【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ >>665
その数式の結論は、思考実験の結果と一致するかな？
一致しないなら、数式表現が間違ってると言わざるを得ない。 追い詰められた奴は最後に
「数学の世界ではそれでいいよ。でも実際は違うんだ！」
なお実際の世界が何かは言わない 整数は面白いし不思議だ 単に1ずつ加算した数なのにな 0.99999…=1が理解出来ない奴はもう一度中学からやり直せ。
嫌なら解らんままで死ねばいい。 そもそも1/3が割り切れない数字なのだからそれを０．３３３３３〜
と表現していること自体無理がある 文系がいかに阿呆かわかるスレ
極限の概念ってそんな高度なもんじゃないだろ >>683
経験的に議論が発散する方に向う
近い部分があるのは否定しない 0.3333333333…は1/3を完全には表現できていない
0.3333333333…はだいたい1/3くらいだから >>686
数学好きだけど整数問題は嫌い、という人は多いと思う。
途中で論理の飛躍が必要になってくる。 >>667
そう、10進数で無理に小数で表記しようとしたら0.333…としか書けないというだけ
10進数の1/3を3進数で表記したら0.1と書けるし、見た目の問題で示している数は同じ >>684
一致するよ
任意のnに対して
Σ[k:1〜n](9/10^k) < 1
だ
んで？ >>685
量子的には観察する事で実際が振る舞いを変える。
つまり現実も実際も観察者の数だけあって、たまたま結果が一致してるに過ぎない。 >>663
終わりなく続けると言いつつ届かないという終わりに言及する矛盾に
いい加減気付いてほしい。 まあこれを疑問に思う奴はある意味数学の才能があるかもしれない
極限とはなんぞや？って話だからな
俺が中学レベルに教えるときは以下のような感じ
0.999...
= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...
=(1-0.1)+(0.1-0.01)+(0.01-0.001 )+ ...
=1-(0.1-0.1)-(0.01-0.01)-(0.001-0.001) - ...
=1 >>681
だな。
つかこんな文系野郎でもも司法試験に通れる日本ｗ スレの頭の>>35で書いた通りでしょ
この問題は「なぜ1と一致するのか」じゃなくて「なぜか1だと理解できない人の思考パターンを考察すること」の方が教育学的に意味があるんだよ >>695
特殊選抜はともかく、高校指導要領を超えた論理の飛躍が必要な問題は？
実例きぼん >>695
私は難しいことは分かりませんが、１を加えていっただけの数なのに、素数を初めとして色々な性質があって面白いと思うのです 数学的な説明をしただけで、素人にもわかるような説明でないのが草。
もうひとつは蛇足だし。 あのさ、俺はバカにされてるガチの文系なんだよね
で、1/3=0.3333333......
0.3333333......*3=1←これじゃイコールじゃないじゃん！っていうけどさ
仮に割る対象が物質、ケーキでも金属でも何でもいいけどそういうのなら質量の欠損ってあると思うけど
ただの数なら消えてなくなるとかナイフにくっついたのを食べちゃったってのはあり得なくて
だから1でいいんだよ >>661
３人いるからケーキを三等分したけど
二人はいらないやって、どっか行ったので
三個に分けたケーキを一人で食べる感じ
でも切るとナイフにクリームがつくから
それを問題にしてるかんじｗ これ自体面白い話だけど、無限循環小数は分数化できる有理数であることが重要なんだよね
無理数とは何かを学ぶ時に必要になるから
無理数=無限非循環小数 >>705
「高校指導要領を超えた論理の飛躍」なんて言ってないぞ。
ちょっとした発想の転換というか、ただ計算するだけではできないってこと。 数学のルール上、そうみなしますよということなの？
それなら、そういうものなんだと思えるけど、なんか数学ってもっとガチガチに厳密な真理を追究している学問というイメージがある >>663
１ｍになるよ
ただ十等分にして九を足していく事に根拠ないからね
何等分でも良いのに十等分にした理由を知りたい ○←丸に見えるだろ？でも丸じゃないんだぜ〜。
超多角形なんだぜ、これ。 >>697
ｎを無限に繰り返すと
棒の長さは０．９９９・・・・ｍになるんだけど、
その不等式も成立するの？ >>251
「うまい、うますぎる」
てやつじゃないの？ >>537
チキウビト ノ シト
アナタ ノ カンガエ レハ
0.0000・・・=0
ナノレス ネ ？
ナラ
dy/dx=0/0
ナノレス ネ ？
ワタス ノ ホシ レハ
1÷3=0.2
1÷5≠0.1111・・・
ナノレス
アナタ ノ ホシ レハ
1÷3=0.3333・・・
ナノ レスカ ？
0.3333・・・×3=0.9999・・・=lim(n→∞) [1−(0.1)^n]
レ
lim(n→∞)[(0.1)^n]=0.0000・・・=0
ラカラ
0.9999・・・=1
トイウ コト ナノレスカ？
アナタ ノ ホシ レハ
dy/dxのdx
ハ
0
ナノレスカ ？
dy/dx=0/0
ナノレスカ ？
アナタ ノ ホシ レハ ビブン トイウ ガイネン ハ ナイノ レスカ？
ワタスノ ホシ レハ ビブン トイウ ガイネン ガ アルノレス
ラカラ
0.0000・・・≠0
ナノレス
ラカラ ワタスノ ホシ レハ
0.9999・・・≠1
ナノレス
ヨッテ ワタスノ ホシ レハ チキウビトノ ケイサン ホウホウ レモ
1÷3≠0.3333・・・
ナノレス
ワカリ マスタカ？ >>720
それがわかってる人は、
かの有名な問題「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
も解けたかもしれないな。 「1-(0.1-0.1)-(0.01-0.01)-(0.001-0.001) - ...」であって「1」ではない >>703
1/3を10進数で表現すると、0.33333…になるってだけだから、極限とか関係ない。 >>389
可哀想に、目の前のりんごの数もわかないのか。 >>719
１ｍになるわけないじゃん。
十等分なんて考えてない。
このスレのお題目に近づけるために、棒の長さを０．９９９・・・ｍにするために設定しただけだよ。 >>706
3gのものは3等分可能だけど1gのものは3等分できないって考えてるん？ >>718
そうみなすって言葉が何か曖昧なものに思えるなら高校からやり直した方がいいと思うよ
先人たちが定義してきた概念の上で表される記号なんだから、別に何も曖昧じゃないよ >>382
間抜け。
物理量が先にある。
概念など人間の頭の中の存在でしかないが、物理量は人間などいくてもあるの。 >>721
この場合成立しないよ
左辺と右辺に極限操作を行ったとき不等式がそのまま成立するとは限らない >>1-1000
哲学ニュースと申します
このスレ纏めさせていただきます
赤文字にしてもらいたい暇人はできるだけ面白い文を書く
起承転結にも気を付けつつ、2，3行にまとめると引用される率は高いです
センスが重要
誤字、脱字、にも注意する 0.33333×3=1にはならないけど
0.33333…×3=1にはなる しかし数字って面白いなあ
10進数以外にも2進8進で違う振る舞い見せたり虚数だ虚時間だの超面白い
理数の人らって面白くてたまんないだろ 数字も完璧じゃないから、数字で表現できないものもある
数字は表現方法なだけ 普通は、
0.99999…=1
とは書かない。
0.9=1と書いて、9の上にポツンと点を打って無限少数を表すのが正しい表記。 >>「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、
いえ、なりませんよ。
ってか、日本、大丈夫か？ 循環しない小数ってなんだよ
まあ文脈的に有限小数のこと言いたいんだろうが、この書き方だと循環しない無限小数(分数にできない=無理数)と勘違いするわ >>733
じゃあ、この思考実験を表現できていないね、その数式は。 というかwikiが一番詳しいわ、その序文読めば大体解決するだろw >>718
厳密にやるとちょっと素人には手に負えないからな
群論(集合論の難しい話)やεδ論法のような難しい話になる 分数を少数に直して計算すると答えが変わるとかすごいな >>725
まあ中学生向けのイメージだから
きちんと議論するにはεN論法が必要だね このスレ頭いい人達沢山いるけど普段何やってる人なんだろう… >>749
『1/3＝0.33333……』って部分が、厳密にはすでに間違いなんだけど、そこ、分かってる？ レベルが下がったように思えるのは
それだけ裾野が広がったということだよ
悪いことじゃない >>750 >>752
こういうレスになるのもわからんでもないけど、
これって、
難しい言葉の意味を知りたくて辞書を引いたら、もっと難しい言葉で説明された
みたいで、なんかやだｗ >>718
無限を代入するとイコールになるんだよ。慣れるしかしゃあない。
物理的実在かというと、この場合はそうだろうと思う。記述方法の
違いなだけで。 0.9999...=1なわけないじゃん
いつか9には終わりが来るはずだ
全てに終わりはあるんだよ
ほい論破 全く理系じゃない俺でも大学でこれの証明学んだ記憶がある
本当にホイ卒が紛れ込んでるのではないだろうか >>731
いや曖昧だとは思わないよ。
学問上そう定義したのなら、それでいい。
ただ、科学というか真理の追究という点で意外だった。 0.99999・・・・というと、限りなく1に「近づく」という表現をするが、
これが誤解のもとで、近づくという動的表現は明らかにおかしい。
実際には、「無限」は定義した瞬間に定まっているもので、
どんどん果てのない旅路を歩んでいるわけではない。
宇宙が無限であるとは、どこまで行っても果てがない、のではなく、
無限と定義した瞬間に、果てがないことが決定されるのだ。
同じように0.999・・・も瞬間に１であることを決定づけられる。 端数はスーパーマンIII 電子の要塞に出てきたガスのところに集まってるはず >>747
違うよ、個々のnに対しては正しい
（違うと言うなら是非反論を）
それを「n=無限回にも適用できないとおかしい」と思う君の考えがおかしい
それが前スレで指摘した「屁理屈で、不適切な例え話」なの
やっとそこまできたね ... という表現自体が曖昧だからね
εN論法もそれほど難しくはないから疑問に思う人は調べてみると良い
面白いよ 0.333333・・・・・は、1/3じゃない別物だろが。
いったいどこが謎なんだ。 >>760
＞分数があったら分数に統一して計算しないと
分数は数字ではない、って理解出来てるか？
物理化学の試験で分数のまま解答したら0点になるぞ。www ー←漢数字の1に見えるだろ？でもこれ1じゃなくてハイフンなんだぜ！
俺らが1だと思ってるものもちょっとだけ1に足りなかったり多かったりしてるかもしれないんだぜ！ >>751
小数は任意の数を表すには案外スカスカであるという、最初の例だな >>756
こういう事いうのって文系だよ
理系は進数やってるからこんなこと言わん 1-(0.1-0.1)-(0.01-0.01)-(0.001-0.001) - ...では常に0.00..1が１個あまる
よって1＝0.999...は間違い >>762
単に書き方の問題なのに
なんか勘違いしてるなこいつ 0.999…を今この瞬間も1に近付き続けている数って思ってそう >>766
文系っぽく
「無限回」と「無限回目」って言い方の違いが肝になってる？
ｎ回目で成立するものが、なぜ無限回目で成立しないの？って思う。
ｎ回目で成立しても、「無限回」で成立するわけじゃないと言われたら、「数学的にはそうなのかねぇ」と感じるけども。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
