【循環小数】1/3×3＝1なのに0.33333…×3＝0.99999…の謎 ★2
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■摩訶不思議！「循環小数」の世界
「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6＝1÷6＝0.166666……」「1/9＝1÷9＝0.111111……」「1/11＝1÷11＝0.090909……」などが循環小数である。
私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3＝0.33333……』。この両辺を3倍すると『1＝0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。
まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9＋0.09＋0.009＋0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。
たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる。
したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。
■石には粉
もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7＝1÷7＝0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857＝いしにはこな（石には粉）」と覚えている。
この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1＝142857」「142857×2＝285714」「142857×3＝428571」「142857×4＝571428」「142857×5＝714285」「142857×6＝857142」。何かに気づかないだろうか。
答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7＝999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。
循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。
2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg
★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572922830/ >>823
突然≠が出てくる理由がわからないし
全くエレガントではない >>856
正方形の対角線の長さでさえ10進数では正確に表示できないという事実に人類は気付いてしまうんや。 0.9999・・・=1
トイウ チキウビト ノ シト
0.000・・・=0
トイウ チキウビト ノ シト
ハ
dy/dx=0/0
ナノレス ネ ？
チキウビト ハ ソノ レベル レスカ ？
セイスウ
a/b
ヲ ヤクブン シテ
c/d
ニ シマフ
n シンホウ ノ n ヲ ソスウ ニ ブンカイ シマフ
d ヲ ソスウ ニ ブンカイ シマフ
d ノ セイブン ニ n ノ セイブン ニ ナイ セイブン ガ アレバ
ジュンカンスウ ニ ナルノレス
ツマリ ワリザン ハ d ノ セイブン ヲ スベテ フクム シンホウ
デ ケイサン スレバ ジュンカンスウ ニ ナラナイノレス
ツマリ
1÷3=0.3333・・・
ノ ジテン デ マチガッテ イルノレス
ワカリ マスタカ ？ 便宜上こう書くけど、
0.99999…=1
が理解出来ないレベルの人は生きてる資格がないとさえ思う。自分の子供にどう教育してんのやら、、、 それじゃ0.333...×3+ 0.000...1＝1じゃないか >>868
この流れでじゃあっておかしいだろw
落ちこぼれの文系ですww >>845
戻すことを前提に考えないから
普通は食っちゃう >>877
パンピーの脳に処理できる形では表示できないかもしれんが記号として正確に表記できてるからいいんだよ、それが人類の叡智よ >>877
進数は関係なかったわ。分数で表記できない。 「このケーキを3等分したまえ」と命令して
「やってはみたものの師匠わたしには無理です。」と泣いて詫びるロボ君をできるやつと捉えるか
淡々と極限精密に3等分して「はい、できました師匠」と嘘をつき
渡してくるロボ君をできるやつと捉えるか 情報専門じゃないけどプログラミング授業で似たような事やったな
今時は大学なら文系でもやるんじゃないか >>856
ケーキという物体の観念が1
ここでケーキの概念と三等分されたケーキの観念と1とを
混同するとそういうことになる >>882
…のところの0の数はいくつあるとお考え？ おまえらわかったか？私大文系の入試に数学がないから、こんなんで悩むんだわｗｗｗバーカ >>806
1÷3×3 = 1
1÷3を0.3333…に置き換えると0.3333…×3 = 1を証明できる
つまり
0.3333…×3 = 0.9999…ではないと言ってよいことになる >>870
... を未確定と感じるのはあるのかもね >>872
少数考えたやつは
ドラクエで最初の街でずっとレベル上げしてる知的障害者と同じ
1円やるよってのが 余り1
3人で分けるぞ！ってのが1/3 >>887
前者の方が可愛いけど後者のほうが人間臭くていい 循環小数を意味する 0.3333..... (3を無限に繰り返す)は
１／３を意味する。 だから、 1/3 × 3 = 1 になって何の矛盾も無い。 ニュートンの時代に
人類は極限概念に
とっくに到達してるんだが
なぜそれを使わないか？ >>860
なんで？
3kgのケーキだと1kgづつに分ければ平等だよな？ >>892
私大文系でも学部関係なしにプログラミングの基礎くらいやらんか 文系脳ですまん
>>1 の
>>無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「（1−公比）分の初項」となる
ってのは、本当に証明なのか？ 「定義」なんじゃないの？ >>896
多分これで悩む人は複素数でも（実数）数直線のどっかにのっけたくて悩むと思うｗ
俺はその前に割り切ったが。 無限級数が有限の値に収束するってだけの話
それがこんなにも人間を混乱させるのって面白いと思う >>890
うーん、よくわかりません(・_・;)
観念と概念か >>900
永遠に１/３を計算させておけば良いんだよｗｗｗ
暇なんだろｗ >>876
(10-1) を 9 に置き換えただけですぜ。 >>689
特定の回数棒を足して行ったらたしかに天井には付かないだろうし数式で表すこともできるだろう。
でもそれが無限回となるとそうはいかない。同じ数式に無限を代入すればそれは天井に付くことと同義になるんだよ。
これを受け入れたくないのであれば、散々出ている例だけどもあなたの思考実験ではアキレスはいつまで経ってもカメには追いつかない。 たとえば
一次関数y=axのyとxは変数であると説明されるとき
xが決まるとyが決まる
つまりyは変数と言いながらもxに依存した量なのである
無限にxの点を打つときyは直線を描く
してみると無限小数というのも関数のyのようなものであって
関数のxが無限個在るという実感がないために
無限小数とが1に等しいことを認められないのではないだろうか おれひらめいた！
分数と少数をイコール、つまり同じに扱うのが間違ってんじゃね？ プログラミング言語だと賢いから普通に１という答えが出てくるよね。例えばPythonの場合だと
>>> print((1/3)*3)
1.0 >>825
>0.333333 ... では正確に 1/3 と一致しないから
そこに誤解がある。
0.333333...てのは「分数（３分の１）」を少数で表記しているだけ
1/3（3分の1）を少数で表記すると0.333333...という表記になるだけって話。
表記法の違いでしかないから，3/1と0.333333...は同じもの。 >>905
むしろ、それを定義だと思う感覚が分からないw >>861
数式が、じゃなくてその思考実験が
0.999 = 1 の正否を論ずるのに適切じゃない
（または君の思考が適切じゃない）
そもそも棒の長さは0.999...メートルにはならないからね
nを増やせばいくらでも0.999...に（すなわち1に）近付けることができるってだけ
無限に思考を飛ばしたとき、有限のときの性質が保たれることを自明と思うのが間違いなんですよ（保たれることもあるけど）
円周率をπとしたとき
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9...
という公式があるけど、右辺はどこで切っても有理数の和なのに左辺は無理数
無限が絡むとこんな「直感に反すること」は当たり前に起きるので、直感に頼った例え話では限界あるのよ こういう人が虚数を習うときどういう反応を示すんだろうか ケーキを3等分したときにナイフについたクリームが0.0000.......1の正体 言われてみれば、そう見えるのか。
でも分数でけいさんすると1になる。 >>905
文系なら定義と定理と公理と公準と証明の違いくらいわかろう >>911
9を10-1に置き換えた式なんだけど？ >>867
補足するなら文系理系というより個人の資質 小学校ときに習ったあまりって概念を起用すればいいだけでは！割りきるのを諦めてまたかけるならあまりを弾いて最後に足してやれ むしろ0.3333....*3を1にする電卓が凄いと思うんだが、違うのか？ 1/3=0.33333…
と定義したのだから、
どちらも3倍したら1で当然だろ
そういう定義だから >>689
それを「受け入れたくない」と感情的になっているように見えるよ >>917
訂正
表記法の違いでしかないから，1/3と0.333333...は同じもの。 >>856
ケーキの３等分は実は1を分けてるんじゃなくて
360°を120°で分けてるんだぞ でもこれならぱっとみ円周率も計算式だと無限少数を回避する書き方がありそうな気がした。 単に、一旦（とりわけ幼少時に）固定された観念は極めて強いというだけの話だと思うけど・・・ じゃあ俺の意見を言おう
1=0.9999…
がおかしいのではなく
1/3というのがおかしいのだ
0除算と同じで不可能な式
これなら納得いくだろ >>892
私大文系でも社会科の代わりに数学を選べるとこはある。 >>896
症例分析では「左辺を未確定の存在と思う」「左辺を数列のように動いてるものと思う」「イコール記号の方の意味を勝手に拡張する」などがあるな >>912
待て待てｗ
思考実験ってのは、愚直に手作業で実験をしなきゃ意味ないぞ？
途中からいきなり数式に置き換えて「こうなるはず！」では実験の意味がない。
思考実験ってのはその作業をちゃんとやるの。
今回ならひたすら棒を継ぎ足しながら天井に届くかどうかを確認することを繰り返すの。
それが思考実験だよ？
ちゃんと頭の中で作業してる光景を思い浮かべてください。
本当に棒が天井に届きましたか？ >>903
なんでこの流れで条件つけてんだよ！おまえのは3/3だろが 無限に割り切れないことが宇宙の発生源で
あまりが物質なのかもしれないな >>902
ニュートンは微分法を考えるのに極限を使っていない。
ニュートンは無限小を使って微分法を考えた。
それくらい、極限という考え方は難しいということ。 >無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「（1−1/10）分の0.9」、すなわち「0.9/0.9＝1」となる
これ自体はまぁ理解できるけど、「収束」が理解できんｗ >>903
小学生と中学生と大学生で別ける場合は
体の大きさに応じて別ける事が時として平等になるｗ >>932
定義したと言うより少数ではそうとしか表記できないからじゃね？
他の表記方法として0.3の3の上に・を付けるという表記があるけど
こっちの方がわかりやすいかなぁ。 なんかやたらケーキで例える奴が出てくるが、ナイフに幅がある時点でダメだからw セブンで税込み100円のものを3つ買うと301円になるあれか？ >>946
ケーキ三等分するとき余りが出ますかって話
（ただしナイフにつくとかは考えないものとする） ナイフに付いたクリームはオレが舐めちゃうからオレが0.1だ おまいら小３の割り算全然理解してないしな。
「10を0.5で割ると20に増えるのなんで？割ってるのに！」とか
いまだに思ってるやろ？
ペーパテストだけしか出来ない
日本人の義務教育はゴミすぎるんだよ！ >>948
数学好きだけど極限は嫌いだった俺は正常ということだな。 1/3と0.3333333......
これは別物でいいよな 別な見方、たとえば３進数で考えると綺麗に少数で示せるよ。
３進数では、１０進数の「１」は、やはり「１」。
３進数では、「1/3」は「0.1」になる。
この辺は２進数と同じだな。 ２進数では２倍すればケタが上がる
２で割ればケタが下がる。
だから、３進数の世界では、１／３は「0.1」と綺麗な小数で表現でき
これに３を掛けると、綺麗に「１」になる(ケタが１つ上がるだけ)。 >>933
そういうぼんやりした言い方を「感情的」って言うのよ Wikipediaにも専用の項がある
この「典型的な誤解とその原因」が面白い
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999... >>861
その思考実験はどんな自然数nをとっても「n回目で棒は1mよりは短い」けど残念だが∞は自然数ではないので無限に続けた場合でも1mより短いとはならない なんか、ここの書き込み見てたら日本の教育は根本的に間違えてるなと認識した。義務教育レベルの内容すら理解出来てない奴が如何に多いか。 そもそも１をきっちりとした数字だと思うからいけない。
数字を無限に分解できるのなら、ぴったり１なんていう存在は無いだろ。
概念としては存在できるけど、それを座標に取ろうとすると軸が無限に細かくなるだけで、正確な１など存在し得なくなる。 0.99999... = 1 だから。
謎でもなんでもない。
って今知ったw >>1
物理学科だが、全くわからない
数学科のやつ早く教えろや 人類に完全な答えが出せてない時点で教育な問題じゃないだろ ま、ここで興味を持ったら、エプシロンデルタ論法をやるとおもしろいよ >>963
で、まだ受け入れられないの？
君は症状としては軽い方だと思うけど レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
