【解答】高度な数学者が小学生レベルの引き算を間違えてしまう理由とは
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数学的思考は抽象的思考の頂点だ。しかし、スイスのジュネーブ大学（UNIGE）とフランスのブルゴーニュフランシュコンテ大学の研究チームの調査によると、ハイレベルな数学者であっても、小学生レベルの算数の文章問題を間違えることがあるという。研究結果は、2019年6月28日付けの『Psychonomic Bulletin＆Review』に掲載されている。
学校で教える算数では、オレンジとリンゴを合わせてデザートを作ったり、花瓶の数に合わせてチューリップの花を分けたりと、日常生活の具体的な例を使っている。研究チームは、日常生活の知識は数学的推論にどの程度影響するかを調査した。調査対象となったのは、標準的な大学教育を受けてきた成人グループと、ハイレベルの数学者のグループだ。
我々は数字を見ると、心理的に数直線上もしくは集合としての値として考える傾向にある。そこで、研究チームは、被験者に同じ値／数式／解を持つ問題を、文脈を変えて出題した。問題は全部で12問で、そのうち6問は、身長、建物が完成するまでの時間といった、内容を数直線で表すことができる問題。残りの6問は、動物の数、レストランでの会計といった、要素が集合としてグループ化できる問題だ。下にそれぞれの例を挙げる。
問1「小人Aがテーブルの上に登ると、高さ14cmになります。小人Bは小人Aより2cm低く、同じテーブルに登っています。小人Bはどれくらいの高さになりますか」
問2「花子さんは猫と犬を14匹飼っています。太郎さんの飼っている猫は花子さんより2匹少なく、犬の数は同じです。太郎さんは何匹動物を飼っていますか」
解答はリンク先へ
正解率は問1と問2で大きく差が出る結果となった。成人グループの正解率は、問1が82％、問2は47％。さらに驚くべきことに、数学者グループの場合は、問1が95％、問2になると76％に下がったという。問2を間違えた参加者たちは「解なし」と考え、正解した参加者も、解答に時間がかかったという。
この結果について、人が持つ一般的な知識が単純な計算を妨げたためと研究チームは考えている。つまり、人は集合の問題では部分集合の値を自動的に使おうとするため、問2で花子さんの犬の数を計算しようとした結果、犬の数がわからないため解けない問題だと考えてしまったということだ。そして、これは抽象的で文脈に依存しない推論を習得している数学者でさえも、無関係の非数学的知識のため、単純な計算を間違ってしまう場合があることを示している。
直感的に解ける数直線問題と異なり、集合問題は視点を変える必要があることを、数学教育では考慮に入れる必要があると論じている。「非数学的な直感から我々自身を切り離す必要がある」と研究チームは結論付けた。
https://fabcross.jp/news/2019/20190809_expert-mathematicians-stumped-by-simple-subtractions.html >>581
問題解くためのステップが問2のほうが一つ多いんだな >>567
そこからだけではアニマルという概念が猫か犬かだけかは言えないな。
あくまでサラの持っているアニマルが猫か犬かというだけで。
この問題だけからは
１）アニマルに猫でも犬でもないものが存在しうるのか
２）アニマルの猫と犬は併存しうる属性なのか
が判別できない。
２に関しては馬鹿馬鹿しいけど非常に重要なことで、
x ⊂ 犬 ⇒ x ⊄ 猫 であるかどうかは自明なことではない。
もし犬かつ猫の存在を認める場合は、仮に１）を否定したとしても、
メディの持つアニマルの数は12であるとは言えなくなってしまう。
「犬でも猫でもある動物なんているわけがない」と一笑に付すなら、
「犬と猫以外に動物がいないなんてありえない」と同様のことがいえる。 アインシュタインにも簡単なお釣りの計算ができなかったという逸話が有ったな >>588
サラとメディが共用で所有している犬という可能性もある。 知りすぎると勘繰って判断間違えるのは数学に限らんだろ >>586
正解
「その3個はどこで買ったの？あと2個は一緒に買いに行こうか？」 問２はまだ具体値の範囲（12匹以上）を出せるが、問１はその具体値の範囲すら出せないのが厄介。
問１についてのパラメータは４つ。
・テーブル上の小人Ａが乗っている箇所の高さ：Ta
・小人Ａの身長：Da
・テーブル上の小人Ｂが乗っている箇所の高さ：Tb
・小人Ｂの身長：Db
これをもとに立式すると
・テーブルに乗った小人Ａの高さ： Ha = Ta + Da = 14 (1)
・テーブルに乗った小人Ｂの高さ（問１で求める高さ）： Hb = Tb + Db (2)
・小人Ｂは小人Ａより2cm低いから： Db = Da - 2 (3)
・Ta > 0、Da > 0だから、(1)より
0 < Ta < 14 (4)
0 < Da < 14 (5)
・Db > 0 だから、(3)(5)より Da = Db + 2 > 0 + 2 = 2、
また、Db = Da - 2 < 14 - 2 = 12、よって上記から
2 < Da < 14 (6)
0 < Db < 12 (7)
0 < Ta < 12 (8)
・一方、(1)〜(3)から
Hb = Tb + Db = Tb + Da - 2 = Tb + 14 - Ta - 2 = Tb - Ta + 12 (9)
（余談：Hb = 12になる条件はTb = Taだが、問題文中にそれを示す情報はない）
・ここで、Hb > 0, Tb > 0、および(8)(9)より、
0 < Tb - 12 + 12 = Tb < Hb < Tb - 0 + 12 = Tb + 12
∴0 < Tb < Hb < Tb + 12 (10)
但し、Tbが問題文中で不明のため、求めるべきHbの取る具体値の範囲も定まらない。
また、Hbの値が１つに定まるには、さらにTa、Da、Dbのいずれかの値が１つに定まる必要がある。 数学者の正答率よりも
比較対象として用意された大学出グループのポンコツっぷりに目が行ってしまう 改めて考えてみたが、この問１、問２の解答を"12"としている奴って、算数・数学では絶対にしてはいけない禁じ手をしていると思う。
算数・数学では、問題を解く際に
(1)問題文にある条件
(2)上記(1)から導出できる条件
だけしか使ってはいけない。つまり
(3)問題文にない条件、かつ、上記(1)から導出できない条件
を使ってはいけない。
それなのに、解答"12"を出すためには、禁じ手である(3)を忖度して使わないといけない点が、この問１問２を特に当たっての誤りである。 >>1
数学の設問は厳密であるべきなのに、設問に曖昧な点が存在するからマズいのだと思う。 答えがひとつじゃないなら全部かけよ 数学者はいろんな証明してみるくせに "−"が、ひくじゃなくてマイナスだと勘違いする事はある。 高さと言うなら、どこからの高さか書いてもらわんと。
小人の足がテーブルに接触した面からなのか、テーブルの足の接地した面からなのか、テーブルの上面からなのか。 >>599
>>601
＞（余談：Hb = 12になる条件はTb = Taだが、問題文中にそれを示す情報はない）
he climbs onto the same table.
情報の解釈の問題だよ。情報はそれぞれが独立して存在するが、観測者はそれを独自に解釈することができる。
君が上記情報をどう解釈したかが、君の世界を作り上げるし、また別の人は別の解釈をもって世界を作り上げる。
解釈が共有されれば、一定程度は同じ世界をみることはできる。
が、全く同じ時空の位相には立てない。より広く群としての解釈が正しい世界のありようと規律される。 数学では人間の直観とはかけ離れたものが出てくることもある。
例えばバナッハ＝タルスキーのパラドックス (Banach-Tarski paradox)
球を3次元空間内で、有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使って
うまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという定理
だから、これが当たり前と直感だけで言おうとする態度は、数学的には極めて危険。 >>599
面白い論理ゲームではあるな。
>>601
＞(3)問題文にない条件、かつ、上記(1)から導出できない条件
むしろ、これを君が使用して仮説たてたわけね。 中学入試でもレベル高いぞ。
特に時間制限が厳しいな。
大学受験の方がずっと楽よ。
よく予備校講師の子供で東大とか自慢してるけど大体、科目が英語。
中学くらいからコンスタントに英語やってりゃ結構入れるんだよ。
もちろん理三以外だけどね。
中学受験でトップ校に受かった例はほとんど無いんじゃないかな？ >>605
＞小人の足がテーブルに接触した面からなのか、テーブルの上面からなのか。
これはtable の解釈。材料は問題文中になし。常識に頼るしかないね。
＞小人の足がテーブルに接触した面からなのか、テーブルの足の接地した面からなのか
height の解釈。
材料は
When Lazy Smurf climbs onto a table, he attains 14 cm.
he climbs onto the same table. What height does Grumpy Smurf attain? >>438
4-3を13回繰り返して最後に4で17段だから
7*13+4=95 >>3
人間の脳はそんなもんだ
時間も限られているし経験できることも有限だからな >>606
>>428が指摘しているとおり、
「そのテーブルが水平であること」
つまり
「テーブルのどの位置も高さが同じであること」 ...(※1)
は、問題文中のどこにも書かれていない。
また、
「テーブル上の小人Aの立っている位置と小人Bの立っている位置で高さが同じ」 ...(※2)
という情報もない。、
だから、
「he climbs onto the same table.」 ...(※3)
という情報だけでは、(※1)、(※2)の情報がないため、>>599の文中にあるTb=Taを導けない。
また、(※3)の情報からは、(※1)(※2)を導出できない。
「(※3)ならば(※1)(※2)であり、Tb=Taである」と言えないから。
水平でないテーブルなら(※3)が成立しても(※1)は成立せず、よって(※2)が成立しない(Tb≠Ta)こともありうる。
問１で言うと、
・(※3)が >>601の (1)、すなわち問題文にある条件
・(※1)(※2)が、>>601の(3)、すなわち問題文にない条件、かつ、上記(1)から導出できない条件
になる。 >>606
あと、君がなぜ、「he climbs onto the same table.」という情報を「Tb=Taを示す情報」だと早合点（勘違い）したのか、
ロジックを教えてくれないか。
たぶん君なりのロジックがあるから、そう書いたのだろう。 >>11
俺ならレシート見るかな
袋代もふくまれてるかもしれないし >>11 >>618 消費税も考慮してないね。
今の算数の初等問題って、不自然な内税設定でやるのかな。 〉〉606はよくある｢思い込み｣や｢憶測｣。
｢同じテーブルに乗っている｣という情報を見た途端、問題文全体を注意して見ずに脊椎反射的に
｢テーブルの上のどこに乗っても高さは同じ｣って飛躍しちゃったんだろうな。 >>1
問2は明らかにおかしいだろ
猫と犬を14匹飼っています
これだけだと猫と犬の合計が14匹なのか猫と犬を14匹ずつ飼っているのかが曖昧になる
さらに動物だと猫と犬以外飼っているかどうかもわからないとか欠陥過ぎる 数学科の教授がこういう非観念的な問題は邪道だってゆってた >>622
つまり行間読めないアスペにはわからん、数学者はアスペが多いってことか >>621
さすがに脊椎反射ではないだろうけど、>>606の勘違いに何らかの「思い込み」が発生しているで
あろうことは納得できる。
さて、思い込みによる勘違いと言えば、こんなネタを見つけてきた。
ttps://komachi.yomiuri.co.jp/t/2014/1114/689149.htm
こちらも小学生の算数の問題に関するスレ。
スレ中では「正方形は長方形に含まれるか否か」が議論されていたが、読んでみると少なからず
「正方形は長方形ではない」と勘違いしている人がいた。
勘違いしている人の多くは、長方形の定義を無視して「長方形＝長四角」と思い込んでいる人で、
さらにその一部には、
「長方形には『長』の字があるから、正方形は長方形ではない。漢字の意味を国語辞典で調べろ」
という趣旨の、全くロジカルでない（算数の定義の範囲から脱線した、場外乱闘的な）屁理屈を
並べる人もいた。
こちらはちょっと定義に立ち返れば、簡単に正答が見つかる(勘違いが是正される)話なのに…
なぜこうなる？ 相対論と量子論知ってるヤツが間違ったんだろ。
高さが違えば重力も違うので同じ2センチではなくなる。
数も数えるまでは不確定。 >>625
>>1のTableと、>>607の球や、その長方形とどう違うか。
Table の定義から始める場合、climbの定義も同様に問題になる。
どのような状態を指すか示されてないからね。
論理については、一見論理的に説明されてはあるが、
ある操作によって作り出されてる、論理の誤謬を認識できることは大事かもね。
きみの場合だとテーブルの形状の条件に、「そのテーブルが水平であること」 含めないことにより
＞「テーブル上の小人Aの立っている位置と小人Bの立っている位置で高さが同じ」 ...(※2) でない場合(条件)を引き出した。
まあしかし家具は色んなものを作れるから、現実の抽象化とは無限の条件を含む、ものなのかもしれない。
抽象化の意味、意図。14cmは14.0089546cmを含むか？現実を数字に換算する場合、数は無限分割を常に含む。
無限循環。
まあ、テーブルの形状の条件に、「そのテーブルが水平であること」 含めている現代社会の常識は、狭い部屋のカーテンなのかもしらん。
現実は定義できない。 一口に「テーブル」と言われて天板の傾いたものや、大きな段差のあるものを考えるのは結構ヤバいと思う
性格捻じ曲がりすぎ
初等算数において正解にたどり着くのに最も重要なことは、素直さ、なのかも知れない
数学者は良くも悪くも疑いすぎだ 日本数学の最高峰は東大のカリブ数物か京大の数理解析。 問１も問２も解けた俺は高度な数学者じゃないってことか
そのとおりだわｗ >>631
問題文に書かれていないことは存在しないものとするという、暗黙の了解を知らない世間知らずだろ >>634 くんが面白いことを言ってるが塾講師あるあるってやつで
これは他事考慮とか他事記載はイケマセヌってテストのお約束ってやつね
プレーンに問題文に書かれていることだけ考えましょうっていう
大学入試以前のテストのお約束ってやつね。
これね、案外できない奴が多いんだよなあ
ってかむしろ優秀な奴ほど勘繰り過ぎて「ああでもないこうでもない」と
傍から見れば「なんでそんなことで悩んでんの」といいたくなるような
ドツボにはまってるんだよなあｗｗｗ
>>1もあるいはそういうネタかもねｗｗｗ >>635
生き方にも当てはまるなぁ
振り返ると、随分と無いことを考えて生きてきたもんだ笑
なんつーか、スッとしたわw 数学スレが立った時に見てほしい動画
ttps://youtu.be/Q4gTV4r0zRs ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
