【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ 0.333…×3＝0.999…の時点で間違ってる気がする
割り切れない数字、人間が理解説明出来ないレベルだからやむなく0.333…ていう微妙な表現しか出来ないだけで無理矢理式に表すなら
0.333…×3＝1
って考えるだけでいいんじゃない？ 1/3は10進法の場合
少数表記すると0.333・・・の1通りのみ
一方3進法で少数表記すると
0.1と0.0222・・・の2通りが可能
つまり3進法なら、0.1=0.0222・・・、となる 量子コンピューターが計算したら、たぶんコンピューターが壊れるまで計算するわな >>585
わかりやすいから初等的にはOK
厳密には極限の性質を使わないと辺々引くとこで問題あり 電卓は有限だし
浮動小数点数表現は二進であっても十進であっても所詮は有限
ところが >>1 は末尾に・・・が付いている
この・・・がミソで
無限であるなら 0.9999・・・=1 が成立する ＞＞そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、
＞＞その値は「（1−公比）分の初項」となる。
↑
級数の基本
これ、理解できてる？これが分かってないんじゃね？
ちなみに高校の教科書にものってますｗ 「アキレスの亀」はこのスレッドの話題とは微妙にずれてると思うけど一言。
アキレスが亀に追いつけないのは前進してる証拠だよ。
もっともアキレスと彼の亀は一体なのだから追い付くも追い越すもない、
という考え方もある。
…あと、真面目な数学の話を期待してこの投稿を読んだ人には申し訳ない。 >>2
興味が無ければ放っておいてもかまわない。
人間誰しも毎日の食事は必要だけど、食材がどこでどうやって採取されているのか、どういう仕組みで流通しているのか、
誰がどうやって調理しているかなんてことを知らなくても飯は食えるということだ。 １２３４５ が１＋２＋３＋４＋５＝１５で、１５は３の倍数だから、 １２３４５も３の倍数とか
５９４ が ５＋９＋４ ＝１８で、１８は９の倍数だから、５９４も９の倍数とか
これ、どういう法則からきているの？ >>582
10進数に限らず分かりやすく万能な数の表記の仕方がないんだと思う 1/3 が0.33333というのがそもそも間違ってるし これ、小学生の時に担任に聞いたら凄く面倒くさそうにしてた 無限演算の矛盾だな
この2つは同じものじゃないだろ 天井と棒の話を数学の人でも回答しやすいように整理した。
１ｍの天井がある。
その天井に向けて０．９ｍの棒を立てる。
届かない。
１回目、棒の1/10の長さ（０．０９ｍ）の棒を継ぎ足す。
棒の長さは０．９９ｍ。
当然、１ｍの高さの天井には届かない。
２回目、前回継ぎ足した棒の1/10の長さ（0.009m)の棒を継ぎ足す。
棒の長さは合計0.999m。
当然、１ｍの高さの天井には届かない。
n回目、n-1回目に継ぎ足した棒の1/10の長さの棒を継ぎ足す。
さて、棒は天井に届きますか？
ぜひ、ｎ回目の棒の長さを数学的に明確に表記してみてください。
届いたなら、棒の長さは１ｍです。
届いていないなら、棒の長さは１ｍではありません。 1/3＝0.33333……？
この時点で間違い。
イコールじゃないものをイコールにしているから、可逆じゃないとかって、おかしいことになるの。 >>588
アキレスは有限時間で普通に追いつく
追いつくまでの時間を無限に分割してるから追い付けないようにも思えるだけ
だから上で言ったように0.999... = 1とは本質的に異なる問題 >>598
連立方程式を解くように、
下の式から上の式を引いてみて、ってこと。 >>581
天井にギリ届かない長さの棒を継ぎ足してるから。 >>589
わかんねーぞ
無限の接ぎ木職人の手にかかれば天井ぶち抜くかもよ
むしろ0.999…＞1の可能性も俺は捨てたくない
無限の接ぎ木職人の凄さは1を超えるかもしれない
無限って半端ねえからな >>607
>>562
永遠に接触しないし永遠に1mにはならない なんでお前ら>>1に書いてあることを理解しないの？
素直じゃないねｗ >>592
世界の数学者はそうは思ってない。
お前がそう思うなら数学の論文でも書いてみたら？ 数式を....で逃げるとか馬鹿だよな
答えじゃないじゃん
0.333X × 3 ＝ 1 である！！！
そのXなんだよっていう
まじで少数考えたやつ馬鹿 1/3と0.333333が同じ数字じゃないのに同一視してるからだろ >>613
微積というより極限だな。
もちろん極限なくして微積はないんだけど。
でも速度を微分するとどうして加速度になるのか、
わかるようでわからないな。 1/3＝0.333...あまり0.00...1
0.333...×3＝0.999....
はい矛盾なし！ 要するに0.999…=1ということか。
というより0.999…≡1ということだな。
0.999…は無限小数の定義として1になるということだな。
無限小数の値は極限値ってことだな。 ＞『1＝0.99999…』
これに違和感覚える人がいるんだ >>533
三進法の星の人は1/10で考えてみてください、どうぞｗ >>609
そういうレスが付くことは予想していたよ
まあ いい例ではないかもね
言いたかったことは
級数が集束するのは純粋数学だけの話じゃなく現実の物理でもそうなんだということ
無限のステップというと「終わらない」から現実には違うという人がいるので出したまで
繰り返すけどアキレスの話は時間の要素が重要というのはわかっているよ そもそも、1/3=3.3333……じゃないじゃん？
プレステもセガ・サターンもファミコンって言うようなもん >>610
成るほど理解したけど連立方程式を解くときそういう"引き算"するんか？ この疑問を持つやつにアッサリ等比級数の収束で説明できると思えるのが面白い >>24
0．001を1000回足しても1にならないパソコンもあったって話？ 「限りなくそれに近い」ってだけで実際には
2分の１という概念でしかないからな >>613
答えは>>1に書いてあるのになんで理解しようとしねーの？
勉強できない人に多いパターンｗ >>497
＞1＝0.999…の証明を数学以外で、
＞わかりやすく証明した人間は居ないんだよ。
＞
＞これできたらたぶんノーベル賞ものだよ
それなら1+1=2を証明してくれよ。
0.999…=1もそれと同じだ。www 1/3は3の逆数だから掛けたら１になるのは必定。1/3を循環小数で表して3に掛ける行為が間違い 無限小数の値は、無限級数の値（極限値）として定義されるということだろう。 >>633
問題によってはするでしょ。
xかyかどっちかの係数が同じ時なんかは、
その方が楽。
そんな問題はめったに出ないけど。 >>602
中学で習うだろ。
お前は中学すら卒業できてないのか。 マウント取りたがる馬鹿を晒すスレ
20回以上書き込んでるキモいのとかいるしw >>498
接触するかどうかの「結果」は永遠に出ないよ。
無限に繰り返すということはつまり「終わり」が無いということなのだから。 >>599
極限は関係なくて、10進数で1/3を表現しようとすると、循環小数になるだけだからな。 >>515
そうなんだよ
イプシロンーn論法で
数列の極限を定義して
0.999999....の極限は1 でしょ?
これで終わりの話を
何をいつまでグダグダやってんだよ >>607
そこまでわかってるなら数列の一般項を求めて極限値調べればいいじゃん x=0.9…とする
10x=9.9…
10x-x=9.9…-0.9…
9x=9
x=1
つまり0.9…=1となる 昔から馬鹿じゃねえかと思ってたが、そもそもの話として十進法で表せないものをイコールで括るなよ お前ら9999...って無限に続く数字見て「実数になるはず」なんて思うか？
実数になるのを前提にしてる時点で間違い
記号の意味を定義して、その上で特定の実数になることを言わなきゃいけない >>630
棒の話については「ほら何回やっても接触しないじゃん」→それでも極限値は1なんだよ、って意味でパラドックスっぽい
アキレスの場合は普通に有限時間で追い付くから、パラドックスぽさは別のところにある
有限と無限の関係ってとこに共通っぽさはあるけど、経験的にも1=0.999...の話題にアキレスと亀を持ち出すのは混乱しか生まない この手の記者が初めて知った一般常識を記事にするパターン多すぎ。 >>602
10000a+1000b+100c+10d+eと考えてみると、
a+b+c+d+eが3の倍数の時、全体は3の倍数になる。 つまりだ、重要なのはケーキを三人で均等に分けることは不可能って事や 10進数の場合、例えば12の循環小数を作りたければ12/99
987を作りたければ987/999
0.111… = 1/9
0.222… = 2/9
…
0.888… = 8/9
0.999… = 9/9 = 1 え!? >>644
終わりなく続けても、絶対に天井に届かないことは容易にわかると思う
この作業の説明文を読んでもらえれば
その無限の中で、それでも「棒は１ｍになると考える」のかどうか。 0.99999…が1であることをなかなか納得しない人が
0.33333…が3分の1であることを
すんなり受け入れているというのも不思議なことだ
前者が1よりちょっと小さいと思えるなら
後者だって3分の1より
ちょっと小さいように見えるじゃんねえ >>607
棒の長さを表記してやったけど、何かコメントは？ 俺は数学わからないけど、「…」がある種のごまかしに感じてしまうんだよね
厳密には1/3を小数では表記できないのではないの？
頭の中では3が永遠に続くというのはわかるけど、そうなると1/3というのがそもそも架空の存在に思えてくる。 1=0.999.....が理解できない人が理解できないんだけど
ちゃんと学校行ったの？ 無限の概念を習ってないと理解できないというか、はっきり正しいと言い切れないと思うが、微積分の前段に習うので、文系には縁がない。なので小学生の先生でもわからなくって仕方ない。 >>434
あなたは思考実験に向いていないね
私情と理想が入り込みすぎる これがアウトと思っちゃう人はそもそも1/3=0.333...もアウトなんじゃ？ >>666
なにがだよ、数学で証明できても現実には無理という心理なんだよ 0.99999…が1であることをなかなか理解しないと言うならば、
0.99999…が1であることを数学以外で説明すればよい。
できないだろ？できんのか？
だから0.99999…には1ではない0.99999…の意味があるんだよ。 >>647
その数学的表現の結論は１ｍになるのかな？
そうすると数学的結論は「棒は１ｍに届く」になるけども。
でも、この具体的かつ明確な作業は絶対に天井に届かない長さを継ぎ足し続けてることも
理解できるはず。
その数学的表現は、この作業を正しく表現できているのかな？ >>674
1/3にすれば均等
0.333...は均等じゃない 0.999999999…=1
というだけのお話
おわり >>674
数学真面目に学んだことあるか？
ケーキの形から定義しろ >>661
次はホールやめてロールケーキやブッシュドノエルにしようってのが結論 素数をゴニョゴニョすると
グラフの一直線上に並ぶ理由を教えてけれ >>653
「〜ぽさ」みたいな話は人それぞれなんで 俺はちょっと違う感覚もってるけど
結果的に俺のレスについたレスみたら貴方の言うとおりだわな 残念だけど >>665
その数式の結論は、思考実験の結果と一致するかな？
一致しないなら、数式表現が間違ってると言わざるを得ない。 追い詰められた奴は最後に
「数学の世界ではそれでいいよ。でも実際は違うんだ！」
なお実際の世界が何かは言わない 整数は面白いし不思議だ 単に1ずつ加算した数なのにな 0.99999…=1が理解出来ない奴はもう一度中学からやり直せ。
嫌なら解らんままで死ねばいい。 そもそも1/3が割り切れない数字なのだからそれを０．３３３３３〜
と表現していること自体無理がある ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
