒の人が言ってる棒は「0.999…m」じゃなくて「0.999…999m」なんだよ
勝手に頭の中で無限の最終地点を想像しちゃってる 宝くじが当たる確率は数学的にゼロと見做していい数だが、
宝くじに当たる奴は確実にいる。
そういうこと。 算数視点で見るか数学理論視点で見るかで解釈が変わる >>542
接触した木材を測定しなおしてみ？たぶん１ｍあるから。 自分たちが勝手に作った概念で矛盾なり謎なり作るって無駄な学問だなあ
もっと実用的な学問やった方がええよ >>402
天才あらわる。つまり私が2パック、妻と2人の子どもたちが2個ずつ分ければいいのか！(´･ω･｀) 微分積分がサッパリというやつが結構いるけど
こういうとこで引っかかるんだなｗ
無限に1/3に近づくんだもの答えは1/3しかないじゃんｗ >>536
Σ[k:1〜n](9/10^k)
だろうな 地球の赤道（6,378.137km)にロープを一周巻き付けるじゃん？
そのロープにπメートル（3.14メートル）だけ継ぎ足して均等に浮かすじゃん？
そしたら1メートルも浮くじゃん？
信じられないじゃん？ 無限の時間を越えた時に亀においつく
か、時間は無限に分割できないか >>549 >>550
ｎ回目で接触しなかったとき、ｎ＋１回目で接触しますか？
って問えばいいのかな？ >>453
循環小数が不完全な表記って、お前以外に誰か提唱してるの？
お前の珍説ならまあ構わんが。 文系用に説明すると
数学的な取り決めで実際そうでなくてもそういう事にするという取り決め >>563
間違ったじゃん？
0.5メートル浮くじゃん？ 大根もちんぽもよく日光に当たった部分の方が旨いけどな 「...」の数学的に厳密な定義から始めない人の戯言は全部嘘 収束するとは言っても１ではない
世の中そんな計算ばっかりしてるんだから、どっかでとんでもない間違いが起こったりして >>551
ロト6の当選者が三人いたらどうなるかみたいな話じゃね ようは
ブスは３日で慣れる
美人は３日であきる
という事
どっちもどっち（うそだけど…） 数学上0.999…＝1なのは証明されてるし、
そんなのみんな分かってる。
0.999…と表した時に、1ではない0.999…として扱うのは意味的に通じるが、
0.999…と表した時に1として扱うには、数学上でしか無理なんだよ。
つまり二つの解釈の仕方が成立するんだよ。
0.999…が1である事を数学以外で実証できねんだからよ。 >>566
するかもよ
君が無限に繰り返しても隙間あるじゃん！って言った次で接触するかもしれない
もしかしたそこから100万回後に接触するかもしれない
さらにそこから無限回後なら接触するんじゃね？
そんなのどこまでやっても接触しないよ！って君が思った地点からさらに無限回繰り返してみな
接触するかもよ
なんでしないと思うの？ 10進数がそもそも無理があるんじゃないか？
そもそも1という状態が存在しない。
量子的には1対つまり偶数しか存在しないんじゃ無いかな？根拠はねー。 でもグラフにすると
十進数の0.00…001と
二進数の0.00…001では収束するまでの線が違うよね
限りなく十等分した値の端と
限りなく二等分した値の端では おかしいな。
俺は>>432の話を初めて聞いた時は、
感動したんだが・・・。 少数考えた奴が馬鹿で負けず嫌いだったんだよ
0.33....
って思考放棄してるだけやで >>540
>>564
いや アキレスは追いつくよ 常識で考えてもそうだし 実験しても
アキレスと亀のたとえをすると 時間の要素が絡むから面倒ね
棒で隙間埋めようとしている人も時間の概念が頭から離れないので
「終わらない」イメージ持ってるんだと思うな
実際には 「終わらない」 じゃなく 「終わった状態を考えている」 0.333…×3＝0.999…の時点で間違ってる気がする
割り切れない数字、人間が理解説明出来ないレベルだからやむなく0.333…ていう微妙な表現しか出来ないだけで無理矢理式に表すなら
0.333…×3＝1
って考えるだけでいいんじゃない？ 1/3は10進法の場合
少数表記すると0.333・・・の1通りのみ
一方3進法で少数表記すると
0.1と0.0222・・・の2通りが可能
つまり3進法なら、0.1=0.0222・・・、となる 量子コンピューターが計算したら、たぶんコンピューターが壊れるまで計算するわな >>585
わかりやすいから初等的にはOK
厳密には極限の性質を使わないと辺々引くとこで問題あり 電卓は有限だし
浮動小数点数表現は二進であっても十進であっても所詮は有限
ところが >>1 は末尾に・・・が付いている
この・・・がミソで
無限であるなら 0.9999・・・=1 が成立する ＞＞そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、
＞＞その値は「（1−公比）分の初項」となる。
↑
級数の基本
これ、理解できてる？これが分かってないんじゃね？
ちなみに高校の教科書にものってますｗ 「アキレスの亀」はこのスレッドの話題とは微妙にずれてると思うけど一言。
アキレスが亀に追いつけないのは前進してる証拠だよ。
もっともアキレスと彼の亀は一体なのだから追い付くも追い越すもない、
という考え方もある。
…あと、真面目な数学の話を期待してこの投稿を読んだ人には申し訳ない。 >>2
興味が無ければ放っておいてもかまわない。
人間誰しも毎日の食事は必要だけど、食材がどこでどうやって採取されているのか、どういう仕組みで流通しているのか、
誰がどうやって調理しているかなんてことを知らなくても飯は食えるということだ。 １２３４５ が１＋２＋３＋４＋５＝１５で、１５は３の倍数だから、 １２３４５も３の倍数とか
５９４ が ５＋９＋４ ＝１８で、１８は９の倍数だから、５９４も９の倍数とか
これ、どういう法則からきているの？ >>582
10進数に限らず分かりやすく万能な数の表記の仕方がないんだと思う 1/3 が0.33333というのがそもそも間違ってるし これ、小学生の時に担任に聞いたら凄く面倒くさそうにしてた 無限演算の矛盾だな
この2つは同じものじゃないだろ 天井と棒の話を数学の人でも回答しやすいように整理した。
１ｍの天井がある。
その天井に向けて０．９ｍの棒を立てる。
届かない。
１回目、棒の1/10の長さ（０．０９ｍ）の棒を継ぎ足す。
棒の長さは０．９９ｍ。
当然、１ｍの高さの天井には届かない。
２回目、前回継ぎ足した棒の1/10の長さ（0.009m)の棒を継ぎ足す。
棒の長さは合計0.999m。
当然、１ｍの高さの天井には届かない。
n回目、n-1回目に継ぎ足した棒の1/10の長さの棒を継ぎ足す。
さて、棒は天井に届きますか？
ぜひ、ｎ回目の棒の長さを数学的に明確に表記してみてください。
届いたなら、棒の長さは１ｍです。
届いていないなら、棒の長さは１ｍではありません。 1/3＝0.33333……？
この時点で間違い。
イコールじゃないものをイコールにしているから、可逆じゃないとかって、おかしいことになるの。 >>588
アキレスは有限時間で普通に追いつく
追いつくまでの時間を無限に分割してるから追い付けないようにも思えるだけ
だから上で言ったように0.999... = 1とは本質的に異なる問題 >>598
連立方程式を解くように、
下の式から上の式を引いてみて、ってこと。 >>581
天井にギリ届かない長さの棒を継ぎ足してるから。 >>589
わかんねーぞ
無限の接ぎ木職人の手にかかれば天井ぶち抜くかもよ
むしろ0.999…＞1の可能性も俺は捨てたくない
無限の接ぎ木職人の凄さは1を超えるかもしれない
無限って半端ねえからな >>607
>>562
永遠に接触しないし永遠に1mにはならない なんでお前ら>>1に書いてあることを理解しないの？
素直じゃないねｗ >>592
世界の数学者はそうは思ってない。
お前がそう思うなら数学の論文でも書いてみたら？ 数式を....で逃げるとか馬鹿だよな
答えじゃないじゃん
0.333X × 3 ＝ 1 である！！！
そのXなんだよっていう
まじで少数考えたやつ馬鹿 1/3と0.333333が同じ数字じゃないのに同一視してるからだろ >>613
微積というより極限だな。
もちろん極限なくして微積はないんだけど。
でも速度を微分するとどうして加速度になるのか、
わかるようでわからないな。 1/3＝0.333...あまり0.00...1
0.333...×3＝0.999....
はい矛盾なし！ 要するに0.999…=1ということか。
というより0.999…≡1ということだな。
0.999…は無限小数の定義として1になるということだな。
無限小数の値は極限値ってことだな。 ＞『1＝0.99999…』
これに違和感覚える人がいるんだ >>533
三進法の星の人は1/10で考えてみてください、どうぞｗ >>609
そういうレスが付くことは予想していたよ
まあ いい例ではないかもね
言いたかったことは
級数が集束するのは純粋数学だけの話じゃなく現実の物理でもそうなんだということ
無限のステップというと「終わらない」から現実には違うという人がいるので出したまで
繰り返すけどアキレスの話は時間の要素が重要というのはわかっているよ そもそも、1/3=3.3333……じゃないじゃん？
プレステもセガ・サターンもファミコンって言うようなもん >>610
成るほど理解したけど連立方程式を解くときそういう"引き算"するんか？ この疑問を持つやつにアッサリ等比級数の収束で説明できると思えるのが面白い ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
