【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ オマイラが来年死ぬじゃん？
大晦日の除夜の鐘を聞いてからしぬ＝新年の除夜の鐘を聞いてからしぬ
ってこった >>806
どの時点って言ってる時点で左辺が「動いてる」
左辺は定数なのでどの時点も何もない おまえら1億円を3人で分けてみろよ
一円玉3つに切れば均等に分けれる
でも少数ってのは33333333円ずつ分けて
あれ1円余ったぞ...
どうやって1円玉を分ければ良いんだろう
そうだ！0.3円玉を作れば良いんだ！
あれ0.1円余ったぞ...
どうやって0.1円玉を分ければ良いんだろう
そうだ！0.03円玉を作れば良いんだ！
あれ0.01円余ったぞ...
まじで少数考えたやつ馬鹿 誰か無限少数を表す数字の上にポツンと点を打てるプロセッサ知ってたら教えて。無料で使える奴で。 3進法で考えると
1÷3=0.1 0.1×3=1
でちっとも不思議じゃないんだよね。 >>161
だよな
０．３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３３を最後まで計算せずに
途中で投げ出して３掛けてもなｗ つまり分数は大事だってことだ
分数の計算が役にたたないと言ってる人は未だにいるけどな >>797 >>39
それなら、
1/3 x 9 = 0.333... x (10-1) ≠ 0.333... x 9
3 = 3.333... - 0.333... ≠ 2.999...
3 = 3 ≠ 2.999...
これはどうしてくれるよｗ >>807
「誰も思いつかなかった斬新なアプローチを提示してやった」くらいに思ってるんだろう
たとえ何億人が過去に通った無価値な脇道でも そもそも、
0.333333 ... では正確に 1/3 と一致しないから、そう説明すれば良いだけでしょ。 >>788
計算上は「1/3＝0.33333…」かもしれんけど、これはあくまでも便宜上の表記だろ？
この式について両辺の3倍というのは厳密には出来ない、という話。
まず、この式の両辺が３倍出来ると思っている時点で、多分、「＝」の意味付けをいい加減に教わってきたんだろうな、ってのは分かる。 >>814
十進法の角度単位（実在する）で目盛のついた分度器を使うとそうかもなあ
360度の分度器だと「割り切れ」ちゃうけどね だからさ、ケーキならナイフについちゃうし原子なら電子がどこかいっちゃうけど
数字の世界なら減ることはないから何等分してももう一度くっつけたらそれは元通りになるんだよ
文系のみんな、これでいい？ だから物理的に原子まで分けたらそれ以上分けられないだろ
1は3つに割れないの！ いつまでたってもそうならないから「...」になるんだろ >>820
進数をわかってない人が文句を言ってるからね >>825
最後まで計算しろｗ 一致するんだよｗｗｗ 小学校低学年的な書き方したら
1/3＝0.3 あまり0.1みたいな感じ
だから
1/3×3＝0.9+0.1＝1 こんなんで文系さんは悩めるんだなｗ 人生が暇すぎだろ。 文系のバカ記者が初めて知って、
その興奮を伝えたくて記事にしたような記事。 現実にはケーキを三等分して元に戻せば1個に戻る
0.3333.... が実在しない（1/3とは違うものである）みたいな発想の方がおかしんだけど
なぜか数字で書かれるとそう思えない人がいるのよな
やっぱり .... が悪いのかね >>799
じゃあお前が議論してるのは数学じゃなくてお前の考え出した謎学だ。
「僕の提唱する謎学では0.333...x3=0.999...は間違いとされている。それが謎学である」とでも言っとけ。 ケーキを3等分してくっつけるとカスが出るから1にならないと言うことでいいのか？ >>834
このスレでは沢山のマイハートが伝わっていないという事か
詩人ですね、アナタ 計算できないじゃなくて１０進数では分数表記使わずに表記できないだけ
言葉が悪いわ でもこれが理解できるからって文系見下すのは違うと思うの。 文系応援団としては
概念と観念とをきちんと区別して
使い分けできない理系がいること >>831
素朴に考えると疑問がわくけど、数学の規則によれば正確に一致するということだよね
世の中の多くの人は素朴なんだよ >>826
数値が指定されてない文字式ですら両辺の3倍はできるんだから、できるよ 数字の１っていうけど、１ってケーキが１個ってのと同じだよね
ケーキはきちんと３等分できるのに１が数字になったら割り切れないってのがおかしいと思うんだよね >>815
要するに1/3=0.333333......は×3したら1になる0.333333.......であって、ただの0.333333......とは違うって訳か >>852
数学的思考ができない奴のことを文系っていうのがおかしいよな
理でも文でもない落ちこぼれだよね >>801
1/3 = 0.3333.... じゃあなくて
1/3 = 0.3 (3の上にﾄﾞｯﾄ。3を繰り返す循環小数であることを示す表記)
で、これは 1/3のこと。 よって、 1/3 × 3 = 1 になる。
0.333．．．は、これが無限に続くを意味するが、同時に少数では表現不可能な
数であることを示す。 だから、0.33333 ×3 = 0.9999... と計算すること自体が
あまり意味が無い。
それ(= 0.9999...)に近い数になることを示せるぐらい。
実際、0.9999... ≒ 1 とは云える。 >>800
無限の点は納得
だけど、思考実験上で、もはや何回目かわからないくらい繰り返しても、また今回も天井に届かなかった
となるのは明らかなのに、
その作業を表現した数式は、「何回目かもうわからなくなったはるか彼方で」結論が異なる
ってことじゃね？
これでは、その数式はこの思考実験を表現できてるとは言えない気がする
それに結論として言いたい狙いは、「棒の長さは０．９９９・・・ｍだよね。でも無限に繰り返しても１ｍに届かない作業だよね」
なんだが、数式がそれと一致しないのもおかしい。 ここまで1含め納得いく説明ゼロ
0.9999…=1
になってしまう説明しろよ 文系のイメージを語らせて。０．９９・・をグラフ上の線で表したら目指す先は１。牛歩どころかミクロの歩みで生きてる内に到達する事はないが、目指す先は間違いなく１。つまり数学のイコールとは居る場所ではなく目指す場所である。 >>857
いいえ
数学には0.333...にはひとつの意味しかないよ >>824
それか！頭が弱いから言い出しっぺの言うことが、そのままあがめられるんだ。
わかってたが、ここのスレやレスで確信したｗ >>845
10進法に慣れ切っちゃってて、はっきり確定しない数値は具体性がないように見えるんだろうな 見た目に引きずられているだけ
10進数の1/3や0.333…、3進数の0.1は同じ数の表現を変えたもの 高校レベルなら等比級数の無限和で証明
大学レベルならεN論法で証明
疑問に持つことは良いことだ >>830
ニュートリノさんが行ったり来たり
あれ質量ゼロじゃないよな？ >>862
ここまで2000レス近くある中にいろんな説明あるよ
気に入るものを採用すればいい >>823
突然≠が出てくる理由がわからないし
全くエレガントではない >>856
正方形の対角線の長さでさえ10進数では正確に表示できないという事実に人類は気付いてしまうんや。 0.9999・・・=1
トイウ チキウビト ノ シト
0.000・・・=0
トイウ チキウビト ノ シト
ハ
dy/dx=0/0
ナノレス ネ ？
チキウビト ハ ソノ レベル レスカ ？
セイスウ
a/b
ヲ ヤクブン シテ
c/d
ニ シマフ
n シンホウ ノ n ヲ ソスウ ニ ブンカイ シマフ
d ヲ ソスウ ニ ブンカイ シマフ
d ノ セイブン ニ n ノ セイブン ニ ナイ セイブン ガ アレバ
ジュンカンスウ ニ ナルノレス
ツマリ ワリザン ハ d ノ セイブン ヲ スベテ フクム シンホウ
デ ケイサン スレバ ジュンカンスウ ニ ナラナイノレス
ツマリ
1÷3=0.3333・・・
ノ ジテン デ マチガッテ イルノレス
ワカリ マスタカ ？ 便宜上こう書くけど、
0.99999…=1
が理解出来ないレベルの人は生きてる資格がないとさえ思う。自分の子供にどう教育してんのやら、、、 それじゃ0.333...×3+ 0.000...1＝1じゃないか >>868
この流れでじゃあっておかしいだろw
落ちこぼれの文系ですww >>845
戻すことを前提に考えないから
普通は食っちゃう >>877
パンピーの脳に処理できる形では表示できないかもしれんが記号として正確に表記できてるからいいんだよ、それが人類の叡智よ >>877
進数は関係なかったわ。分数で表記できない。 「このケーキを3等分したまえ」と命令して
「やってはみたものの師匠わたしには無理です。」と泣いて詫びるロボ君をできるやつと捉えるか
淡々と極限精密に3等分して「はい、できました師匠」と嘘をつき
渡してくるロボ君をできるやつと捉えるか 情報専門じゃないけどプログラミング授業で似たような事やったな
今時は大学なら文系でもやるんじゃないか >>856
ケーキという物体の観念が1
ここでケーキの概念と三等分されたケーキの観念と1とを
混同するとそういうことになる >>882
…のところの0の数はいくつあるとお考え？ おまえらわかったか？私大文系の入試に数学がないから、こんなんで悩むんだわｗｗｗバーカ >>806
1÷3×3 = 1
1÷3を0.3333…に置き換えると0.3333…×3 = 1を証明できる
つまり
0.3333…×3 = 0.9999…ではないと言ってよいことになる >>870
... を未確定と感じるのはあるのかもね >>872
少数考えたやつは
ドラクエで最初の街でずっとレベル上げしてる知的障害者と同じ
1円やるよってのが 余り1
3人で分けるぞ！ってのが1/3 >>887
前者の方が可愛いけど後者のほうが人間臭くていい 循環小数を意味する 0.3333..... (3を無限に繰り返す)は
１／３を意味する。 だから、 1/3 × 3 = 1 になって何の矛盾も無い。 ニュートンの時代に
人類は極限概念に
とっくに到達してるんだが
なぜそれを使わないか？ >>860
なんで？
3kgのケーキだと1kgづつに分ければ平等だよな？ >>892
私大文系でも学部関係なしにプログラミングの基礎くらいやらんか 文系脳ですまん
>>1 の
>>無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる
ってのは、本当に証明なのか？ 「定義」なんじゃないの？ >>896
多分これで悩む人は複素数でも（実数）数直線のどっかにのっけたくて悩むと思うｗ
俺はその前に割り切ったが。 無限級数が有限の値に収束するってだけの話
それがこんなにも人間を混乱させるのって面白いと思う >>890
うーん、よくわかりません(・_・;)
観念と概念か >>900
永遠に１/３を計算させておけば良いんだよｗｗｗ
暇なんだろｗ >>876
(10-1) を 9 に置き換えただけですぜ。 >>689
特定の回数棒を足して行ったらたしかに天井には付かないだろうし数式で表すこともできるだろう。
でもそれが無限回となるとそうはいかない。同じ数式に無限を代入すればそれは天井に付くことと同義になるんだよ。
これを受け入れたくないのであれば、散々出ている例だけどもあなたの思考実験ではアキレスはいつまで経ってもカメには追いつかない。 レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
