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【循環小数】1/3×3=1なのに0.33333…×3=0.99999…の謎 ★2

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0001ばーど ★
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2019/11/05(火) 15:04:28.98ID:2jbus2v29
■摩訶不思議!「循環小数」の世界

「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6=1÷6=0.166666……」「1/9=1÷9=0.111111……」「1/11=1÷11=0.090909……」などが循環小数である。

私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3=0.33333……』。この両辺を3倍すると『1=0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。

まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9+0.09+0.009+0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。

たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「(1−公比)分の初項」となる。

したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「(1−1/10)分の0.9」、すなわち「0.9/0.9=1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。

■石には粉

もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7=1÷7=0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857=いしにはこな(石には粉)」と覚えている。

この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1=142857」「142857×2=285714」「142857×3=428571」「142857×4=571428」「142857×5=714285」「142857×6=857142」。何かに気づかないだろうか。

答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7=999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。

循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。


2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg

★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/
0536名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:31:31.55ID:WImbPmyE0
>>524
n回目の時点って言えばいいのかな?
0537名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:31:33.54ID:0ymFiFY80
ε-δ論法を知らない高卒だろ
直感的には1-0.999…はどんな正数にもならない
だから0。よって1=0.999…
0538名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:31:50.30ID:THcCHzOGO
掛け算なんだから、途中の数字で計算始めるから計算合わなくなるんだろ。

極端、1/4*4を計算するのに1/4の結果0.25を0.2として、0.2*4の計算が0.8で1にならないと騒ぐようなもの。
0539名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:31:51.53ID:UUGQPc3L0
酒の席でこの話しても、知ってる人は、で?ってなって、知らない人は説明されても理解できなさそう
と、前スレを見て思った
0541名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:31:54.58ID:ghWvF5RI0
1/3って少数にすればどうなるん?
0542名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:32:09.47ID:5JO/UOEe0
>>498
実際木材を切って、厳密に1mになってない木材でも天井に接するよね
大雑把に1mにはなってるけど、本当に数学的に1mになってる木材ばかりじゃない
0543名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:32:10.81ID:Ac9jy8P20
>>528
普通はそうだよな。
理解できないバカがいるだけで。あれは文系でも理系でもない、ただのバカ。
0544名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:32:13.57ID:WImbPmyE0
>>476
腕時計を見ながら追いかければOK
0545名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:32:18.40ID:hp/j7I1J0
きっとコンマ1個分は天使の分け前なんだよ
0546名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:32:19.85ID:QvkdYieh0
>>505
便宜上なんて数学のような自然科学ではありえましぇんw
0547名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:32:24.31ID:UUGQPc3L0
ていうか、丸め誤差の話まで行くのかと思ったわ
0549名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:32:53.51ID:gSFuj/UA0
天井の棒の人が言ってる棒は「0.999…m」じゃなくて「0.999…999m」なんだよ
勝手に頭の中で無限の最終地点を想像しちゃってる
0551名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:33:15.86ID:b4X1geE20
宝くじが当たる確率は数学的にゼロと見做していい数だが、
宝くじに当たる奴は確実にいる。

そういうこと。
0553名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:33:45.39ID:WImbPmyE0
>>542
接触した木材を測定しなおしてみ?たぶん1mあるから。
0554名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:33:56.10ID:oSucs88m0
自分たちが勝手に作った概念で矛盾なり謎なり作るって無駄な学問だなあ
もっと実用的な学問やった方がええよ
0556名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:34:08.80ID:KHj7jwA50
>>402
天才あらわる。つまり私が2パック、妻と2人の子どもたちが2個ずつ分ければいいのか!(´・ω・`)
0559名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:34:27.72ID:QvkdYieh0
微分積分がサッパリというやつが結構いるけど
こういうとこで引っかかるんだなw
無限に1/3に近づくんだもの答えは1/3しかないじゃんw
0561名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:34:54.09ID:0CbOSywX0
ようは微積の事?
0563名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:35:06.54ID:eFe+vP//0
地球の赤道(6,378.137km)にロープを一周巻き付けるじゃん? 
そのロープにπメートル(3.14メートル)だけ継ぎ足して均等に浮かすじゃん?
そしたら1メートルも浮くじゃん?
信じられないじゃん?
0564名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:35:11.18ID:8WwubjHE0
無限の時間を越えた時に亀においつく

か、時間は無限に分割できないか
0565名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:35:12.95ID:hjphE3VQ0
「数学の使用の便宜上」以外の理由ないだろ?
0566名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:35:13.99ID:WImbPmyE0
>>549 >>550
n回目で接触しなかったとき、n+1回目で接触しますか?
って問えばいいのかな?
0567名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:35:40.02ID:Ac9jy8P20
>>453
循環小数が不完全な表記って、お前以外に誰か提唱してるの?
お前の珍説ならまあ構わんが。
0568名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:35:54.58ID:WImbPmyE0
>>560
→ >>566
0569名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:35:56.80ID:0CbOSywX0
文系用に説明すると
数学的な取り決めで実際そうでなくてもそういう事にするという取り決め
0572名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:37:02.32ID:ghWvF5RI0
大根もちんぽもよく日光に当たった部分の方が旨いけどな
0573名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:37:01.67ID:uGj+LJxb0
この記事を書いたやつって馬鹿なのか?
0574名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:37:04.00ID:fNMZ/nh+0
1というのは概念上の産物だよ。
0575名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:37:10.43ID:cryAwOp90
「...」の数学的に厳密な定義から始めない人の戯言は全部嘘
0577名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:37:41.33ID:vZ/Juh2f0
収束するとは言っても1ではない
世の中そんな計算ばっかりしてるんだから、どっかでとんでもない間違いが起こったりして
0578名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:37:51.64ID:kJCy4TgO0
>>551
ロト6の当選者が三人いたらどうなるかみたいな話じゃね
0579名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:37:51.88ID:0CbOSywX0
ようは
ブスは3日で慣れる
美人は3日であきる
という事 
どっちもどっち(うそだけど…)
0580名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:37:52.94ID:e3fN1P2e0
数学上0.999…=1なのは証明されてるし、
そんなのみんな分かってる。

0.999…と表した時に、1ではない0.999…として扱うのは意味的に通じるが、
0.999…と表した時に1として扱うには、数学上でしか無理なんだよ。

つまり二つの解釈の仕方が成立するんだよ。

0.999…が1である事を数学以外で実証できねんだからよ。
0581名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:38:11.50ID:gSFuj/UA0
>>566
するかもよ
君が無限に繰り返しても隙間あるじゃん!って言った次で接触するかもしれない
もしかしたそこから100万回後に接触するかもしれない
さらにそこから無限回後なら接触するんじゃね?
そんなのどこまでやっても接触しないよ!って君が思った地点からさらに無限回繰り返してみな
接触するかもよ
なんでしないと思うの?
0582名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:38:14.61ID:Lrq6fwbC0
10進数がそもそも無理があるんじゃないか?
そもそも1という状態が存在しない。
量子的には1対つまり偶数しか存在しないんじゃ無いかな?根拠はねー。
0584名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:38:33.23ID:iOWzyl9l0
でもグラフにすると
十進数の0.00…001と
二進数の0.00…001では収束するまでの線が違うよね

限りなく十等分した値の端と
限りなく二等分した値の端では
0585名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:38:42.89ID:b4X1geE20
おかしいな。
俺は>>432の話を初めて聞いた時は、
感動したんだが・・・。
0586名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:38:48.39ID:CrehHp6L0
少数考えた奴が馬鹿で負けず嫌いだったんだよ
0.33....
って思考放棄してるだけやで
0588名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:39:23.35ID:CbGog/Fi0
>>540
>>564
いや アキレスは追いつくよ 常識で考えてもそうだし 実験しても
アキレスと亀のたとえをすると 時間の要素が絡むから面倒ね

棒で隙間埋めようとしている人も時間の概念が頭から離れないので
「終わらない」イメージ持ってるんだと思うな

実際には 「終わらない」 じゃなく 「終わった状態を考えている」
0591名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:39:44.14ID:1cc6Yeik0
>>533
おまえの説明が1番わかりやすい
0592名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:39:44.73ID:kaKoqarS0
0.333…×3=0.999…の時点で間違ってる気がする
割り切れない数字、人間が理解説明出来ないレベルだからやむなく0.333…ていう微妙な表現しか出来ないだけで無理矢理式に表すなら
0.333…×3=1
って考えるだけでいいんじゃない?
0593名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:39:53.33ID:IYymOYRX0
1/3は10進法の場合
少数表記すると0.333・・・の1通りのみ

一方3進法で少数表記すると
0.1と0.0222・・・の2通りが可能
つまり3進法なら、0.1=0.0222・・・、となる
0594名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:40:08.59ID:ghWvF5RI0
量子コンピューターが計算したら、たぶんコンピューターが壊れるまで計算するわな
0595名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:40:10.88ID:gLU8m26H0
>>585
わかりやすいから初等的にはOK
厳密には極限の性質を使わないと辺々引くとこで問題あり
0596名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:40:12.19ID:6aHu3P6X0
電卓は有限だし
浮動小数点数表現は二進であっても十進であっても所詮は有限
ところが >>1 は末尾に・・・が付いている
この・・・がミソで
無限であるなら 0.9999・・・=1 が成立する
0597名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:40:16.48ID:QvkdYieh0
>>そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、
>>その値は「(1−公比)分の初項」となる。

級数の基本
これ、理解できてる?これが分かってないんじゃね?

ちなみに高校の教科書にものってますw
0598名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:40:31.11ID:kJCy4TgO0
>>432
引き算の意味が分からないんだが…
0599名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:40:42.62ID:d7me09/90
「アキレスの亀」はこのスレッドの話題とは微妙にずれてると思うけど一言。

アキレスが亀に追いつけないのは前進してる証拠だよ。
もっともアキレスと彼の亀は一体なのだから追い付くも追い越すもない、
という考え方もある。

…あと、真面目な数学の話を期待してこの投稿を読んだ人には申し訳ない。
0600名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:40:50.31ID:zYkOJavw0
>>2
興味が無ければ放っておいてもかまわない。
人間誰しも毎日の食事は必要だけど、食材がどこでどうやって採取されているのか、どういう仕組みで流通しているのか、
誰がどうやって調理しているかなんてことを知らなくても飯は食えるということだ。
0601名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:40:54.71ID:YVJnSGRh0
1とゼロの境界線も実は無いってのが宇宙
0602名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:41:11.14ID:E1nsJGIv0
12345 が1+2+3+4+5=15で、15は3の倍数だから、 12345も3の倍数とか
594 が 5+9+4 =18で、18は9の倍数だから、594も9の倍数とか

これ、どういう法則からきているの?
0605名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:41:39.46ID:KrtHiziN0
これ、小学生の時に担任に聞いたら凄く面倒くさそうにしてた
0607名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:41:58.38ID:WImbPmyE0
天井と棒の話を数学の人でも回答しやすいように整理した。

1mの天井がある。
その天井に向けて0.9mの棒を立てる。
届かない。

1回目、棒の1/10の長さ(0.09m)の棒を継ぎ足す。
棒の長さは0.99m。
当然、1mの高さの天井には届かない。

2回目、前回継ぎ足した棒の1/10の長さ(0.009m)の棒を継ぎ足す。
棒の長さは合計0.999m。
当然、1mの高さの天井には届かない。

n回目、n-1回目に継ぎ足した棒の1/10の長さの棒を継ぎ足す。
さて、棒は天井に届きますか?

ぜひ、n回目の棒の長さを数学的に明確に表記してみてください。

届いたなら、棒の長さは1mです。
届いていないなら、棒の長さは1mではありません。
0608名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:42:20.40ID:+OBKcwwF0
1/3=0.33333……?
この時点で間違い。
イコールじゃないものをイコールにしているから、可逆じゃないとかって、おかしいことになるの。
0609名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:42:23.65ID:gLU8m26H0
>>588
アキレスは有限時間で普通に追いつく
追いつくまでの時間を無限に分割してるから追い付けないようにも思えるだけ

だから上で言ったように0.999... = 1とは本質的に異なる問題
0610名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:42:36.80ID:b4X1geE20
>>598
連立方程式を解くように、
下の式から上の式を引いてみて、ってこと。
0611名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:42:49.90ID:WImbPmyE0
>>581
天井にギリ届かない長さの棒を継ぎ足してるから。
0613名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:43:10.01ID:XEROZjLV0
>>559
高校の微積分は皆さん忘れとるよ普通
0614名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:43:15.75ID:gSFuj/UA0
>>589
わかんねーぞ
無限の接ぎ木職人の手にかかれば天井ぶち抜くかもよ
むしろ0.999…>1の可能性も俺は捨てたくない
無限の接ぎ木職人の凄さは1を超えるかもしれない
無限って半端ねえからな
0617名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:44:13.32ID:QvkdYieh0
なんでお前ら>>1に書いてあることを理解しないの?
素直じゃないねw
0619名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:44:17.83ID:Ac9jy8P20
>>592
世界の数学者はそうは思ってない。
お前がそう思うなら数学の論文でも書いてみたら?
0620名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:44:20.27ID:CrehHp6L0
数式を....で逃げるとか馬鹿だよな
答えじゃないじゃん
0.333X × 3 = 1 である!!!
そのXなんだよっていう

まじで少数考えたやつ馬鹿
0621名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:44:26.15ID:whFCXNQu0
どの方面も納得の正解
「謎が謎だから謎だよな」
0623名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:44:41.91ID:b4X1geE20
>>613
微積というより極限だな。
もちろん極限なくして微積はないんだけど。

でも速度を微分するとどうして加速度になるのか、
わかるようでわからないな。
0624名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:44:42.41ID:hjphE3VQ0
1/3=0.333...あまり0.00...1
0.333...×3=0.999....



はい矛盾なし!
0625名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:44:53.06ID:MWJnlKrT0
要するに0.999…=1ということか。
というより0.999…≡1ということだな。
0.999…は無限小数の定義として1になるということだな。
無限小数の値は極限値ってことだな。
0627名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:45:21.40ID:JpiyX2ha0
>>7
は本日の最強馬鹿
0628名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:45:22.21ID:ODYazsWp0
>『1=0.99999…』

これに違和感覚える人がいるんだ
0629名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:45:29.76ID:WImbPmyE0
>>533
三進法の星の人は1/10で考えてみてください、どうぞw
0630名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:45:52.04ID:CbGog/Fi0
>>609
そういうレスが付くことは予想していたよ

まあ いい例ではないかもね 

言いたかったことは 
級数が集束するのは純粋数学だけの話じゃなく現実の物理でもそうなんだということ
無限のステップというと「終わらない」から現実には違うという人がいるので出したまで

繰り返すけどアキレスの話は時間の要素が重要というのはわかっているよ
0631名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:45:55.66ID:9HRE1Q9g0
そもそも、1/3=3.3333……じゃないじゃん?
プレステもセガ・サターンもファミコンって言うようなもん
0633名無しさん@1周年
垢版 |
2019/11/05(火) 16:45:59.09ID:kJCy4TgO0
>>610
成るほど理解したけど連立方程式を解くときそういう"引き算"するんか?
0634名無しさん@1周年
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2019/11/05(火) 16:46:18.70ID:R8h9OBAj0
この疑問を持つやつにアッサリ等比級数の収束で説明できると思えるのが面白い
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