【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ そもそも、1/3=3.3333……じゃないじゃん？
プレステもセガ・サターンもファミコンって言うようなもん >>610
成るほど理解したけど連立方程式を解くときそういう"引き算"するんか？ この疑問を持つやつにアッサリ等比級数の収束で説明できると思えるのが面白い >>24
0．001を1000回足しても1にならないパソコンもあったって話？ 「限りなくそれに近い」ってだけで実際には
2分の１という概念でしかないからな >>613
答えは>>1に書いてあるのになんで理解しようとしねーの？
勉強できない人に多いパターンｗ >>497
＞1＝0.999…の証明を数学以外で、
＞わかりやすく証明した人間は居ないんだよ。
＞
＞これできたらたぶんノーベル賞ものだよ
それなら1+1=2を証明してくれよ。
0.999…=1もそれと同じだ。www 1/3は3の逆数だから掛けたら１になるのは必定。1/3を循環小数で表して3に掛ける行為が間違い 無限小数の値は、無限級数の値（極限値）として定義されるということだろう。 >>633
問題によってはするでしょ。
xかyかどっちかの係数が同じ時なんかは、
その方が楽。
そんな問題はめったに出ないけど。 >>602
中学で習うだろ。
お前は中学すら卒業できてないのか。 マウント取りたがる馬鹿を晒すスレ
20回以上書き込んでるキモいのとかいるしw >>498
接触するかどうかの「結果」は永遠に出ないよ。
無限に繰り返すということはつまり「終わり」が無いということなのだから。 >>599
極限は関係なくて、10進数で1/3を表現しようとすると、循環小数になるだけだからな。 >>515
そうなんだよ
イプシロンーn論法で
数列の極限を定義して
0.999999....の極限は1 でしょ?
これで終わりの話を
何をいつまでグダグダやってんだよ >>607
そこまでわかってるなら数列の一般項を求めて極限値調べればいいじゃん x=0.9…とする
10x=9.9…
10x-x=9.9…-0.9…
9x=9
x=1
つまり0.9…=1となる 昔から馬鹿じゃねえかと思ってたが、そもそもの話として十進法で表せないものをイコールで括るなよ お前ら9999...って無限に続く数字見て「実数になるはず」なんて思うか？
実数になるのを前提にしてる時点で間違い
記号の意味を定義して、その上で特定の実数になることを言わなきゃいけない >>630
棒の話については「ほら何回やっても接触しないじゃん」→それでも極限値は1なんだよ、って意味でパラドックスっぽい
アキレスの場合は普通に有限時間で追い付くから、パラドックスぽさは別のところにある
有限と無限の関係ってとこに共通っぽさはあるけど、経験的にも1=0.999...の話題にアキレスと亀を持ち出すのは混乱しか生まない この手の記者が初めて知った一般常識を記事にするパターン多すぎ。 >>602
10000a+1000b+100c+10d+eと考えてみると、
a+b+c+d+eが3の倍数の時、全体は3の倍数になる。 つまりだ、重要なのはケーキを三人で均等に分けることは不可能って事や 10進数の場合、例えば12の循環小数を作りたければ12/99
987を作りたければ987/999
0.111… = 1/9
0.222… = 2/9
…
0.888… = 8/9
0.999… = 9/9 = 1 え!? >>644
終わりなく続けても、絶対に天井に届かないことは容易にわかると思う
この作業の説明文を読んでもらえれば
その無限の中で、それでも「棒は１ｍになると考える」のかどうか。 0.99999…が1であることをなかなか納得しない人が
0.33333…が3分の1であることを
すんなり受け入れているというのも不思議なことだ
前者が1よりちょっと小さいと思えるなら
後者だって3分の1より
ちょっと小さいように見えるじゃんねえ >>607
棒の長さを表記してやったけど、何かコメントは？ 俺は数学わからないけど、「…」がある種のごまかしに感じてしまうんだよね
厳密には1/3を小数では表記できないのではないの？
頭の中では3が永遠に続くというのはわかるけど、そうなると1/3というのがそもそも架空の存在に思えてくる。 1=0.999.....が理解できない人が理解できないんだけど
ちゃんと学校行ったの？ 無限の概念を習ってないと理解できないというか、はっきり正しいと言い切れないと思うが、微積分の前段に習うので、文系には縁がない。なので小学生の先生でもわからなくって仕方ない。 >>434
あなたは思考実験に向いていないね
私情と理想が入り込みすぎる これがアウトと思っちゃう人はそもそも1/3=0.333...もアウトなんじゃ？ >>666
なにがだよ、数学で証明できても現実には無理という心理なんだよ 0.99999…が1であることをなかなか理解しないと言うならば、
0.99999…が1であることを数学以外で説明すればよい。
できないだろ？できんのか？
だから0.99999…には1ではない0.99999…の意味があるんだよ。 >>647
その数学的表現の結論は１ｍになるのかな？
そうすると数学的結論は「棒は１ｍに届く」になるけども。
でも、この具体的かつ明確な作業は絶対に天井に届かない長さを継ぎ足し続けてることも
理解できるはず。
その数学的表現は、この作業を正しく表現できているのかな？ >>674
1/3にすれば均等
0.333...は均等じゃない 0.999999999…=1
というだけのお話
おわり >>674
数学真面目に学んだことあるか？
ケーキの形から定義しろ >>661
次はホールやめてロールケーキやブッシュドノエルにしようってのが結論 素数をゴニョゴニョすると
グラフの一直線上に並ぶ理由を教えてけれ >>653
「〜ぽさ」みたいな話は人それぞれなんで 俺はちょっと違う感覚もってるけど
結果的に俺のレスについたレスみたら貴方の言うとおりだわな 残念だけど >>665
その数式の結論は、思考実験の結果と一致するかな？
一致しないなら、数式表現が間違ってると言わざるを得ない。 追い詰められた奴は最後に
「数学の世界ではそれでいいよ。でも実際は違うんだ！」
なお実際の世界が何かは言わない 整数は面白いし不思議だ 単に1ずつ加算した数なのにな 0.99999…=1が理解出来ない奴はもう一度中学からやり直せ。
嫌なら解らんままで死ねばいい。 そもそも1/3が割り切れない数字なのだからそれを０．３３３３３〜
と表現していること自体無理がある 文系がいかに阿呆かわかるスレ
極限の概念ってそんな高度なもんじゃないだろ >>683
経験的に議論が発散する方に向う
近い部分があるのは否定しない 0.3333333333…は1/3を完全には表現できていない
0.3333333333…はだいたい1/3くらいだから >>686
数学好きだけど整数問題は嫌い、という人は多いと思う。
途中で論理の飛躍が必要になってくる。 >>667
そう、10進数で無理に小数で表記しようとしたら0.333…としか書けないというだけ
10進数の1/3を3進数で表記したら0.1と書けるし、見た目の問題で示している数は同じ >>684
一致するよ
任意のnに対して
Σ[k:1〜n](9/10^k) < 1
だ
んで？ >>685
量子的には観察する事で実際が振る舞いを変える。
つまり現実も実際も観察者の数だけあって、たまたま結果が一致してるに過ぎない。 >>663
終わりなく続けると言いつつ届かないという終わりに言及する矛盾に
いい加減気付いてほしい。 まあこれを疑問に思う奴はある意味数学の才能があるかもしれない
極限とはなんぞや？って話だからな
俺が中学レベルに教えるときは以下のような感じ
0.999...
= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...
=(1-0.1)+(0.1-0.01)+(0.01-0.001 )+ ...
=1-(0.1-0.1)-(0.01-0.01)-(0.001-0.001) - ...
=1 >>681
だな。
つかこんな文系野郎でもも司法試験に通れる日本ｗ スレの頭の>>35で書いた通りでしょ
この問題は「なぜ1と一致するのか」じゃなくて「なぜか1だと理解できない人の思考パターンを考察すること」の方が教育学的に意味があるんだよ >>695
特殊選抜はともかく、高校指導要領を超えた論理の飛躍が必要な問題は？
実例きぼん >>695
私は難しいことは分かりませんが、１を加えていっただけの数なのに、素数を初めとして色々な性質があって面白いと思うのです 数学的な説明をしただけで、素人にもわかるような説明でないのが草。
もうひとつは蛇足だし。 あのさ、俺はバカにされてるガチの文系なんだよね
で、1/3=0.3333333......
0.3333333......*3=1←これじゃイコールじゃないじゃん！っていうけどさ
仮に割る対象が物質、ケーキでも金属でも何でもいいけどそういうのなら質量の欠損ってあると思うけど
ただの数なら消えてなくなるとかナイフにくっついたのを食べちゃったってのはあり得なくて
だから1でいいんだよ >>661
３人いるからケーキを三等分したけど
二人はいらないやって、どっか行ったので
三個に分けたケーキを一人で食べる感じ
でも切るとナイフにクリームがつくから
それを問題にしてるかんじｗ これ自体面白い話だけど、無限循環小数は分数化できる有理数であることが重要なんだよね
無理数とは何かを学ぶ時に必要になるから
無理数=無限非循環小数 >>705
「高校指導要領を超えた論理の飛躍」なんて言ってないぞ。
ちょっとした発想の転換というか、ただ計算するだけではできないってこと。 数学のルール上、そうみなしますよということなの？
それなら、そういうものなんだと思えるけど、なんか数学ってもっとガチガチに厳密な真理を追究している学問というイメージがある >>663
１ｍになるよ
ただ十等分にして九を足していく事に根拠ないからね
何等分でも良いのに十等分にした理由を知りたい ○←丸に見えるだろ？でも丸じゃないんだぜ〜。
超多角形なんだぜ、これ。 >>697
ｎを無限に繰り返すと
棒の長さは０．９９９・・・・ｍになるんだけど、
その不等式も成立するの？ >>251
「うまい、うますぎる」
てやつじゃないの？ >>537
チキウビト ノ シト
アナタ ノ カンガエ レハ
0.0000・・・=0
ナノレス ネ ？
ナラ
dy/dx=0/0
ナノレス ネ ？
ワタス ノ ホシ レハ
1÷3=0.2
1÷5≠0.1111・・・
ナノレス
アナタ ノ ホシ レハ
1÷3=0.3333・・・
ナノ レスカ ？
0.3333・・・×3=0.9999・・・=lim(n→∞) [1−(0.1)^n]
レ
lim(n→∞)[(0.1)^n]=0.0000・・・=0
ラカラ
0.9999・・・=1
トイウ コト ナノレスカ？
アナタ ノ ホシ レハ
dy/dxのdx
ハ
0
ナノレスカ ？
dy/dx=0/0
ナノレスカ ？
アナタ ノ ホシ レハ ビブン トイウ ガイネン ハ ナイノ レスカ？
ワタスノ ホシ レハ ビブン トイウ ガイネン ガ アルノレス
ラカラ
0.0000・・・≠0
ナノレス
ラカラ ワタスノ ホシ レハ
0.9999・・・≠1
ナノレス
ヨッテ ワタスノ ホシ レハ チキウビトノ ケイサン ホウホウ レモ
1÷3≠0.3333・・・
ナノレス
ワカリ マスタカ？ >>720
それがわかってる人は、
かの有名な問題「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
も解けたかもしれないな。 「1-(0.1-0.1)-(0.01-0.01)-(0.001-0.001) - ...」であって「1」ではない >>703
1/3を10進数で表現すると、0.33333…になるってだけだから、極限とか関係ない。 >>389
可哀想に、目の前のりんごの数もわかないのか。 >>719
１ｍになるわけないじゃん。
十等分なんて考えてない。
このスレのお題目に近づけるために、棒の長さを０．９９９・・・ｍにするために設定しただけだよ。 >>706
3gのものは3等分可能だけど1gのものは3等分できないって考えてるん？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
